Методика навчання математиці як предмет. 
Принципи побудови курсу математики початковій школі

Методика навчання математиці як предмет. Принципи побудови курсу математики початковій школе.

Методика викладання математики (МПМ) — наука, предметом якої є навчання математиці, причому у широкому значенні: навчання математиці всіх рівнях, починаючи з дошкільних установ та закінчуючи вищої школой.

МПМ розвивається з урахуванням певній психологічної теорії навчання, тобто. МПМ є «технологію» застосування психолого-педагогічних теорій до початковому навчання математиці. З іншого боку, в МПМ повинна відбиватися специфіка предмета навчання — математики.

Цели початкового навчання математиці: загальноосвітні (оволодіння учнями певного обсягу математичних ЗУНов відповідно до програмою), виховні (формування світогляду, найважливіших моральних рис, готовності до праці), розвиваючі (розвиток логічних структур і математичного стилю мислення), практичні (формування вміння застосовувати математичні знання на конкретних ситуаціях, під час вирішення практичних задач).

Взаимосвязь вчителя і учня відбувається у вигляді передачі у двох протилежних напрямах: від вчителя до учня (пряма), від вчення до молодого вчителя (обратная).

Принципы побудови математики початковій школі (Л. В. Занков): 1) навчання рівні труднощі; 2) навчання швидким темпом; 3) провідна роль теорії; 4) усвідомлення процесу вчення; 5) цілеспрямована і систематична работа.

Учебная завдання — ключовим моментом. З одного боку вона відбиває спільні цілі навчання, конкретизує пізнавальні мотиви. З іншого боку дозволяє: зробити осмисленим процес виконання навчальних действий.

Этапы теорії поетапного формування розумових дій (П.Я. Гальперин): 1) попереднє ознайомлення із єдиною метою дії; 2) складання орієнтовною основи дії; 3) виконання дії матеріальному вигляді; 4) обговорювання дії; 5) автоматизація дії; 6) виконання дії розумовому плане.

Приёмы укрупнення дидактичних одиниць (П.М. Эрдниев): 1) одночасне вивчення подібних понять; 2) одночасне вивчення взаимообратных дій; 3) перетворення математичних вправ; 4) складання завдань учнями; 5) деформовані примеры.

Количественные натуральні числа. Рахунок. Взаємозв'язок кількісних і порядкових чисел.

Огромная роль вересня життя людей обумовлює досить раннє формування числових уявлень в дитини. Натуральне число виступає для дитини цьому етапі як цілісний наочний образ, в якій він не виділяє одиничних предметів. Перші уявлення дітей про кількість пов’язані з його кількісної характеристикою, і дитина може відповідати на питання: «Скільки?», не володіючи операцією счёта.

Количественная характеристика предметних груп усвідомлюється дитиною і під час встановлення взаимно-однозначного відповідності між предметними множинами (вираження у поняттях «стільки ж», «більше», «менше»). І тому можна використовувати: 1) накладення предметів одного безлічі на предмети іншого; 2) розташування предметів одного безлічі під предметами іншого; 3) з'єднання кожної дисципліни одного безлічі з кожним предметом іншого. Ця операція пов’язані з виділенням окремих елементів і підготовляє до свідомому володінню счётом.

На першому етапі рахунок виступає для дитини як встановлення взаимно-однозначного відповідності між предметної сукупністю і сукупністю слов-числительных. Для оволодіння операцією рахунку необхідно запам’ятати порядок слов-числительных, що закріплюється у виконання вправ типу «Скільки???» та інших вправ: 1) що изменилось/не змінилося? 2) ніж похожи/отличаются малюнки? 3) Чи вистачить мишкам горіхів, якщо кожному дати по ½/3 горіха? 4) За яким ознакою підібрані пари картинок? 5) Покажеш «зайву» картинку?

Усвоение дітьми послідовності слов-числительных дозволяє можливість перейти до формуванню операції рахунку і знайомству учнів з цифрами. Щоб учні вирізняли числа від цифр, корисно ознайомити їх із іншими цифрами (римскими).

Трудно довести до свідомості те що, що кожен число, що його при счёте, є це й порядковим, т.к. свідчить про порядок предмета при счёте. Для усвідомлення взаємозв'язку між порядковим і кількісним числом можна використовувати завдання з смужкою (це п’ятий гурток, скільки гуртків на смужці і т.д.).

