Молекулярно-кінетична теорія ідеального газу

Основні формули.

1. Рівняння стану ідеального газу або рівняння Клапейрона де p — тиск газу;

V — його об'єм;

T — абсолютна температура;

m — маса газу;

— маса одного моля газу;

R = 8,31 Дж/(моль^.К) — газова стала;

m/ - число молів.

2. Кількість речовини газу (у молях).

або.

де N — число молекул газу;

N_A = 6,02^.10 ²³ моль^-1 — постійна Авогадро.

3. Кількість речовини в суміші газів визначається.

= ₁+₂+…+_n = N₁/N_A + N₂/N_A + … + N_n/N_A

або.

= m₁/₁ + m₂/₂ + … + m_n/_n ,.

де _i, N_i, m_i, _i — відповідно кількість речовини, число молекул, маса, молярна маса i-ї компоненти суміші.

4. Молярна маса суміші газів де m_i — маса i-ї компоненти суміші;

_i — кількість речовини i-ї компоненти суміші;

n — число компонент суміші.

Масова частка w_i i-ї компоненти суміші газів (у долях одиниці).

.

де m — маса суміші.

5. Концентрація молекул де N — число молекул, що втримуються в даній системі;

— густина речовин;

V — об'єм системи.

Формула справедлива не тільки для газів, але й для будь-якого агрегатного стану речовини.

6. Тиск суміші газів (закон Дальтона) дорівнює сумі їх парціальних тисків де n — число компонент суміші.

Парціальним тиском називається тиск газу, який мав би кожен газ, що входить до складу суміші, за умови, що при даній температурі він один заповнював би весь об'єм.

7. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів де n — число молекул в одиниці об'єму;

<_n> - середня енергія поступального руху однієї молекули;

m — маса молекули;

<²> - середнє значення квадрата швидкості.

8. Середня кінетична енергія поступального руху молекули де k = R/N_a = 1,38 ^. 10^-23 Дж/К — стала Больцмана.

9. Середня повна кінетична енергія молекули де i — число ступенів вільності молекули.

Для одноатомного газу i = 3; для двохатомного газу i = 5; для багатоатомного газу i = 6.

Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури.

11. Швидкості газових молекул:

середня квадратична швидкість.

;

середня арифметична швидкість.

;

найбільш імовірна швидкість.

.

де m — маса однієї молекули.

12. Відносна швидкість молекули.

.

де — швидкість даної молекули;

— найбільш імовірна швидкість.

13. Закон розподілу молекул за швидкостями (закон Максвелла) дозволяє знайти число молекул dN, відносні швидкості яких лежать в інтервалі від u до u+ du,.

.

де du — величина інтервалу відносних швидкостей мала в порівнянні зі швидкістю u;

N — загальне число молекул в системі.

Щоб визначити, яка частина молекул N/N має відносні швидкості в діапазоні від u₁ до u₂, треба розрахувати такий вираз.

.

14. Класичний розподіл Максвелла буде мати інший вигляд, якщо відносну швидкість виразити через значення середньої і найбільш імовірної швидкостей.

.

звідки.

а також і .

Після підстановки цих значень у формулу розподілу Максвелла через відносні швидкості одержуємо цей же розподіл в іншому вигляді.

.

15. Розподіл Больцмана (розподіл частинок у силовому потенціальному полі Un.

де n — концентрація частинок в тих точках силового поля, де потенціальна енергія U_n;

n₀ — концентрація частинок у тих точках силового поля, де W_n=0.

16. Середня довжина вільного пробігу молекул газу.

.

де d — ефективний діаметр молекул;

n — концентрація молекул газу.

17. Середнє число зіткнень молекул за одиницю часу.

=.

де — середня швидкість газових молекул;

— довжина вільного пробігу молекул;

d — ефективний діаметр молекули;

n — концентрація молекул газу.

18. Динамічна в’язкість газового середовища з = ,.

де с — густина газу (рідини);

— середня довжина вільного пробігу молекул.

Закон Ньютона.

F =.

де з — коефіцієнт динамічної в’язкості;

— градієнт швидкості газу;

ДS — площадка переносу газу.

Закон Фурє.

де ч = - коефіцієнт теплопровідності газу;

— градієнт температури;

ДS — площадка переносу газу;

Дt — час переносу теплової енергії;

с_х — теплоємність газу при сталому об'ємі.

Закон Фіка де — D = - коефіцієнт дифузії газу;

— градієнт концентрації газу;

m — маса однієї молекули газу.

Приклади розв’язання задач Приклад 1. Визначити число молекул, які містяться в об'ємі 1 мм³ води, і масу молекули води. Знайти також діаметр молекул. Вважати умовно, що молекули води мають вигляд кульок, які щільно прилягають одна до одної.

Дано:

H₂O.

V= 1 мм³ = 10^-9м³

______________.

N —? m₁ —? d — ?

Розв’язування. Число N молекул, які втримуються в деякій системі масою m, дорівнює добутку постійної Авогадро N_A на кількість речовини.

Оскільки = m/, де — молярна маса, то N = (m /) N_A. Виразивши в цій формулі масу як добуток густини на об'єм V, одержимо.

(1).

Виконаємо обчислення, врахувавши, що = 18 ^. 10^-3 кг/моль,.

= 1,0^.10³ кг/м³

молекул.

Масу m₁ однієї молекули можна знайти за формулою.

