Степеневі ряди. 
Теорема Абеля. 
Область збіжності степеневого ряду (реферат)

його радіусом збіжності. Аналогічно скориставшись ознакою Коші, можна встановити, що: R=[im $$\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}$$.

Зауваження 1. Неважко переконатись, що коли L=lim $$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=0$$ або L= lim $$\sqrt[n]{a_n}=0$$, то ряд (28) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. У цьому разі вважають R = + 00. Якщо ж L = о, то R = 0, і степеневий ряд має лише одну точку збіжності х = 0.

Зауваження 2. Питання про збіжність ряду при х = ± R (на кінцях інтервалу збіжності) розв’язується для кожного ряду окремо. Таким чином, область збіжності степеневого ряду може відрізнятись від інтервалу.

(-RR) не більше ніж двома точками х = ± R.

Зауваження 3. Радіус збіжності ряду (29) визначається за тими самими формулами (ЗО) і (31), що і ряду (28).

Інтервал збіжності ряду (29) знаходять з нерівності / х хо/ <R, тобто має вигляд (хо — RхоR).

Зауваження4. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Д’Аламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду, складеного з модулів членів заданого ряду.

3. Проміжок збіжності степеневого ряду. Степеневим ря­дом називається функціональний ряд вигляду а0 + а1 (х — х0) + а2(х — х0)2 + … + аn (х — х0) n + …, або, що те саме, $$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n(x-x_0{)}^n,$$ де аn, n = 1, 2, …, — сталі дійсні числа, які називаються коефіцієнтами степеневого ряду, а х0 -довільне фіксоване дійсне число.

Теорема 1. (теорема Абеля). Якщо степене­вий ряд збігається в точці $$\stackrel{}{х}$$, $$\stackrel{}{х}$$ $$$$ 0, то він абсолют­но збігається в будь-якій точці х, для якої |х| < | $$\stackrel{}{х}$$ |.

Із збіжності ряду.

$$a_0+a_1\stackrel{}{x}+a_2{\stackrel{}{x}}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n{\stackrel{}{x}}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

випливає, що його загальний член прямує до 0 при n math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >, а отже, послідовність (аn $$\stackrel{}{х}$$ n) обмежена, тобто існує таке М $$$$ R, що.

$$|{а}_n{\stackrel{}{x}}^n|<=M,n=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$ (1).

Візьмемо тепер будь-яке х, для якого |х|$$\stackrel{}{х}$$ |, й утворимо ряд.

$$|a_0|+|a_{1}x|+|a_2{x}^2|+\text{.}\text{.}\text{.}+|a_n{x}^n|+\text{.}\text{.}\text{.}$$ (2).

Оскільки.

$$|a_n{x}^n|=|a_n{\stackrel{}{x}}^n|{|\frac{x}{\stackrel{}{x}}|}^n<=M{|\frac{x}{\stackrel{}{x}}|}^n,$$ n = 1, 2, … ,.

і члени ряду (2) не перевищують відповідних членів збіжної геометричної прогресії (зі знаменником | $$\frac{х}{\stackrel{}{х}}$$ |.

$$M+M|\frac{x}{\stackrel{}{x}}|+M{|\frac{x}{\stackrel{}{x}}|}^2+\dots +M{|\frac{x}{\stackrel{}{x}}|}^2+\dots ,$$.

за першою порівняльною ознакою збіжності додатних рядів, ряд збіжний. У такому випадку, як відомо, ряд абсолютно збіжний, що й потрібно було довести.

У точці х = 0 збігається, очевидно, будь-який ряд). Проте є степеневі ряди, які, крім того, не збігають­ся в жодній точці х. Прикладом такого скрізь розбіжного ряду може служити ряд.

1!х + 2! х2 + … + n! хn + …,.

оскільки в цьому легко переконатися за допомогою ознаки Д’Аламбера (проробіть це самі). Подібні ряди не станов­лять інтересу.

Припустимо, що для ряду (1) серед точок $$\stackrel{}{х}$$, в яких він збігається, є й відмінні від 0. Розглянемо множину {| $$\stackrel{}{х}$$ |}- вона або обмежена зверху, або необмежена.

В останньому випадку, яку б точку х не взяти, знай­деться така точка х, що |х| < | $$\stackrel{}{х}$$ |, а тоді за теоремою Абеля ряд абсолютно збігається в узятій точці х. Ряд виявляєть­ся скрізь збіжним, тобто збіжним на R.