Важно, щоб діти розуміли, що, який ми ні нумерували предмети даної сукупності, на запитання «Скільки?» буде завжди однаковим, у своїй нумерацію треба розпочинати із першого, зупиняти ні одного предмети й не вказувати однією предмет двічі. І тому можна використовувати різнобарвні кола і слід вважати їх, починаючи із різних, або ж переставляючи номери кіл при счёте.

Отрезок натурального низки. Присчитывание і отсчитывание по 1.

Замена слов-числительных, названих на певній послідовності, цифрами, дозволяє познайомити учнів з відрізком натурального ряда.

В початкових класах, вивчення цього поняття зводиться до засвоєнню тієї закономірності, яка належить основою побудови натурального низки чисел: кожне число в натуральному ряду більше попереднього і від попереднього на 1.

В М1М[1] послідовно розглядаються відтинки натурального низки чисел: 1,2; 1,2,3; і т.д. до 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. У цьому кожному відрізку виконується однотипна робота з добавлению/убавлению сукупності предметів на 1.

В М1И[2] учні переходять від рахунку предметів до записи цифр. У цьому натуральний порядок чисел порушується. Потому, як вони навчилися писати цифри від 1 до 9, їм пропонується записати звістку відрізок натурального низки чисел від 1 до 9 (порахуй слоників, запиши цифрами все числа, які ти називаєш; перевір, вийшов у тебе такий ряд чисел: 1,2,3,…, 9; подумай, як ти отримав кожна наступна число). Отже, діти одержують відрізок натурального низки чисел.

Математическую основу дій учнів щодо відрізка від 1 до 9 становить зв’язок чисел з кінцевими множинами. Для засвоєння натурального виряджаючи чисел і принципами його освіти, вони постійно звертаються до дій з предметами, розглядаючи різні ситуації (хмаринка закрила зірки, пірамідка і т.д.).

Осознание принципу побудови натурального низки чисел дозволяє виконати присчитывание і отсчитывание по 1. На відміну від рахунку, особливість операцій у тому, що зі предметних множин представлено натуральним числом.

Операция присчитывания освоюється легше, у тому важливу роль грає засвоєння порядку чисел при счёте. Інша працювати з засвоєнням зворотної послідовності чисел, основу якої лежить отсчитывание по 1. Тут учні вправляються лише у відтворенні послідовності числівників, що й не пов’язані з рішенням практичних завдань. А, аби вони дізналися практично багато важать цього вміння, корисно використовувати ситуації, особливості яких пов’язані з рухом числа від більшого до меншому: 1) учень повинен рухатися від більшої кількості до меншому, але всі речі перебувають проти нього і може скористатися відліком (листоноша); 2) частина предметів прихована від очей, тому рахунок здійснити неможливо (кинотеатр).

Сравнение чисел. Просторові і тимчасові представления.

Для встановлення відносин «більше», «менше», «одно» між числами молодший школяр може використати предметні, графічні і символічні модели.

В ролі математичної основи дій на матеріальному рівні виступає встановлення взаимно-однозначного відповідності між елементами двох множеств.

Для записи відносин між числами вчитель знайомить учнів зі знаками >, <, = і з математичними записами, які називаються равенствами і неравенствами.

В ролі символічної моделі використовується відрізок натурального ряда.

В ролі графічної моделі використовуємо числової промінь, у якому діти відзначають точки, відповідні натуральним числам.

Смысл дій складання і вычитания.

В курсі математики початковій школи знаходить відбиток теоретико-множественный підхід до тлумачення складання і вирахування цілих неотрицательных чисел, згідно з яким складання пов’язані з операцією об'єднання, віднімання — з операцією доповнення. Такий підхід легко інтерпретується лише на рівні предметних дій, дозволяючи цим враховувати психологічні особливості молодших школьников.

В М1М як основне способу формування поглядів на сенсі дій складання і вирахування виступають прості текстові задачи.

В основі іншого підходу (М1И) лежить виконання учнями предметних діянь П. Лазаренка та їх інтерпретація як графічних і символічних моделей. Як основний мети тут виступає усвідомлення предметного сенсу числових висловів і рівностей. Діяльність учнів спочатку зводиться до переведення предметних дій мовою математики, та був до встановленню відповідності між різними моделями (під картинкою, де діти випускають рибок до одного акваріум на написано символічне вираз дії 2+3).

