Метод підсумовування Бернштейна–Рогозинського

КУРСОВА РОБОТА Метод підсумовування Бернштейна — Рогозинського

РЕФЕРАТ Курсова робота: 3 розділи, 35 стор., 10 джерел

У курсовій роботі розглянуте використання методів Бернштейна — Ро-гозинського для підсумовування рядів Фур'є й інтеграла Фур'є в історичному викладі робіт С. Б. Стечкина (1951) і И. П. Натансона (1939).

Проаналізований метод підсумовування рядів Фур'є за БернштейномРогозиньским є конкуруючим з методами підсумовування рядів Фур'є:

— Метод середніх арифметичних сум (метод Чезаро — Фейера);

— Метод АбеляПуассона;

та представляє методологічний інтерес в подальших пошуках у другій поло-вині 20- сторіччя методів найкращого наближення функцій при підсумовуванні рядів Фур'є до впровадження комп’ютерних алгоритмів чисельного рішення задач підсумовування.

Ключові слова: РЯДИ ФУР'Є, СУМА РЯДУ, МЕТОД БЕРНШТЕЙНА — ЛОЗИНСЬКОГО, МЕТОД ЧЕЗАРЕ-ФЕЙЕРА, МЕТОД АБЕЛЯ-ПУАССОНА

ЗМІСТ ВСТУП

1. СУТНІСТЬ ТА ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ ТА ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є

1.1 Основні відомості

1.2 Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є

1.3 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

1.4 Інтеграл Фур'є

1.5 Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції

1.6 Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

2. ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є ЗА ДОМОМОГОЮ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по С.Б.Стечкіну. 1951)

2.1 Загальна постановка задачі

2.2 Визначення методів Бернштейна — Рогозинського (БР,)

2.3 Регулярність методів (БР,)

2.4 Підсумовуємість (БР,) і збіжність

2.5. Підсумовуємість (БР,) і підсумовуємість (С, 1)

2.6 Застосування методів (БР,) до рядів Фур'є

2.7 Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського

3. ПІДСУМОВУВАННЯ ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є З ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по І.П.Натансону, 1939)…30

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Метод підсумовування Бернштейна-Рогозинського — це один з методів підсумовування рядів Фур'є Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985., який позначається як — .

Тригонометричний ряд

підсумовується методом БернштейнаРогозинського в точці х 0 до значення S, якщо виконується умова

де — числова послідовність,

а — часткові суми ряду (*).

В. Рогозинский Rogosinski W., «Math. Ann.», 1925, Bd 95, № 1, S. 110−34; спочатку розглянув (1924) випадок. (р — непарне число), потім (1925) загальний випадок. С. Н. Бернштейн Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 523−25; розглядав (1930) випадок. — це метод підсумовування ряду Фур'є функції у випадках і у крапках безперервності функції до її значення і є регулярним методом підсумовування. Суми Бернштейна — Рогозинського застосовуються як апарат наближення Стечкин С. Б., Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского, в кн.: Г. Хар-ди, Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. .

У курсовій роботі розглянуте використання методів Бернштейна — Рогозинського для підсумовування рядів Фур'є й інтеграла Фур'є в історичному викладі робіт С. Б. Стечкина (1951) і И. П. Натансона (1939).

1. СУТНІСТЬ ТА ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ ТА ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є

1.1 Основні відомості

Функція f (x), визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує таке число, що при будь-якому значенні х виконується рівність. Число Т називається періодом функції.

Відзначимо деякі властивості цієї функції [10]:

1) Сума, різниця, добуток і частка періодичних функцій періоду Т є періодична функція періоду Т.

2) Якщо функція f (x) має період Т, то функція f (ax) має період .

3) Якщо f (x) — періодична функція періоду Т, то рівні будь-які два інтеграли від цієї функції, узяті по інтервалах довжини Т (при цьому інтег-рал існує), тобто при будь-яких a і b справедлива рівність.

1.2 Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є

Якщо f (x) розкладається на відрізку у рівномірно збіжний тригонометричний ряд [2]:

(1.1)

то це розкладання єдине й коефіцієнти визначаються по формулах:

де n=1,2,.. .

