Поняття оберненої функції і методика її введення
Оборотність функцій, пов’язане з вирішенням наступних завдань: обчислити значення функції по даному значенню аргументу і знайти значення аргументів, при яких функція ухвалює дане значення. Друге завдання не завжди має єдине рішення (наприклад, для ,). Для знаходження областей значень зворотних функцій звернемося до графіку, використовуючи наступне властивість: Графіки функції f і зворотної до неї… Читати ще >
Поняття оберненої функції і методика її введення (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Найбільш доступним введення логарифмічної функції можна було б провести після введення поняття зворотної функції. Проте методика викладу теми про зворотну функції складна через складні самого матеріалу. Тема «Поняття про зворотній функції» наведена в підручнику «Алгебри і початки аналізу. 10−11» і розрахована на необов’язкове вивчення. У цю тему входять:
1) оборотність функцій, пов’язане з вирішенням наступних завдань: обчислити значення функції по даному значенню аргументу і знайти значення аргументів, при яких функція ухвалює дане значення. Друге завдання не завжди має єдине рішення (наприклад, для ,).
Функція приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, називається оборотною, тобто якщо оборотна, а число належить, То рівняння має рішення і до того ж тільки одне.
2) Зворотній функція — як нове поняття — пояснюється на конкретних прикладах. Визначення. Нехай — Довільна оборотна функція. Для будь-якого числа з її області значень є в точності одне значення, Що належить області визначення, Таке, що:. Поставивши у відповідність кожному це значення, Отримаємо нову функцію з областю визначення і областю значень. Завдання. Знайти функцію, зворотну функції.
Покажемо, що рівняння при будь-якому значенні має єдине рішення .
.
Де. Якщо згадати область значення даної функції, То отримуємо позитивну відповідь. Таким чином, наша функція оборотна і зворотна їй функція.
Алгоритм вирішення таких завдань: знайти і даної функції; Поміняти місцями у формулі змінні, Тобто отримати формулу і з отриманої рівності висловити через. У більш складних випадках (коли функція не є оборотною на всій області визначення) слід користуватися теоремою: про зворотну функції: Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона оборотна. Зворотній до f функція g, визначена в області значень f, також є зростаючою (або зменшенням). Завдання. Знайти функції, зворотні функції.
y = x 2−3x +2. x = y 2−3y +2 = y 2−2y * 3 / 2 +9/4−9 / 4 +2 = (y-3 / 2) 2-ј => (y-3 / 2) 2 = x +1 / 4, де x? -1 / 4 => y 1 = 3 / 2 + (x +1 / 4) 1 / 2 і y 2 = 3/2- (x +1 / 4) 1 / 2. D (y 1) = D (y 2) = E (x 2−3x +2) = [-1 / 4; + ?).
Для знаходження областей значень зворотних функцій звернемося до графіку, використовуючи наступне властивість: Графіки функції f і зворотної до неї функції g симетричні відносно прямої.
З графіка видно, що E (y 1) = [3 / 2; + ?), E (y 2) = (- ?; 3 / 2].