Можно умовно виділити три виду ситуацій, що з операцією об'єднання: 1) збільшення даного предметного безлічі сталася на кілька предметів; 2) збільшення сталася на кілька предметів безлічі, равночисленного даному; 3) складання одного предметного безлічі з цих двох данных.

При формуванні в дітей віком поглядів на вирахуванні можна умовно поступово переорієнтовуватися під такі предметні ситуації: 1) зменшення даного предметного безлічі сталася на кілька предметів; 2) зменшення безлічі, равночисленного даному, сталася на кілька предметів; 3) порівняння двох предметних множеств.

В процесі виконання предметних дій у молодших школярів формується уявлення про вирахуванні як і справу дії, яке пов’язані з зменшенням кількості предметов.

Число і цифра 0.

Число нуль є характеристикою порожнього безлічі, тобто. безлічі, не що містить жодного елемента. А, щоб учні представили собі б таку силу-силенну, можна використовувати різні методичні приёмы.

Один прийом пов’язані з встановленням відповідності між числової постаттю і цифрою, що означає кількість предметів. Цим підходом можна скористатися до вивчення складання і вирахування, на етапі формування в учнів поглядів на кількісному числе.

Другой методичний прийом знайомить учнів з нулем як результатом вирахування. З цією метою їм пропонуються предметні ситуації, що вони спочатку описують, та був записують свій виступ числовими равенствами.

В М1М число 0 вводиться, як наслідок операції 1−1, в такому запровадження в дітей віком можна скласти неправильне уявлення про кількість 0. Тому треба розглянути якнайбільше таких випадків (2−2, 3−3 і др.).

Можно запропонувати завдання із формулюванням «Що змінилося?» і зображенням кількісної і порожній сукупностей предметов.

Возможно ознайомити дітей із числом нуль і з компонентом арифметичного дії, запропонувавши завдання із формулюванням «Що змінилося» і з цими двома однаковими сукупностями предметів. 4=4, 4+0=4 і 4−0=4.

Переместительное властивість сложения.

В початковому курсі учні ознайомлюються з коммутативностью складання, називаючи його «переместительным властивістю складання». На його роз’яснення можна використовувати дії з предметними множинами, порівняння числових рівностей, у яких переставлені складові, порівняння суми довжин однакових отрезков.

При формуванні в дітей віком поглядів на сенсі складання корисно пропонувати їм такі ситуації для предметних дій, і під час що вони самі помічають закономірність, пов’язані з переместительным властивістю складання. Наприклад: «в одній тарілці 4 апельсина, в інший — 3»; «скільки апельсинів обох тарілках?»; «в одній тарілці 3 апельсина, на інший — 4»; «скільки апельсинів обох тарелках?».

Возможен інший варіант моделювання переместительного властивості складання: Т=??? Т+К=???

До=?? К+Т=???

Взаимосвязь компонентів дій складання і вычитания.

В основі засвоєння взаємозв'язку між компонентами і результатами складання і вирахування лежить усвідомлення учнями предметного сенсу цих дій. У цьому треба враховувати, що особливу труднощі декому дітей представляє вичленення і видалення частини безлічі, тобто. усвідомлення тих предметних дій, пов’язані зі змістом вычитания.

В дослідженні РР. Микулиной виявили, що значної частини учнів і під час предметних дій, що з відніманням, фіксує скоріш просторове відділення, роз'єднання двох множин, ніж вичленення і видалення частини з целого.

Рассмотрим деякі методичні прийоми, у яких враховуються згадані вище психологічні особливості молодших школьников:

Работая у дошки з малюнками і дидактичними посібниками, корисно спочатку запропонувати учневі показати предметні сукупності, із якими діє, та був вже назвати число предметів в них.

Выполняя завдання з малюнками, яких дана запис виду — =, рекомендується заповнювати «віконця» у прямому порядку, а й починаючи з любого.

Можно використовувати завдання таке ж, але з срытыми кількостями. За умов їх виконанні увагу учнів зосереджується соотнесении елементів схеми і предметних совокупностей.

Можно запропонувати трьом учням взяти зі столу картки (наприклад, лише п’ять), відповідні вираженню (наприклад, 5−2=3). Після цього учні переконуються, що відразу дав усім картки не взять.