Тригонометричний ряд (1.1) розглянутого виду з коефіцієнтами назива-ється тригонометричним рядом Фур'є, а коефіцієнтами ряду Фур'є.

1.3 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій Нехай f (x) — парна функція з періодом 2L, що задовольняє умові f (-x) = f (x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули [2]:

=

=

= 0, где n=1,2,.. .

Таким чином, у ряді Фур'є для парної функції відсутні члени із синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:

Нехай тепер f (x) — непарна функція з періодом 2L, що задоволь-няє умові f (-x) = - f (x).

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

де n=1,2,.. .

Таким чином, у ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:

Якщо функція f (x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку то

де ,

Якщо f (x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0,L], то довизначивши задану функцію f (x) відповідним чином на [-L, 0] і далі періо-дично продовживши на (T=2L), одержимо нову функцію, що розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.

Для розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінце-вому довільному інтервалі [a, b], треба: довизначити на [b, a+2L] і періодично продовжити, або довизначити на [ b-2L, a] і періодично продовжити.

1.4 Інтеграл Фур'є

Достатні умови перетворення функції в інтеграл Фур'є.

Для того, щоб f (x) була представлена інтегралом Фур'є у всіх крапках безперервності й правильних крапок розриву, досить [2]:

1) абсолютної интегрируемости на

(тобто інтеграл сходиться)

2) на будь-якому кінцевому відрізку [-L, L] функція була б кусочно-гладкою

3) у крапках розриву функції, її інтеграл Фур'є визначається напівсумою лівої й правої меж у цих крапках, а в крапках безперервності до самої функції f (x)

Інтегралом Фур'є функції f (x) називається інтеграл виду:

де ,

. (1.2)

1.5 Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції

Нехай f (x)-парна функція, що задовольняє умовам пперетворення в інтеграл Фур'є.

З огляду на, що, а також властивість інтегралів по симетричному щодо крапки x=0 інтервалу від парних функцій, з рівності (1.2) одержуємо:

(1.3)

Таким чином, інтеграл Фур'є парної функції f (x) запишеться так:

де a (u) визначається рівністю (1.3).

Міркуючи аналогічно, одержимо, для непарної функції f (x) :

(1.4)

і, отже, інтеграл Фур'є непарної функції має вигляд:

де b (u) визначається рівністю (1.4).

1.6 Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Вихідні дані :

(Рис. 1.1)

Функція періодична з періодом .(f (x+T)=f (x)) Функція має на проміжку кінцеве число крапок розриву першого роду.

Сума ряду в крапках функції сходиться до значення самої функції, а в крапках розриву до величини, декрапки розриву.

Рис. 1.1. Вихідна періодична функція [4]

Похідна також безперервна скрізь, крім кінцевого числа крапок розриву першого роду. Висновок: функція задовольняє умові розкладання в ряд Фур'є.

1) F (x) — кусочно-безперервна на інтервалі .

2) F (x) — кусочно-монотонна.

Тому що відсутня симетрія відносно OY, а також центральна симетрія — то розглянута функція довільна.

Представлення функції рядом Фур'є.

З розкладання бачимо, що при n непарному приймає значення рівні 0, і додатково треба розглянути випадок коли n=1.

Тому формулу для можна записати у вигляді:

(тому що).

Окремо розглянемо випадок коли n=1:

Підставимо знайдені коефіцієнти в одержимо:

і взагалі

.

Знайдемо перші п’ять гармонік для знайденого ряду:

1-а гармоніка ,

2-а гармоніка ,

3-а гармоніка ,

4-а гармоніка ,

5-а гармоніка ,

і загальний графік F (x), сума вище перерахованих гармоник. і самі гармоніки.

Рис. 1.2. Представлення вихідної періодичної функції у вигляді суми гармонік ряду Фур'є [4]

2. ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є ЗА ДОМОМОГОЮ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по С.Б.Стечкіну. 1951)

2.1 Загальна постановка задачі

Нехай — підсумовуєма функція з періодом і

— її ряд Фур'є.

Покладемо

так що являють собою часткові суми ряду Фур'є .

