Функція Гріна (на прикладі крайової задачі) (реферат)

Реферат на тему:

Функція Гріна.

(на прикладі крайової задачі).

Нехай в банаховому просторі Z визначена крайова задача.

$$\{\begin{array}{c}\frac{d}{dt}{y}_{}(t)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{}^k{A}_k(t)y_{}(t)+f(t),\\ \\ y_{}(0)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{}^k{C}_k(t)y_{}(T),\end{array}$$ (1).

де.

$$A_k(t)$$ для довільного $$t[\mathrm{0,}T]$$ і $${С}_k,k=\stackrel{}{\mathrm{0,}\mathrm{}}$$ являються лінійними обмеженими операторами, які діють в Z,.

ряди в правих частинах (1) збігаються у рівномірної операторної топології при $$t[\mathrm{0,}T]$$, $$[\mathrm{0,}{}_0]$$, $$T>0$$, $${}_0>0$$ ,.

$$A_k(t)$$, $$k=\stackrel{}{\mathrm{0,}\mathrm{}}$$, сильно неперервні при $$t[\mathrm{0,}T]$$ ,.

$$f(t)C(Z,[\text{0,}T])$$ ,.

оператор $$A=I-C_{0}X(T)$$, де $$X(t)$$ — оператор Коші однорідного рівняння.

$$\frac{d}{dt}x(t)=A_0(t)x(t)$$, (2).

є $$$$ — оператор [1] з $$\text{dim}N(A)=1$$.

Лема. Якщо власна функція $${}_0(t)$$ крайової задачі.

$$\frac{d}{dt}x(t)=A_0(t)x(t)$$, $$x(0)=C_{0}x(T)$$, (3).

відносно операторів $$A_k(t)$$ і $$C_k,k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$, утворює узагальнений Жорданов ланцюг приєднаних функцій $${}_k(t),k=\stackrel{}{\mathrm{1,}r-1}$$, скінченої довжини $$r$$, то для достатньо малих $$$$ крайова задача (1) має єдиний розв’язок.

Теорема. Якщо виконуються умови леми, то для крайової задачі (1) існує функція Гріна $$G_{}(t,)$$ і для неї має місто лорановський розклад.

$$G_{}(t,)=\underset{k=\text{-r}}{\overset{\mathrm{}}{}}{G}_{\mathit{k}}(t,)$$ ,.

де.

$$\begin{array}{c}{G}_k(t,)=\underset{i=0}{\overset{r+k}{}}{}_i(t){\stackrel{}{}}_{r+k-i}(),k=\stackrel{}{-r,-1}-\\ X(t)R_0{X}^{-1}()+\underset{i=0}{\overset{r}{}}{}_i(t){\stackrel{}{}}_{r-i}(),0<=<=t<=T,\\ X(t)(R_0-I)X^{-1}()+\underset{i=0}{\overset{r}{}}{}_i(t){\stackrel{}{}}_{r-i}(),0<=t<<=T,\\ \\ \\ \underset{j=0}{\overset{k}{}}\underset{i=0}{\overset{k-j}{}}(-1{)}^{j}X(t)H_i(t)R_0{B}_{k-i-j}{R}_0{\stackrel{}{H}}_j()X^{-1}()+\\ \underset{i=0}{\overset{k+r}{}}{}_i(t){\stackrel{}{}}_{k+r-i}(),0<=<=t<=T,\\ \underset{j=0}{\overset{k}{}}\underset{i=0}{\overset{k-j}{}}(-1{)}^{j}X(t)\left[H_i(t)R_0{B}_{k-i-j}{R}_0{\stackrel{}{H}}_j()-H_{k-j}(t){\stackrel{}{H}}_j()\right]X^{-1}()+\\ \underset{i=0}{\overset{k+r}{}}{}_i(t){\stackrel{}{}}_{k+r-i}(),0<=t<<=T,\\ k=\stackrel{}{\mathrm{1,}\mathrm{}}\\ \\ \\ \begin{array}{c}\\ G_0(t,)=\begin{array}{c}\{\end{array}\end{array}\\ \hfill \end{array}$$.

де.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{{}_k}(t)=\underset{i=0}{\overset{k}{}}{}_i{}_{k-i}(t),\\ {}_0=\frac{1}{},=({}_0,B_r{}_0),{}_m=\frac{({}_0,B_{r+m}{}_0)}{{}^2}-\frac{1}{}\underset{i=1}{\overset{m-1}{}}{}_i({}_0,B_{r+m-i}{}_0),\end{array}$$.

$${}_0(t)$$ — власна функція крайової задачі, спряженої до задачі (3) — $${}_1(),\text{.}\text{.}\text{.},{}_r(t)$$ — узагальнений жорданів ланцюг, відносно операторів $$A_k^{}(),C_k^{},k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$, спряжений до ланцюга $${}_1(t),\dots ,{}_{r-1}(t)-$$ $${}_0={}_0(0),$$ $${}_0={}_0(0)$$.

$$\begin{array}{c}{B}_1=B_1,\\ B_2=B_2+B_1{R}_0{B}_1,\\ B_3=B_3+B_2{R}_0{B}_1+B_1{R}_0{B}_2,\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},\\ B_n=B_n+B_{n-1}{R}_0{B}_1+B_{n-2}{R}_0{B}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+B_1{R}_0{B}_{n-1},\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

$$R_0$$ — узагальнено обернений до $$A$$ ;

$$\begin{array}{c}{B}_k=\underset{i=1}{\overset{k}{}}{C}_{i}X(t)H_{k-i}(T),k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}-\\ H_m(t)=\underset{i=1}{\overset{m}{}}\underset{0}{\overset{t}{}}\frac{d}{\mathit{d}}{K}_i()H_{m-i}()\mathit{d},H_0(t)=I,\\ K_i(t)=\underset{0}{\overset{t}{}}{X}^{-1}()A_i()X()\mathit{d},i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\\ {\stackrel{}{H}}_m(t)=\underset{i=1}{\overset{m}{}}(-1{)}^{i-1}\underset{0}{\overset{t}{}}{H}_{m-i}()\frac{d}{\mathit{d}}{K}_i()\mathit{d},{\stackrel{}{H}}_0(t)=I-\end{array}$$.

$${}_k(t),k=\stackrel{}{r,\mathrm{}},$$ — розв’язки задач Коші.

$$\begin{array}{c}\frac{d}{\text{dt}}{}_k(t)=A_0(t){}_k(t)+\underset{i=1}{\overset{k}{}}{A}_i(t){}_{\text{k-i}}(t),\\ {}_k(0)=R_0^{}{B}_k^{}{}_0\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

$${}_k(),k=\stackrel{}{r,\mathrm{}},$$ — розв’язки задач Коші.

$$\begin{array}{c}\frac{d}{\text{dt}}{}_k(t)=-A_0(){}_k()-\underset{i=1}{\overset{k}{}}{A}_i(){}_{\text{k-i}}(),\\ {}_k(0)=R_0^{}{B}_k^{}{}_0\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використана література.

1. 1.М. М. Вайнберг, В. А. Треногин Теория ветвления решений нелинейных уравнений «Наука», М., 1969., 527с.

2. 2.