Можно пропонувати комплексні завдання з картками і з схемами.

Разрешение таких «протиріч» в ігровий формі допомагає дітям засвоїти взаємозв'язок між компонентами і результатами дій складання і вирахування. Проте, усвідомлюючи «предметну» взаємозв'язок компонентів і результатів дій, в повному обсязі діти можуть описати її, користуючись математичної термінологією: складові, значення суми, зменшуване, від'ємник, значення різниці. І тут доцільно використовувати поняття цілого і завадило частині і співвідношення з-поміж них (частина завжди менше цілого; якщо прибрати одну частина, то залишиться другая).

Понятие цілого й західної частини дозволяє хіба що «матеріалізувати» такі терміни, як складові, зменшуване, від'ємник (наприклад, встановлюючи відповідність між малюнком і математичної записью).

Таблица складання (вирахування) не більше 10

Формирование обчислювальних умінь і навиків — одне з основних цілей початковий курс математики. Обчислювальне вміння — це розгорнуте здійснення дії, у якому кожна операція усвідомлюється і контролюється. На відміну уміння навички характеризуються свёрнутым, в значною мірою автоматизованим виконанням дії, з перепусткою проміжних операцій, коли контроль переноситься кінцевий результат.

В початковому курсі математики учні повинні засвоїти лише на рівні досвіду: таблицю складання (вирахування) не більше 10; таблицю складання однозначних чисел переходити через розряд й формує відповідні випадки вирахування; таблицю множення відповідні випадки деления.

Подход підручнику М1М до формування навичок складання і вирахування не більше 10 передбачає усвідомлене складання таблиць та його мимовільне чи довільне запам’ятовування у процесі спеціально організованою діяльності. Усвідомлена складання таблиць може забезпечуватися теоретичної лінією курсу, предметними діями, методичними приёмами і наочними засобами. Для довільного і мимовільного запам’ятовування таблиць використовується спеціальна система упражнений.

Таблицы складання і вирахування не більше 10 можна умовно розділити чотирма групи, кожна з яких пов’язані з теоретичним обґрунтуванням, і відповідним способом дії: 1) принцип побудови натурального низки чисел — присчитывание і отсчитывание по 1; 2) сенс складання і вирахування — присчитывание і отсчитывание частинами; 3) переместительное властивість складання — перестановка доданків; 4) взаємозв'язок складання і вирахування — правило: коли з значення суми відняти одне складова, одержимо інше слагаемое.

Составление таблиць 1) групи бракує труднощі. При формуванні обчислювальних навичок для випадків складання і вирахування, поданих у 2), 3), 4) групах, робота організується відповідно до певними етапами: 1 — підготовка до ознайомлення з обчислювальним прийомом; 2 — ознайомлення з обчислювальним прийомом; 3 — складання таблиць з допомогою обчислювальних прийомів; 4 — розпорядження про запам’ятовування таблиць; 5 — закріплення таблиць у процесі тренувальних упражнений.

В формуванні обчислювальних навичок у шкільному практиці використовують різні підходи: а) вивчення таблиць; б) ознайомлення з різними обчислювальними приёмами à складання таблиць à мимовільне запам’ятовування в процесі виконання вправ; в) після використання предметних діянь П. Лазаренка та обчислювальних прийомів, учневі дається розпорядження про запоминание.

Данный підхід який завжди виявляється ефективним на формування автоматизованих навичок складання і вирахування в межах 10. У зв’язку з ним багато хто вчителя дають дітям установку на запам’ятовування складу кожного вересня межах 10, орієнтуючись у своїй формування свідомих навыков.

Десятичная система числення. Нумерація чисел.

Умение, та був навички читати і записувати вересня десяткової системі числення формуються у молодших школярів поетапно і тісно пов’язані з цими поняттями, і кількість, цифра, розряд, клас, розрядні одиниці, розрядні десятки, розрядні сотні мільйонів і т.д., розрядні слагаемые.

В М1М, М2М і М3М робота, метою якої є формування ставлення до десяткової сислеме числення, починається у концентре «Сотня», який розбивається на два щаблі - 11−20 і 21−100. В кожній щаблі спочатку вивчається усна нумерація, та був письмова. Одночасно ведеться робота, пов’язана з засвоєнням натурального низки чисел.