Розглянемо найпростіші лінійні комбінації сум з тим самим номером і з різними аргументами. Саме, задамо послідовність позитивних і прагнучих до нуля чисел і покладемо

. (2.1.1)

Це визначення дає нам метод підсумовування Фур'є, який будемо називати методом Бернштейна-Рогозинського. Властивості такого методу підсумовування цілком залежать від вибору визначальний його послідовник-ности. Виявляється, що при належному виборі чисел :

а) послідовність сходиться при майже всюди до для кожної (іншими словами, аналізуємий метод — ефективний [, c.443]);

б) послідовність рівномірно сходиться до, якщо ця функція безперервна.

В. Рогозинский у 1920 р. вивчав спочатку методи (1.1) для випадку

(2.1.2)

де — ціле непарне число. Потім у 1925 р. він узагальнив деякі свої результати на методи (2.1.1), для яких

. (2.1.3)

де функціонал визначається як [ ]:

1) вираження означає

2) вираження означає

У загальному випадку, O (an), an>0 означає величину, відношення якої до an залишається обмеженим або прагне до нуля (при).

С.Н. Бернштейн у 1930 р. розглянув випадок

(2.1.4)

а також загальний випадок (1.3).

2.2 Визначення методів Бернштейна — Рогозинського (БР,)

Розглянемо визначення методів Бернштейна-Рогозинського (позначення як методи (БР,)). Маємо

. (2.2.1)

Ця формула дозволяє перенести дане вище визначення методів підсумовування Бернштейна-Рогозинського на довільні числові ряди.

Будемо говорити, що ряд підсумовується методом Бернштейна-Рогозинського до значення, якщо послідовність

(2.2.2)

при сходиться й має межею .

При виконанні цих умов будемо писати

(БР,). (2.2.3)

Методи (БР,) належать до загального класу методів підсумову-вання, обумовлених формулою

(2.2.4)

де — задана функція.

У тих випадках, де це представляється можливим, ми будемо доводити теореми для загальних перетворень виду (2.2.4) і одержувати звідси результа-ти методів (БР,) як наслідок.

2.3 Регулярність методів (БР,)

Розглянемо регулярність методів Бернштейна-Рогозинського. Насам-перед виникає питання, при яких обмеженнях на послідовність відпо-відний метод (БР,) регулярний. Ми почнемо з розгляду цього питання для загальних перетворень виду (2.2.4).

Теорема 1. Нехай функція визначена для всіх і задовільняє умові Липшица

. (2.3.1)

Якщо ряд сходиться й має суму, то

(2.3.2)

і визначається формулою (2.4), тобто

. (2.3.3)

Тут і надалі ми будемо позначати через часткові суми ряду :

Покладемо для

. (2.3.4)

Застосовуючи до (2.2.4) перетворення Абеля, одержуємо

(2.3.5)

У силу (3.1) і (3.2)

(2.3.6)

рівномірно для. Звідси

. (2.3.7)

Крім того, очевидно

. (2.3.8)

Співвідношення (2.3.6), (2.3.7) і (2.3.8) показують, що виконуються всі умови розглянутої теореми 1 з і, звідки й витікає (2.3.3).

Отже, при виконанні умов (2.3.1), (2.3.2) і

(2.3.9)

перетворення (2.2.4) визначає регулярний метод підсумовування.

Для методів (БР,) можна одержати більше повний результат.

Теорема 2. Для того, щоб метод (БР,) був регулярним, необхідно й досить, щоб мали вигляд

(2.3.10)

де — цілі числа і .

Доведення. Достатність цих умов відразу випливає з теореми 1, тому що

і функція задовольняє умовам (2.3.1) і (2.3.9).

Необхідність. Запишемо у формі, аналогічній (2.3.5):

.

У силу теореми 2 для регулярності методу необхідно насамперед, щоб при, тобто

.

Звідси випливає, що числа мають вигляд (3.10) і при .

Далі,

(2.3.11)

.

Цей вираз являє собою інтегральну суму Римана для функції на інтервалі Тому при

.

Звідси видно, що якщо те суми (2.3.11) не обмежені в сукупності, і метод (БР,) не регулярний. Теорема доведена.

Таким чином, у силу періодичності й парності функції предствавляють інтерес лише ті методи Бернштейна-Рогозинського, для яких

и ().

