Теорема додавання імовірностей несумісних подій (реферат)

Реферат на тему:

Теорема додавання імовірностей несумісних подій У теорії імовірностей розрізняють прості і складені події. Наприклад, під час кидання костей у сумі випало 2 очка — це проста подія.

Подія називається складеною, якщо поява її залежить від появи інших, простих подій. Наприклад, під час кидання двох гральних кубиків у сумі випало 10 очок. Ця подія є складеною, бо вона може складатися з трьох простих подій:

1. 1)на першому кубику випало 4, на 2-ому 6 очок;

2. 2)2) на першому і на 2-ому випало по 5 очок;

Обчислювати імовірності складних подій за формулою: Р (А) $$\frac{m}{n}$$.

Їх імовірності обчислюють через імовірності простих подій, в яких складаються складені. Таке обчислення спирається на застосування теорем додавання і множення несумісних однаково можливих подій, які утворюють повну групу, тобто елементарних подій. Теореми додавання і множення доведені для елементарних подій, а для інших, які не належать до елементарних подій, (а для інших які не належать до) ці теореми приймаються без доведення, тобто постулюються.

Введемо спочатку поняття про суму подій. Це поняття аналогічне поняттю суми чисел, або суми векторів, в тому розумінні, що має ті самі властивості (сполучний і переставний закон). Додавання подій — це надія, а специфічна для теорії імовірностей операція, станологічна до додавання множин.

Теорема: Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі іморвіностей цих подій, тобто Р (А+В) = Р (А)+Р (В) Сумою подій, А і В називає подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробування або подій А, або події В, або обох разом.

Суми 2-ох подій позначають С=А+В, або С=А $$$$ В.

Геометрично суму подій можна зобразити так, як:

а б.

Доведення: Нехай в результатів деякого випробування відбувається n елементарних подій. Зобразимо ці події n точками: Нехай з усіх n подій подія, А сприяють m подій, а події В — h подій. Тоді імовірність події А є Р (А) $$\frac{m}{n}$$. Оскільки події А і В несумісні, то немає подій.

Які б одночасно сприяли обом подіям, А і В. Очевидно, що події А +В сприяють m+Р подій. Тому Р (А+В) $$\frac{m+h}{n}$$. Підставляючи значення Р (А), Р (В), Р (А+В) у рівність (1), дістанемо тотожність, що і доводить теорему.

Р (А1+А2+…+Аn) = Р (А1)+Р (А2)+…+Р (Аn).

З теореми додавання випливають два наслідки.

1. 1.Сума імовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, = 1.

Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.

1. 2.Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто.

2. 3.Р (А) + Р ($$\stackrel{}{(A)}$$ =1.

У задачах на обчислення імовірностей інколи зручно обчислювати шукану імовірність подій, А через імовірність протилежної події за формулою:?

Р (А) = 1-Р $$\stackrel{}{(A)}$$.

Приклад Задача:

Для виготовлення деталі придатні валики з діаметром 11,99 — 12,90 мм. Автомат виготовл. 1% валиків діаметром, меншим ніж 11,99 мм, 97% валиків діам. 11,99−12,20 мм і 2% - діамат. більшим, ніж 12,20 мм, яка імовірність того, що навчатися взятий з виробленої партії валик буде непридатний для виготовлення деталі?

Розв’язання: Нехай, А — подія, імовірності якої треба визначити, А1 — взятий валик діаметром меншим, ніж 1,99 мм, А2 — взятий валик діаметром більшим, ніж 12,20 мм.

Тоді:

А=А1+А2, Р (А)=Р (А1)+Р (А2) = 0,01+0,02=0,03.

Шукану імовірність можна знайти інакше. А саме, якщо $$\stackrel{}{(A)}$$

— подія, яка полягає в тому, що навмання взятий валик придатний, то.

.

Р (А) = 1 — Р $$\stackrel{}{(A)}$$ =1 — 0,097 = 0,03.