Многочлени малих степенів. 
Теорема Сподоли (реферат)

Реферат на тему:

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

ПЛАН.

1. 1.Поставка задачі.

2. 2.Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

1. 1.Постановка задачі.

Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f (Z) якої визначається за формулою.

f (Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an (1).

Як правило, завжди припускається, що а0 $$$$ 0. При цьому число n називається степенем многочлена.

Числа а0, а1…, an.

називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти довільними комплексними числами.

Комплексне число Z0 називається коренем) а також нулем) многочлена f, якщо.

f (Z0) = 0.

Якщо Z1, ., Zm — всі корені многочлена f, то.

f (Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm (2).

де n1 $$$$ 1,…, nm $$$$ 1. Число n1, і=1, …m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності всіх коренів рівна степеню n многочлена:

n1+…nm=n,.

так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність, рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді.

f (Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn) (3).

де тепер Z1, ., Zn — корені многочлена, кожний із яких повторяється стільки раз, яка його кратність.

Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1. Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним додатнім числом:

а0 > 0.

Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх розташування.

Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені многочлена належать цій області.

Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена належать цій області.

Найпростішими областями є півплощини. Виберемо для визначеності так звану ліву півплощину По, складену із m-k Z=x+iy, для яких х $$$$ 0.

Означення 1. Многочлен.

f=a0Zn+a1Zn-1+an-1Z+an, a0 $$$$ 0,.

називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По, тобто якщо всі їх частини від'ємні.

Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли.

Для многочленів з дійсними коефіцієнтами степеня $$$$ 2 дослідження на стійкість тривіальне.

Дійсно, многочлен першого степеня a0t+a1 має єдиний корінь $$-\frac{a_1}{a_0}$$. Цей корінь тоді і тільки тоді від'ємний, коли а0 $$$$ 0).

Многочлен другого степеня.

a0Z2+a1Z+a2.

має корені:

$$\frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2}-4a_0{a}_2}{a_0}$$.

Випадок 1. $$a_{{}_1}^{2}4a_0{a}_2$$ (і, отже, а2 $$$$ 0). В цьому випадку обидва корені мають одну і ту ж дійсну частину $$-\frac{a_1}{4a_0}$$. Тому многочлен тоді і тільки тоді стійкий, коли а1 $$$$ 0.

Випадок 2. $$a_{{}_1}^{2}4a_0{a}_2$$. В цьому випадку обидва корені дійсні. Якщо а1 $$$$ 0, то один з коренів від'ємний, а другий від'ємний тоді і тільки тоді, коли а2 $$$$ 0. Якщо ж а1 $$$$ 0, то хоча б один корінь гарантовано додатній.

Цим доведена наступна теорема:

Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі його коефіцієнти додатні.

Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в будь-якому випадку необхідна.

Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами стійкий, то (при ао — 0) всі його коефіцієнти додатні.

Доведення. Відомо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами є дійсними коефіцієнтами є добутком многолченів степеня $$$$ 2 (також з дійсними коефіцієнтами. Дійсно, відомо, що для будь-якого многочлена з дійсними коефіцієнтами з деяким коренем Z=ч0+іу0. Комплексно спряжене з ним число $$\stackrel{}{Z_0}=x_0-y_0$$ буде коренем тієї ж кратності. Тому в розклад многочлена на множники виду Z-Z1 уявні множники будуть входити парами виду (Z-Zі) (Z-Zі).

Оскільки.

$$(Z-Z_0)(Z-\stackrel{}{Z_0})=Z^2+2\text{pZ}+q$$ ,.

де р = х0, $$q=x_0^2+y_0^2$$, то звідси випливає, що будь-який многочлен (1) з дійсними коефіцієнтами допускає розклад виду:

f (Z) = a0(Z-х1)…(Z-хr)(Z2+2p1+2psZ+q3).

де х1…, хr — дійсні корні (кожний корінь повторюється стільки раз, яка його кратність), aZ2+2psZ+q1,…, Z2+2psZ+q3 — такі квадратні тричлени, кожен з яких відповідає одній парі комплексно спряжених коренів, що $$p_s^2{q}_1$$ .

Так, як будь-який дільник стійкого многочлена, очевидно, стійкий, звідси і з теореми 1 випливає, що будь-який стійкий многолчен з дійсними коефіцієнтами є добутком многчленів з додатніми коефіцієнтами і тому сам являється многочленом з додатніми коефіцієнтами (тому що коефіцієнти добутку одержуються із коефіцієнтів множників тільки діями множення і додавання. Без віднімання).

Приклад: Многочлена.

Z2+Z2+4Z+30.

має додатні коефіцієнти, але серед його коренів.

1. • -.3, 1 $$\pm$$ 3і.

   • -.два корені мають додатні дійсні частини.