Надалі ми завжди припускаємо ці умови виконаними.

2.4 Підсумовуємість (БР,) і збіжність При яких обмеженнях на послідовність метод Бернштейна-Рогозинського еквівалентний збіжності (тобто підсумують ті й тільки ті ряди, які сходяться)? Часткова відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема 3. Нехай

(2.4.1)

де. Тоді метод (БР,) еквівалентний збіжності.

Встановимо попередньо наступну загальну пропозицію.

Теорема 4. Нехай трикутна матриця

визначає регулярний метод підсумовування :

для якого виконуються умови

(2.4.2)

та

(2.4.3)

для всіх досить великих, де .

Тоді метод еквівалентний збіжності.

Доведення. У силу (4.2) досить показати, що із витікає. Ми розіб'ємо доведення на два етапи:

1) доведення обмеженості чисел і

2) доведення співвідношення .

Покладемо. Тоді в силу умови

(2.4.4)

для всіх досить великих .

Маємо

звідки

. (2.4.5)

Тому для всіх номерів, для яких одночасно виконуються умови (2.4.3) і (2.4.4), і, зокрема, для всіх досить великих .

.

Звідси для

тобто послідовність обмежена .

1) Покладемо

і зафіксуємо номер. Тоді в силу (4.5) для всіх досить великих

тому що в силу регулярності методу, якщо і фіксовано, і. Отже,

для, звідки витікає, що, тобто .

Теорема доведена.

Теорема 3 є частковим випадком тільки що установленої пропозиції. Справді, має потребу в перевірці лише умови (4.3). Але якщо, те та

.

Тому

і, отже, умова (4.3) виконана.

Як показує більш докладний розгляд, теорема 3 справедлива для всіх і вже несправедлива для .

2.5 Підсумовуємість (БР,) і підсумовуємість (С, 1)

Розглянемо підсумовуємість Бернштейна-Рогозинського (БР,) і підсумовуємість (С, 1), де символом (С, k) позначається сукупність методів підсумовування числових і функціональних рядів, уведених Е. Чезаро [] **).

*************************************************************)

Ряд с частковими сумами Sn підсумуємо методом Чезаро порядку k,

(С, k)-підсумуємо до суми S, якщо

де і визначаються як коефіцієнти розкладань

Вирази для і можна представити у вигляді

Метод (С, k)є матричним методом підсумовування з матрицею

При k = Q метод збігається зі звичайною збіжністю, при k=1 є методом середніх арифметичних С (1).

Чезарівські середні (середні по Чезаро) послідовності {an} — це середні арифметичні перших n членів {an}:

Позначення межі среднеарифметических сум ряду (С, 1) було вперше використане Д. Бернуллі в 1771 р.

***********************************************************)

Досліджуємо залежності між методами Бернштейна-Рогозинского (БР,) і підсумовуванням за методом (С, 1).

Теорема 5. Нехай функція визначена для всіх і має похідну, що задовольняє умові Липщица.

Якщо

(С, 1) (2.5.1)

(2.5.2)

та

(2.5.3)

Де визначається за допомогою (2.4), то

(2.5.4)

На додаток до позначення (3.4) покладемо За допомогою теореми про середнє значення безпосередньо переконуємося, що

і (2.5.5)

рівномірно для .

Двічі застосовуючи перетворення Абеля, одержуємо

(2.5.6)

де середні арифметичні приватних сум ряду .

Покладемо в цій формулі для. Тоді и, і (2.5.6) приймає вигляд

(2.5.7)

З (2.5.6) і (2.5.7)

Перевіримо, що для цього перетворення виконані всі умови теореми 4. У силу (2.5.5) досить установити, що

І дійсно, згідно (2.5.5)

Таким чином, і теорема доведена.

Теорема 6. Нехай виконані всі умови теореми 5, і крім того ,

или

де при

Тоді .

Досить помітити, що при виконанні умов цієї теореми

.

Отже, якщо виконуються умови теорем 5 і 6, то метод (2.4) не слабкі-ше методу (С, 1).