Нехай тепер множина {|х|} обмежена зверху. Ця множина має верхню грань: R = sup{|x|}. Зрозу­міло, що 0 < R < + $$\mathrm{}$$. Якщо |х| > R, то ця точка х відрізня­ється від усіх х, і ряд розбігається в точці х. Візьмемо те­пер довільну точку х, для якої |х| < R.

Існує така точка х, що |х| < | $$\stackrel{}{х}$$ | а це за теоремою Абе­ля знову зумовлює абсолютну збіжність ряду.

Таким чином доведено таке твердження.

Теорема 2. Для кожного степеневого ряду, якщо тільки він не є скрізь розбіжним, існує таке додатне число R (воно може бути також + $$\mathrm{}$$), що ряд абсолютно збігається в інтервалі (-RR) і розбігається в будь-якій точці х, для якої |х| > R (якщо R < + $$\mathrm{}$$). При цьому число R та інтервал (-RR) називаються відповідно радіусом й інтервалом збіжності степеневого ряду.

Тим самим вирішено питання про область збіжності X ряду: вона є суцільним проміжком відR до Rлише про кінці його (якщо R < + $$\mathrm{}$$) не можна зробити загального висновку: як побачимо нижче, в цих точках ряд може як збігатись (абсолютно чи умовно), так і розбігатись. Проміжок X називається проміжком збіжнос­ті ряду.

Для скрізь розбіжного ряду вважають R = 0- його про­міжок збіжності зводиться до точки х = 0.

Приклади.

1. Знайти проміжок збіжності ряду.

$$\frac{x}{1{\text{10}}^1}+\frac{x^2}{2{\text{10}}^2}+\dots +\frac{x^n}{n{\text{10}}^n}+\dots \text{.}$$.

Спочатку знайдемо інтервал збіжності цього ряду. Оскільки степеневий ряд в інтервалі збіжності збігається абсолютно, для знаходження цього інтервалу скористаємося достатньою ознакою Коші абсо­лютної збіжності числового ряду.

Маємо.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{|f_n\left(x\right)|}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{|\frac{x^n}{n{\text{10}}^n}|}=|x|\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{\text{10}\sqrt[n]{n}}=\frac{|x|}{\text{10}}\text{.}$$.

Отже, ряд збігається, якщо $$\frac{\stackrel{}{х}}{\text{10}}$$ < 1, і розбігається, якщо $$\frac{\stackrel{}{х}}{\text{10}}$$ > 1. Радіус збіжності досліджуваного ряду R = 10, а його інтервалом збіжності є інтервал (-10- 10).

З’ясуємо тепер поведінку ряду на кінцях проміжку (-10- 10). Підставивши в заданий ряд замість х число 10, дістанемо гармонічний ряд.

$$1+\frac{1}{2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n}+\text{.}\text{.}\text{.},$$.

а він розбіжний. Отже, в точці х = 10 даний ряд розбігається.

При х = -10 матимемо числовий знакопереміжний ряд.

$$-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^n\frac{1}{n}+\text{.}\text{.}\text{.},$$.

який умовно збіжний (за теоремою Лейбніца).

Таким чином, проміжком збіжності заданого ряду є [-10- 10).

2. Знайти проміжок збіжності ряду.

$$1+\frac{х}{1!}+\frac{{х}^2}{2!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{х}^n}{n!}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Скористаємось ознакою Д’Аламбера. Маємо.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{|f_{n+1}(x)|}{f_n(x)}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}|=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}|\frac{x^n}{n!}\mathrm{:}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}|=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{|x|}{n}=|x|\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{n}=0$$.

для будь-якого х $$$$ R. Оскільки 0 < 1, досліджуваний ряд збігається в будь-якій точці x $$$$ R.

Отже, проміжком збіжності заданого ряду є інтервал (- $$\mathrm{}$$ — + $$\mathrm{}$$).

3. Знайти проміжок збіжності ряду.

$$\frac{x}{1^2}+\frac{x^2}{2^2}+\dots +\frac{x^n}{n^2}+\dots$$ .

Цей приклад читач розв’яже самостійноми обмежи­мося відповіддю: тут радіус збіжності R = 1- проміжком збіжності є відрізок [-1- +1], ряд збігається абсолютно та­кож при х = ±1.

Усе викладене стосується також степеневого ряду виг­ляду лише роль точки 0 відіграє точка х0: промі­жок збіжності має кінці х0 — R та х0+ R (зі включенням кінців чи ні залежно від випадку).

Література:

Барковський В. В. Барковська Н.В. «Математика для економістів». Вища математика. — К.: Національна академія управління, 1997 р. — 397 ст.