Адитивні проблеми теорії чисел

тригонометричний сума дільник число Аддитивна теорія чисел — це розділ теорії чисел, в якому вивчаються завдання про розкладання цілих чисел на доданки заданого виду, а також аналоги алгебри і геометричних таких завдань, що відносяться до полів чисел алгебри і до безлічі точок решітки. Ці завдання називаються адитивними завданнями. Зазвичай розглядаються адитивні завдання про розкладання великих чисел До класичних проблем адитивної теорії чисел відносяться:

• 1. Проблема Варинга (1770) про представлення всякого натурального числа у вигляді суми ненегативних k-их степенів з фіксованим ;
• 2. Проблема Гольдбаха про представлення непарних натуральних чисел, більших 5, сумою трьох простих і проблема Ейлера — Гольдбаха про представлення парних чисел, більших 2, сумою двох простих (поставлені в 1742); ослаблена проблема Гольдбаха, проблема представлення натуральних чисел сумою обмеженого числа простих;
• 3. Проблема Харді - Літлвуду про представлення всякого цілого числа, більшого 1, у вигляді суми простого і двох квадратів (сформульована в 20-х рр. 20 ст.);
• 4. Адитивна проблема дільників;
• 5. Проблема дільників Тічмарша;
• 6. Завдання про представлення усіх досить великих парних чисел сумами двох чисел з обмеженим числом простих співмножників;
• 7. Завдання про представлення цілих чисел квадратичними формами з трьома і чотирма змінними і аналогічні завдання; а також інші завдання.

Для вирішення завдань адитивної теорії чисел застосовуються аналітичні, алгебраїчні, елементарні і змішані методи, а також методи, засновані на імовірнісних міркуваннях Залежно від методів рішення, адитивні завдання входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел — аналітичну теорію чисел, теорію алгебри чисел, імовірнісну теорію чисел.

Тепер розглянемо найважливіші завдання адитивної теорії чисел окремо.