Для всякого ряду, підсумовуємого методом (С, 1), виконується співвідношення. Тому, зокрема, справедлива Теорема 7. Нехай виконані всі умови теореми 5 і крім того,

(2.5.8)

Тоді, тобто (2.2.4) не слабкіше методу (З, 1).

Для методів Бернштейна-Рогозинського (БР,) можна одержати більше повний результат. Саме, має місце наступна Теорема 8. Для того щоб метод Бернштейна-Рогозинського (БР,), де був не слабкіше методу (2.З, 1), необхідно й досить, щоб мали вигляд

(2.5.9)

децілі непарні числа й

Необхідність. Якщо метод Бернштейна-Рогозинського (БР,) не слабкіше методу (З, 1), то він, відповідно, регулярний, звідки в силу теореми 2 і умови треба, щоб

Покажемо тепер, що якщо метод Бернштейна-Рогозинского не слабкіше методу (2.З, 1) то

(2.5.10)

Помітимо, що оцінку для всього класу рядів, підсумовуємих методом (С, 1), не можна поліпшити. Іншими словами, яка б не була дана послідовність, для якої, найдеться ряд, підсумовуємий за методом (С, 1) і такий, що

(2.5.11)

Допустимо, що умова (5.10) не виконується, покладемо. Тоді, згідно тільки що зробленому зауваженню, найдеться ряд, який підсумовується методом (С, 1), для якого виконується співвідношення (5.11).

Покажемо, що цей ряд не підсумується методом (БР,). Дійсно, відповідно до теореми 5,

Тут -(З, 1) — сума ряду. Але в силу (2.5.11)

звідки й випливає, що аналізуємий ряд не підсумується методом (БР,). Отже, умова (5.10) необхідна.

Залишається тільки помітити, що з необхідності умов і (2.5.10) негайно витікає необхідність всіх умов теореми. Саме, (2.5.10) показує, що мають вигляд

децілі непарні числа, а умова тягне .

Достатність умов очевидна в силу теореми 7, і наша теорема повністю доведена.

Можна також указати умови, при яких метод (БP,) не сильніше методу (С, 1). Ми обмежимося доказом найпростішої теореми такого роду.

Теорема 9. Метод (БР,) еквівалентний методу (С, 1)

У силу попередньої теореми достатньо встановити, що підсумовуємість (БР,) тягне підсумовуємість (С, 1). Для цього запишемо згідно (5.6) у формі

де тепер

і

Переконаємося, що для цього перетворення виконуються умови теоре-ми 4. Має потребу в перевірці лише умова (4.3). Маємо згідно (5.7)

Звідси, тому що ,

Таким чином, Отже, застосовна теорема 4, що показує, що ,

Тобто, а це й потрібно було довести.

Цікаво відзначити, що найменша зміна послідовності порушує еквівалентність методів (БР,) і (С, 1).

Наприклад справедлива така Теорема 10. Метод (БР,) сильніше методу (З, 1).

Для доведення досить побудувати ряд, підсумовуємий (БР,) і не підсумовуємий методом (С, 1). Як показує нескладний підрахунок, як такий ряд може служити .

2.6 Застосування методів (БР,) до рядів Фур'є

Встановлені вище пропозиції дозволяють досліджувати ряд питань про підсумовування рядів Фур'є методами (БР,). Ми почнемо із установ-лення достатніх умов — ефективності цих методів Теорема 11. Якщо

(2.6.1)

де — цілі непарні числа и, то метод (БР,) — ефектив-ний.

Як відомо, для будь-якої підсумовуємої функції майже всюди

(2.6.2)

Далі, тому що в силу теореми 6 для всіх, для яких виконується умова (6.2), метод (БР,), що задовольняє умовам теореми, не слабкіше методу (С, 1) і метод (С, 1) — ефективний, то умови теореми достатні для — ефективності.

Переходимо до вивчення підсумовування методом (БР,) рядів Фур'є від неперервних функцій. Введемо наступне визначення. Будемо говорити, що деякий метод підсумовування перманентний, якщо він кінцевострочний і перетворені суми ряду Фур'є рівномірно сходяться до

для будь-якої безперервної функції. Варто відзначити, що поняття регулярності методу не збігається з поняттям перманентності. Метод підсумовування може бути регулярним, але не перманентним, і навпаки.