Дальнейшее вивчення нумерації триває в концентре «Тисяча». Особливості десяткової системи числення дозволяють молодших школярів здійснювати перенесення вміння читати і записувати двозначні числа галузь трёхзначных. Поява нового розряду — сотень пов’язують із запровадженням нової счётной одиниці (сотні). У концентре «Багатозначні числа» діти навчаються читати і записувати четырёхзначные, п’ятизначні і шестизначні числа. У цьому вся концентре вводиться поняття «клас». Для засвоєння структури багатозначного числа і термінології, що з назвою розрядів і класів, учні вправляються в читанні чисел, записаних в таблицю, що називається таблицею розрядів і класів, чи записують їх у неї числа, які називає учитель.

В підручниками М1И і М2И виділяються не концентры, а теми: «Однозначні числа», …, «П'ятизначні і шестизначні числа», що сприяє розумінню дітьми різниці між числом і цифрою. У першому етапі у учнів формуються ставлення до кількісному і порядковому числі. Запис числа 10 вводять у темі «Двозначні числа», коли дітям пропонується вважати десятками і зметикувати про цього рахунку. Потім пропонується вважати десятками і одиницями відразу, що викликає усвідомлення, що двозначні числа складаються їх десятків і одиниць (як модель десятка пропонується трикутник, у якому 10 гуртків). Наступна робота пов’язані з встановленням відповідності між предметної моделлю двозначної числа та її символічною записи. З цією метою пропонуються завдання: «Запиши цифрами числа, які відповідають кожному малюнку», «Збільш число 30 на 2 десятка, 3 десятка. Спостерігай! Яка цифра змінюється серед 30?».

Для формування вміння читати і записувати трёхзначные числа дітям пропонуються завдання: 1) на виявлення ознак подібності та відмінності двозначних і трёхзначных чисел; 2) на запис тризначних чисел певними цифрами; 3) на порівняння чисел; на класифікацію; на виявлення правила побудови низки чисел.

Умение називати кількість одиниць, десятків, сотень, тисяч числі вимагає як засвоєння разрядного складу числа, і усвідомлення те, що кожна разрядная одиниця серед (крім розряду одиниць) містить десять одиниць нижчого розряду. Наприклад, визначення кількості десятків, потрібно закрити цифри в розряді одиниць тощо. у кожному числе.

Урок математики початкових класах. Різні підходи побудувати уроку математики.

В курсі дидактики є свої вимоги сучасному уроку, з типами уроків й їхня структура. У методиці початкового навчання математиці все виглядає виявляється значно складнішим, особливо з структурою уроку. Це обумовлена тим, що з побудові конкретного уроку необхідно враховувати не лише певні етапи навчання (актуалізація знань, пояснення нового, закріплення, контроль, повторення) та специфіку математичного змісту, а й основну мета уроку, його логіку й ті методичні прийоми, що сприяють її достижению.

В цьому сенсі, характеризуючи урок з методичної точки зору, необхідно пам’ятати як його зовнішню, а й внутрішню структуру. Зовнішня структура — етапи уроку, у яких вирішуються ті чи інші дидактичні завдання. З погляду внутрішньої структури кожен урок — це певна система завдань, у виконання яких учень оволодіває ЗУНами.

Учебные завдання вибудовуються на уроці зазвичай, у такий послідовності: 1) завдання на наслідування; 2) тренувальні завдання, потребують самостійного застосування знань; 3) тренувальні завдання, потребують застосування раніше придбаних ЗУНов; 4) частично-поисковые і творчі задания.

Наиболее распространённым типом уроку математики є комбіновані уроки. Зовнішня структура уроків комбінованого типу може бути різною. Наприклад: 1 — закріплення і перевірка раніше вивченого матеріалу; 2 — вивчення нового матеріалу; 3 — закріплення цієї статті; 4 — завдання додому. Внутрішня структура уроків знаходить свій відбиток у учебниках.

Направленность курсу математики в розвитку дитини вносить істотні зміни у внутрішнє структуру уроку. Наприклад, на уроці вивчення нового, дітям пропонують частично-поисковые чи творчі завдання, які виконують мотиваційну функцию.

Этап закріплення не обмежується рамками одного уроку. Засвоєння нового матеріалу відбувається протягом вивчення всієї темы.

