Побудова множинних фільтрів для лінійних алгебраїчних систем (реферат)
У загальному випадку умова мінімуму (15) досягається неоднозначно, тому вся множина оптимальних фільтрів при середньоквадратичній умові оптимізації має вигляд. Апостеріорна множина значень f (множина тих значень f, при котрих y може реалізуватися при деяких значеннях p відповідно до системи (4)) визначається таким чином. Для лінійної алгебраїчної системи, що описується рівнянням (1) розглянемо… Читати ще >
Побудова множинних фільтрів для лінійних алгебраїчних систем (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Побудова множинних фільтрів для лінійних алгебраїчних систем
В технічних задачах регулювання, при використанні теорії оптимального керування виникає необхідність у процедурах оцінювання і фільтрації. Оцінка стана системи керування або невідомих параметрів об'єкта є однією з важливих проблем у задачах керування і реставрації сигналу в цифровій обробці інформації. В даному параграфі побудований клас лінійних фільтрів [3] для оцінки параметрів об'єкта, що описується системою алгебраїчних рівнянь.
Загальна блок-схема системи з зображенням впливів на неї, її параметри і вимірювані дані про стан системи, зображені на малюнку.
f. |
y. |
u. |
p. |
u — керуючий вплив, що вибирається, значення якого відомі;
f — збурення, значення їх невідома, відомо апріорна множина можливих значень збурень;
p — параметр, у який може входити вектор стану системи, значення невідомі;
y — вимірювані дані про стан системи, значення відомі.
Зазначені дії на систему, параметри, вимірювані дані можуть бути скалярами, векторами, матрицями, функціями.
Рівняння математичної моделі системи керування у вищеописаних термінах має загальний вигляд.
(1).
де, А — відома функція.
При прийнятій моделі невідомих шумів для системи, що описується рівнянням (1), можуть бути сформульовані наступні задачі:
Задача 1. Знайти при фіксованому u таку функцію, що має місце умова.
(2).
У загальному випадку при фіксованому u існує множина таких функцій, яку будемо називати множиною фільтрів.
Задача 2. Знайти при фіксованому u оптимальну функцію згідно з умовою оптимальності.
. (3).
Множини, і функція будуються до проведення експерименту.
Розглянемо модель системи, що представлена у загальному випадку системою лінійних алгебраїчних рівнянь.
(4).
де матриця, вектори, , .
Матриця A і вектор d відомі параметри, досліджуваного об'єкта.
У випадку, коли відомо апріорна множина значень шумів f і маючи систему рівнянь, якій задовольняє вимірюваний вектор y, можна оцінити апостеріорну множину значень f і з використанням останньої і апріорної множини значень параметрів p оцінити апостеріорну повну множину значень параметрів.
Апостеріорна множина значень f (множина тих значень f, при котрих y може реалізуватися при деяких значеннях p відповідно до системи (4)) визначається таким чином.
(5).
де.
.
— одинична матриця розмірності , — псевдообернена матриця, що визначається в такий спосіб [1].
.
Апостеріорна повна множина оцінюваних величин p (множина тих значень p, при яких реалізується вимірюваний вектор y і шум f, що належить множині значень (5)) визначається таким чином.
(6).
де , — одинична матриця розмірності n’n. Множина (6) записана з умови знаходження розв’язку [7] системи (4) відносно вектора p.
Для лінійної алгебраїчної системи, що описується рівнянням (1) розглянемо задачу 1. Рівняння (2), отримане на підставі (4) при буде мати вигляд.
(7).
де функцію виберемо лінійною наступного виду.
(8).
де — невідома матриця.
Якщо система (4) спостережна, тобто при з системи алгебраїчних рівнянь.
вектор p знаходиться однозначно, то з представлення (8).
одержуємо умову, з якого матриця знаходиться наступним способом.
(9).
де псевдообрнена до матриці A, ,.
— одинична матриця розмірності .
Таким чином, у класі лінійних функцій множина фільтрів лінійної алгебраїчної системи, що описується системою рівнянь (4), має вид.
. (10).
У випадку присутності шуму f множина фільтрів (10) породить множину конкуруючих оцінок.
(11).
Якщо система (4) не спостережувана при f=0. Тоді для системи.
вектор p знаходиться неоднозначно.
. (12).
Тоді у випадку присутності шуму f, без обмеження загальності в (12) покладемо, множина конкуруючих оцінок має вигляд.
.
Тому що [5], тоді.
.
Таким чином формула (12) має загальний зміст.
Для множинних фільтрів при фіксованому u визначимо оптимальну функцію згідно до умови оптимальності.
(13).
Множини, і функція будуються до проведення експерименту.
Тоді умова (13) визначає оптимальне значення матриці таким чином.
. (14).
Будемо припускати, що мінімум і максимум досягаються.
Якщо f є випадковим векторною величиною з функцією розподілу, то тоді матрицю W можна вибрати оптимально згідно з імовірнісною умовою.
.
або середньоквадратичною умовою.
(15).
де — допустима множина відхилень оцінки вектора від вектора параметрів, — кореляційна матриця вектора випадкових величин.
У загальному випадку умова мінімуму (15) досягається неоднозначно, тому вся множина оптимальних фільтрів при середньоквадратичній умові оптимізації має вигляд.
(16).
де матриця задовольняє умові .