Теорема 12. При виконанні всіх умов теореми 10 метод (БР,) перманентний.

Це випливає з того, що для безперервної функції умова (6.2) виконується рівномірно відносно й що для такої функції її ряд Фур'є рівномірно підсумуємо (З, 1). Справді, як неважко перевірити, якщо для ряду всі умови теореми 6 виконуються рівномірно відносно, те цей ряд рівномірно підсумується (БР,.)

Можна показати, що умови теореми й необхідні для перманентності методу (БР,).

2.7 Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського Розглянемо питання про залежність між найкращими наближеннями безперервних функцій за допомогою тригонометричних поліномів і їхніх наближень за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського.

Через будемо позначати найкраще наближення неперервної періодичної функції за допомогою тригонометричних поліномів порядку, а через — відхилення цієї функції від її суми Бернштейна-Рогозинського. Іншими словами, ми думаємо та Крім того, як звичайно, є модуль глакости функції, тобто де — друга кінцева різниця функції із кроком .

Теорема 13. Нехай числа мають вигляд

(2.7.1)

де — цілі непарні числа и .

Тоді (2.7.2)

Насамперед помітимо, що при виконанні умов теореми метод (БР,) перманентний (теорема 11). Звідси випливає, що

(2.7.3)

Щоб підкреслити залежність полінома від функції, ми будемо далі писати. Очевидно,

(2.7.4)

Нехай тригонометричний поліном найменш ухиляється від функції серед всіх поліномів порядку

(2.7.5)

Маємо, використовуючи (7.4),

Але відповідно до визначення сум

крім того, згідно (7.3) і (7.4)

Звідси

і теорема доведена.

Ця теорема показує, що суми Бернштейна-Рогозинського добре апрок-симують безперервні функції. Зокрема, тому що

(2.7.6)

і при виконанні умови теореми 13

(2.7.7)

тоді

періодичний функція фур'є бернштейн

3. ПІДСУМОВУВАННЯ ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є З ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по І.П.Натансону, 1939)

Проблема підсумовування інтегралів Фур'є подібна із проблемою підсумовування рядів Фур'є. Постановка її така: Нехай є функція класу; покладемо

(3.1)

Запитується: як знаючи функція (3.1), відновити вихідну функцію ?

Як відомо, ця задача вирішується методом, аналогічним методу Чезаро-Фейера.

У роботі І.П.Натансона запропоноване нове рішення проблеми. Саме він показав, що метод С.Н. Бернштейна-В.Рогозинського також може бути перенесений з теорії рядів у теорію інтегралів Фур'є.

Покладемо

(3.2)

(3.3)

У теоремі 3.1 доводиться, що зі зростанням майже скрізь прагне до, причому це прагнення свідомо має місце в кожній крапці безперервності функції (якщо такі існують) і що воно рівномірно в кожному сегменті безперервності .

У теоремі 3.2 і подальших викладках даються оцінки різниці

Теорема 3.1. У кожній крапці, у котрій

(3.4)

буде (3.5)

Доведення. У силу (3.1) і (3.2)

звідки

і стало бути,

(3.6)

Для дослідження функції (3.6) можна було б застосувати деякі загальні теореми про сингулярні інтеграли, але прямий метод простіше. Ми маємо

(3.7)

Тепер потрібно, опираючись на (3.4), показати, що права частина (3.7) нескінченно мало разом з. Розіб'ємо інтервал на частини й і розглянемо інтеграл по інтервалу; інтеграл по інтервалу оцінюється майже таким же способом. Інтеграл, що цікавить нас, має вигляд

(3.8)

взявши довільне, підберемо настільки мале, що при буде

(3.9)

Вважаючи, представимо у формі суми інтегралів

(3.10)

У проміжку

звідки

(3.11)

У проміжку

звідки

(3.12)

Для оцінки інтеграла, інтегруючи вроздріб, знайдемо

і, отже, Але, і стало бути

(3.13)

Нарешті,

і тим більше

(3.14)

З (3.11),(3.12),(3.13) і 3.(14) треба, щоб при

(3.15)

і при виявляється Теорема доведена.