Повторение раніше вивченого матеріалу був із засвоєнням нового забезпечення і носить навчальний, а чи не контролюючий характер.

Процесс засвоєння математичного змісту носить суто індивідуальний характер.

Каждое завдання, призначене закріплення, активізує мислительну діяльність школярів, реалізуючи цим розвиваючі функції урока.

В развивающем курсі математики урок зорієнтований на внутрішню структуру. Її основні компоненти: навчальні завдання й ті навчальні завдання, що сприяють їх вирішення. Вони мають частично-поисковый характер виконують навчальну і розвиваючу функции.

Общий спосіб діяльності вчителя у разі планування уроку математики початковій школе.

Общий спосіб планування уроку можна в вигляді наступній послідовності вопросов:

Какие поняття, властивості, правила, обчислювальні прийоми розглядаються цьому уроке?

Что сам знаю них?

С якими їх діти знайомляться вперше? Із якими вже знайомі? Коли вони ознайомилися з ними?

Какова функція навчальних завдань даного уроку (навчальна, розвиває, контролює)? Які ЗУНы і прийоми розумових дій формуються у процесі їх выполнения?

Какова дидактична мета даного урока?

Какие завдання, запропоновані підручнику можна виключити з уроку? якими завданнями можна його доповнити? Які завдання преобразовать?

Как-то можна організувати продуктивну, розвиваючу діяльність школярів, спрямовану на актуалізацію ЗУНов, для сприйняття нового матеріалу, з його усвідомлення і засвоєння? Які методичні прийоми і форми організації діяльності учнів можна при цьому использовать?

Какие труднощі виникатимуть в дітей віком при виконанні кожного завдання, які помилки можуть допустити процесі їх виконання; як організувати їхня діяльність із попередження та виправленню ошибок?

Ориентируясь на це питання, можна навчитися планувати змістовні, вибудовані в певній логіці уроки.

Исходя з утримання уроку, годі й відповідати развёрнуто певні питання. Можна ще змінити їх послідовність чи об'єднати деякі вопросы.

Методический аналіз уроку математики.

Методический аналіз уроку, включаючи у собі компоненти педагогічного аналізу, має власну специфіку, яка обумовлюється змістом предмета. Особливість методичного аналізу у тому, що його мали проводити удвічі этапа.

На першому етапі вчитель сам оцінює, вдалося йому реалізувати намічений план практично. І тому він формує мета уроку і обгрунтовує логіку своїх дій, які спланував досягнення цієї мети. Потім порівнює логіку запланованих дій зі логікою проведення реального уроку. І тому доцільно зупинитися наступних вопросах:

Какие моменти уроку виявилися для вчителя неожиданными?

Чего не зміг врахувати у разі планування урока?

Пришлось йому відступити від запланованих їм діянь П. Лазаренка та почему?

Заметил він свої мовні помилки, недогляди, невдало сформульовані вопросы?

Считает чи вчитель, що урок досяг поставленої мети? Що критерієм цієї оценки?

На другому етапі всі ці запитання — предмет подальшого обговорення уроку колегами, присутніми на уроці. План цього обговорення можна як наступній послідовності вопросов:

Соответствует чи логіка уроку його цели?

Какие види навчальних завдань використовував вчитель на уроці: тренувальні, частично-поисковые, творчі? Які їх заслуговують позитивної оцінки? Почему?

Соответствуют чи навчальні завдання, підібрані учителем, мети урока?

Какие функції виконують завдання, запропоновані учителем: навчальну, розвиваючу, контролюючу? Що заслуговує позитивної оценки?

Грамотно чи вчитель використовував математичну термінологію, пропонував учням і питання задания?

Какие методичні прийоми, використовувані учителем на уроці, заслуговують позитивної оцінки? Працюючи над окремими завданнями, щодо нового, при закріпленні, проверке?

Какие форми організації діяльності учнів (індивідуальна, фронтальна, групова), застосовувані учителем на уроці, заслуговують позитивної оценки?

Удалось чи вчителю встановити контакти з дітьми (зворотний), успішно здійснювати корекцію їх дій, створюючи ситуації успіху, реалізувати ідею співробітництва? Які моменти заслуговують позитивної оцінки з цим точки зрения.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.

[1] Моро М. И. Математика: 1кл.

[2] Истомина Н. Б. Математика: 1кл.