Знаходження власних значеннь лінійого оператора

Міністерство освіти і науки України ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ Реєстраційний №________

Дата ___________________

КУРСОВА РОБОТА

Тема:

Знаходження власних значень лінійного оператора

Рекомендована до захисту

«____» __________ 2008р.

Робота захищена

«____» __________ 2008р.

з оцінкою

_____________________

Підписи членів комісії

Зміст

Вступ Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

2. Матриця лінійного оператора

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора Практична частина

1. Опис програми

2. Текст програми

3. Контрольний приклад Висновок Список літератури

Вступ

Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.

Нехай в дійсному лінійному просторі задан лінійний оператор. Якщо вектор, відмінний від нуля, переводиться оператором у вектор, пропорційний самому ,

де — деяке дійсне число, то вектор називається власним вектором оператора, а число — власним значенням цього оператора, причому, власний вектор відноситься до власного значення .

Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним, є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.

Теоретична частина

1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів

В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.

Нехай — деякий векторний простір над полем .

Означення 1. Вважають, що у векторному просторі задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору простору ставиться у відповідність деякий вектор цього ж простору. Про цьому вектор називають образом вектора, а називають прообразом вектора .

Як бачимо, оператор у векторному просторі - це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .

Означення 2. Оператор у векторному просторі називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:

Лінійні оператори в просторі називають також лінійним перетворенням простору .

З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:

1. Будь-який лінійний оператор у просторі залишає нерухомим нульовий вектор цього простору, тобто .

2. Всякий лінійний оператор у просторі протилежному вектору — будь-якого вектора, ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора, тобто .

3. Кожен лінійний оператор у просторі будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів простору ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто .

2. Матриця лінійного оператора

Нехай — деякий лінійний оператор у просторі. Виберемо в який-небудь базис. Оператор відображає вектори цього базису в деякі вектори. Кожен вектор єдиним способом лінійно виражається через вектори базису. Припустимо, що

Складемо з коефіціентів матрицю. Рядками матриці є координатні рядки векторів в базисі. Оскльки координатні рядки векторів визначені однозначно, то й матриця визначається оператором в базисі .

Будемо вважати, що в базисі лінійний оператор задається матрицею .

Отже, при зафіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна квадратна матрицяго порядку — матриця цього оператора.

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Означення 1. Підпростір лінійного простору називається інваріантним відносно оператора, якщо, тобто якщо образ будь-якого вектора із міститься в .

Нехайодновимірний підпростір простору, адеякий лінійний оператор цього простору. Підпростір, як відомо, породжується будь-яким своїм вектором, тобто є сукупністю всіх векторів виду, де — будь яке число з поля Р. Якщо підпростір інваріантний відносно оператора, то, тобто, де —деяке число з поля Р. Тоді й для будь-якого вектора підпростору, бо, і тому .

Означення 2. Вектор, що заддовільняє співвідношення, де називається власним вектором оператора, а число - власним значенням оператора, що відповідає власному вектору .

Отже, якщо одглвимірний підпростір простору інваріантний відносно лінійного оператора, то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора з тим самим власним значенням оператора .

Практична частина

1. Опис програми

n — вимірність матриці;

m — максимальне допустиме число ітерацій;

e — точність;

a — на вході - двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця, А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1×1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2×2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів;

t — двовимірний масив власних векторів А;

b — цілочислова змінна.

Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.

2. Текст програми

uses crt;

const dim=10;

type ar=array[1.dim, 1. dim]of real;

var ff: text;

i100,j100,n100,b, m: integer;

e:real;

a, t: ar;

procedure eigen (n, m: integer;e:real;var a, t: ar;var b: integer);

var c, c1, c2,co, ch, d, e1,f, g, h, p, r, s, s1,s2,si, sh, x, y:real;

i, j, k, n1, q:integer;

u, v, w, z: boolean;

function zn (x:real):integer;

begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end;

begin

u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt (e);

if b<>0 then

begin

if b<0 then v:=true else w:=true;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i=j then t[i, j]: =1 else t[i, j]: =0;

end;

for q:=1 to m do

begin

if u then begin b:=1-q; exit; end;

i:=1; z:=false;

repeat

j:=i+1;

repeat

if (abs (a[i, j]+a[j, i])>e1) or

(abs (a[i, j]-a[j, i])>e1) and

(abs (a[i, i]-a[j, j])>e1) then z:=true;

j:=j+1;

until (j>n) or z;

i:=i+1;

until (i>n1) or z;

if not z then begin b:=q-1; exit; end;

u:=true;

for k:=1 to n1 do

for j:=k+1 to n do

begin

h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;

for i:=1 to n do

begin

x:=sqr (a[i, k]);d:=sqr (a[i, j]); y:=y+x-d;

if (i<>k) and (i<>j) then

begin

h:=h+a[k, i]*a[j, i]-a[i, k]*a[i, j];

p:=x+sqr (a[j, i]); r:=d+sqr (a[k, i]);

g:=g+p+r; f:=f-p+r;

end;

end;

h:=2*h; d:=a[k, k]-a[j, j];

p:=a[k, j]+a[j, k]; r:=a[k, j]-a[j, k];

if abs (p)<=e then begin c:=1; s:=0; end

else

begin

x:=d/p; c:=x+zn (x)*sqrt (1+x*x);

s:=zn (x)/sqrt (1+c*c); c:=s*c;

end;

if y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;

co:=c*c-s*s; si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;

h:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));

if abs (x)<=e

then begin ch:=1; sh:=0; end

else begin ch:=1/sqrt (1-x*x); sh:=ch*x; end;

c1:=ch*c-sh*s; c2:=ch*c+sh*s;

s1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;

if (abs (s1)>e)or (abs (s2)>e) then

begin

u:=false;

for i:=1 to n do

begin

p:=a[k, i]; a[k, i]:=c1*p+s1*a[j, i];

a[j, i]: =s2*p+c2*a[j, i];

if v then

begin

p:=t[k, i]; t[k, i]: =c1*p+s1*t[j, i];

t[j, i]: =s2*p+c2*t[j, i];

end;

end;

for i:=1 to n do

begin

p:=a[i, k]; a[i, k]:=c2*p-s2*a[i, j];

a[i, j]: =-s1*p+c1*a[i, j];

if w then

begin

p:=t[i, k]; t[i, k]:=c2*p-s2*t[i, j];

t[i, j]: =-s1*p+c1*t[i, j];

end;

end;

end;

end;

end;

b:=m;

end;

begin clrscr;

write ('введите максимальное количество итераций');read (m);

write ('введите точность');read (e);

assign (ff,'vlasn.dat');

reset (ff);

read (ff, n100);

for i100:=1 to n100 do

for j100:=1 to n100 do

read (ff, a[i100,j100]);

b:=0;

eigen (n100,m, e, a, t, b);

for i100:=1 to n100 do begin

for j100:=1 to n100 do

write (a[i100,j100],' ');

writeln; end;

writeln;

writeln (b);

readkey;

end.

3. Контрольний приклад

При e=10^-8 і m=50 для матриці

за 7 ітерацій знайдено власні значення Тобо отримали такі власні значення, ,

Висновок

Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора одновимірних підпросторів простору рівнозначна задачі згаходження власних векторів оператора .

Список літератури

1. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975

2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 1,"Высшая школа", Киев 1974

3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 2,"Высшая школа", Киев 1976