Зауваження 1. Умова (3.4), мабуть, виконана, якщо функція безперервна в крапці. Більше того, якщо безперервна в сегменті, то, як показує оцінка (3.15), прагнення (3.5) рівномірно в сегменті .

Зауваження 2. Тому що співвідношення (3.4) має місце майже скрізь, то з нашої теореми витікає відомий результат: якщо щодо функції з відомо, що то еквівалентна нулю.

Зауваження 3. Якщо функцію із самого початку визначити формулою (3.6), то легко побачити, що для справедливості теореми досить, щоб до належала функція

Теорема 3.2. Якщо й крім того

то для всіх буде

(3.16)

Доведення.

З нерівності (3.7) треба, щоб

Покладаючи

що й доводить теорему.

Щоб розглянути випадок, нам знадобиться наступна майже очевидна і ймовірно відома Лема. Якщо й крім того

То (3.17)

і зокрема

Доведення. Нехай (3.17) не має місця. Тоді існує число й прагнуча до нескінченності послідовність крапок таких що

Не обмежуючи спільності, можна вважати, що

При, що перебуває в сегменті, буде звідки так що

що суперечить умові.

Теорема 3.3. В умовах леми при всіх буде

(3.18)

Доведення. У силу (3.7)

Представимо останній інтеграл у формі

У силу леми Аналогічно

Нарешті,

або Зіставляючи оцінки для й одержимо (3.18).

Якщо покласти то у всіх доведених вище теоремах можна замінити на. У цьому випадку теорема 3.3 не буде допускати поліпшення. Справді, якщо й у деякій крапці функція, будучи неперервна, має різні правосторонню й лівосторонню похідні, то Стосовно такого результату встановити не можна. Дійсно має місце

Теорема 3.4. Якщо функція в крапці має праву й ліву похідну, то в цій крапці.

(3.19)

Доведення.У силу (3.6) маємо Зупинимося для конкретності на інтегралі

Очевидно де прагне до нудю разом з .

Взявши, знайдемо таке, що при буде.

У такому випадку

У силу співвідношення (3.14)

або При великих виявляється

.

Теорема 3.4, таким чином, доведена.

ВИСНОВКИ Проаналізований метод підсумовування рядів Фур'є за БернштейномРогозиньским є конкуруючим з методами підсумовування рядів Фур'є:

— Метод середніх арифметичних сум (метод Чезаро — Фейера);

— Метод АбеляПуассона;

та представляє методологічний інтерес в подальших пошуках у другій половині 20- сторіччя методів найкращого наближення функцій при підсумо-вуванні рядів Фур'є в роботах:

— С т е ч к и н С. Б., О приближении периодических функций суммами Фейера, Тр. Матем. ин-та АН СССР, 62 (1961), 48—60.

— Т и м, а н М. Ф., Наилучшее приближение функции и линейные методы суммирования рядов Фурье, Изв. АН СССР. Сер.матем., 29 (1965), 587—604.

— Бари Н. К. Тригонометрические ряды — М.: Изд-во Физмат. лит-ры, 1961.

— Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х т. Т.1. Пер. с англ. — М.: Изд-во «Мир», 1985

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Аксёнов А. П. Математический анализ. (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирoвание расходящихся рядов.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 1999, 86 с.

2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды — М.: Изд-во Физмат. лит-ры, 1961 — 682 с.

3. Залгаллер С. И. К суммированию рядов Фурье по методу Бернштейна-Лозинского // Известия высших учебныз заведений, № 5(12), 1959

4. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 с.

5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике — М.: Физматлит, 1973 — 640 с.

6. Натансон И. П. Об одном способе суммирования интегралов Фурье — Труды Лен. Индустр. института, физ-мат., № 4, вып.2,стр. 39−44,1937

7. Стечкин С. Б., Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского, в кн.: Г. Харди, Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.

8. Харди Г. Расходящиеся ряды — М.: Изд-во Иностранная литература, 1951 — 603 с.

9. Чезаре Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых, ч. I-II — Одеса, Изд-во «Матезис», 1913 — 2 изд. — Ленинград, ОНТИ, 1936.

10. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х т. Т.1. Пер. с англ. — М.: Изд-во «Мир», 1985 — 264 с.