(2).

Підставивши в (2) значення і N_A, знайдемо масу молекули води кг.

Якщо молекули води щільно прилягають одна до одної, то можна вважати, що на кожну молекулу приходиться об'єм V₁ = d³, де d — діаметр молекули. Звідки.

(3).

Об'єм V₁ знайдемо, розділивши об'єм моля на число молекул у молі, тобто на N_А

(4).

Підставивши вираз (4) в (3), одержимо.

.

де V = / .

Тоді.

. (5).

Зробимо необхідні розрахунки Приклад 2. Знайти масу сірчистого газу (SO₂), який займає об'єм 25 л при температурі 27^о С і тиску 101 кПа.

Дано:

SO₂

V = 25 л = 25^.10^-3 м³

t = 27^оC.

P = 101 кПа = 1,01^.10⁵ Па.

___________________.

m — ?

Розв’язування. З рівняння Клапейрона маса газу дорівнює.

.

Визначаємо молярну масу сірчистого газу за даними таблиці Менделєєва й абсолютна температура T = t + 273^о = 27^о + 273^о = 300^о K.

Обчислюємо масу Приклад 3. Балон містить 80 г кисню й 300 г аргону. Тиск суміші 10 атм, температура 15^оС. Приймаючи дані гази за ідеальні, визначити ємність балона.

Дано:

O₂

m₁ = 80 г = 8^.10^-2 кг Аr.

m₂ = 300 г = 3^.10^-1 кг.

t = 15^о C.

P = 10 атм = 1,01^.10⁶ Па.

_____________________.

V — ?

Розв’язування. За законом Дальтона тиск суміші дорівнює сумі парціальних тисків газів, що входять до складу суміші. Парціальним тиском газу називається тиск, який здійснював би газ, якби тільки він один перебував у посудині, зайнятій сумішшю.

З рівняння Клапейрона парціальні тиски кисню p₁ й аргону p₂ виражаються формулами.

і.

Отже, за законом Дальтона для суміші газів p = p₁ + p₂ або звідки об'єм балона дорівнює.

(1).

Виразимо в одиницях СІ числові значення величин, які входять у цю формулу: m₁ = 0,08 кг; ₁ = 32^.10^-3 кг/моль; m₂ = 0,3 кг; ₂ = 40^.10 ^-3 кг/моль; p = 10^.1,01^. 10⁵ Па; T = 288K; R = 8,31 Дж /(моль ^. К).

Підставимо числові значення у формулу (1) і виконаємо необхідні розрахунки Приклад 4. Знайти кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню при температурі 13⁰С, а також кінетичну енергію обертального руху всіх молекул, які містяться в 4 г кисню.

Дано:

O₂

m = 4 г = 4^.10^-3 кг.

t = 13^оC.

_____________.

_об —? W_об — ?

Розв’язування. Відомо, що на кожну ступінь вільності молекули газу доводиться однакова енергія, яка виражається формулою.

(1).

де k — стала Больцмана;

Tабсолютна температура газу.

Оскільки обертальному руху двохатомної молекули (молекула кисню — двохатомна) приписуються дві ступені вільності, то енергія обертального руху молекули кисню виразиться формулою.

(2).

Підставивши у формулу (2) k = 1,38 ^. 10^-23 Дж/К й T =286 K, одержимо Дж.

Кінетична енергія обертального руху всіх молекул газу визначається з рівності.

(3).

де N — число всіх молекул газу.

Число молекул N можна одержати за формулою.

(4).

де N_A — число Авогадро;

— число молів газу.

Число молів газу дорівнює.

де m — маса газу;

— маса одного моля газу, Кількість молекул газу визначається із формули (4).

(5).

Підставивши цей вираз N у рівність (3), одержимо.

(6).

Виразимо величини, що входять у цю формулу, в одиницях СІ:

моль^-1; кг; кг/моль;

Дж.

Підставивши ці значення у формулу (6), знайдемо Приклад 5. На якій висоті над рівнем моря густина повітря зменшується у 2 рази? Вважати, що температура повітря не залежить від висоти й дорівнює 0^оС. Молярна маса повітря дорівнює 29^.10^-3 кг/моль.

Дано:

_{1/ 2} = 2.

t = 0^оC.

__________.

h — ?

Розв’язування. Густина ідеального газу (і його концентрація n) зв’язані співвідношенням.

= nm₀ ,.

де m₀ = / N_A — маса однієї молекули повітря;

— молярна маса повітря;

N_A — число Авогадро.

Таким чином, відношення густин газу ₁/₂ дорівнює відношенню концентрацій молекул n₁/n₂. Відповідно до розподілу Больцмана концентрація n молекул повітря на висоті h дорівнює.

.

де n₀ — концентрація молекул на рівні моря (h = 0);

U_n — потенціальна енергія молекули на висоті h визначається за формулою U_n = m₀gh (якщо h = 0 то U_n= 0) .

Концентрації молекул на висоті h = 0 і h відповідно дорівнюють.

n₁ = n₀ й n_{2 =} n₀ e.

Відношення концентрацій на цих висотах дорівнює.

.

де N_Ak = R і N_Am₀ = .

Беремо натуральний логарифм від обох частин відношення й знаходимо висоту h.

Підставивши в отриману формулу дані з умови задачі, одержимо.

h = = 5,5.10 ³м.