Основи геометрії 11-го класу

ТЕМАТИЧНА КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1

Основи геометрії 11-го класу

ЗМІСТ

1. Завдання тематичної контрольної роботи № 1

2. Задача 1

3. Задача 2

4. Задача 3

5. Задача 4

6. Задача 5

Список використаної літератури

1. Завдання тематичної контрольної роботи № 1

1. Радіус основи циліндру дорівнює 6 см, а діагональ його осьового перерізу утворює з площиною основи кут 60⁰.

Знайти:

а) висоту циліндра;

б) площу осьового перерізу циліндра.

2. Радіус основи циліндру дорівнює 5 см, а кут між діагоналями його осьового перерізу — 90⁰.

Знайти: висоту циліндра.

3. Висота циліндра дорівнює 8 см, радіус основи 5 см. На відстані 4 см від осі циліндра паралельно їй проведено переріз.

Знайти площу цього перерізу.

4. Радіус основи конусу дорівнює 5 см, а твірна — 13 см.

Знайти:

а) висоту конуса;

б) площу осьового перерізу конуса.

5. На відстані 4 см від центра кулі проведено переріз. Відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою перетину цього перерізу з поверхнею кулі утворює з площиною перерізу кут 30⁰.

Знайти площу перерізу.

2. Задача 1

Радіус основи циліндру дорівнює 6 см, а діагональ його осьового перерізу утворює з площиною основи кут 60⁰.

Знайти:

а) висоту циліндра;

б) площу осьового перерізу циліндра.

Розв’язання:

1. Враховуючи властивості прямих циліндрів (рис.1):

— діагональ BC в площині прямокутника осьового перерізу ABDC перетинає висоту циліндра ОО₁ в точці R, яка ділить висоту на два рівних відрізки;

— нахрест розташовані кути CRO та BRO₁ рівні та дорівнюють 30⁰;

— катети СO =BO1 в рівних трикутниках ДCRO та ДBRO1 дорівнюють радіусу кола основи циліндра.

Рис. 1.1. Побудова вихідних умов задачі 1

2. Відповідно висота циліндра розраховується як:

3. Площа прямокутника осьового перерізу циліндра розраховується як:

3. Задача 2

Радіус основи циліндру дорівнює 5 см, а кут між діагоналями його осьового перерізу — 90⁰.

Знайти: висоту циліндра.

Розв’язка:

1. Згідно вихідним умовам (див.рис.2) в прямокутному трикутнику ДCRD площини осьового перерізу циліндру ABDC — гіпотенуза CD дорівнює діаметру основи циліндра, тобто радіус основи циліндра дорівнює відрізку CO.

2. Висота прямого циліндра лежить в площині осьового перерізу циліндра [6], та в точці R перетинання діагоналей осьового перерізу циліндру ділить висоту циліндра ОО₁ на 2 рівні частини.

Рис. 2. Побудова вихідних даних задачі 2

3. Оскільки в рівнобедреному прямокутному трикутнику ДСRD катети рівні CR = RD, то:

4. В прямокутному трикутнику ДСOR катет RO (половина висоти циліндра) дорівнює:

Таким чином, висота циліндра дорівнює діаметру кола основи циліндра.

4. Другий варіант рішення:

— В рівнобедреному прямокутному трикутнику ДСRD кути при гіпотенузі СD дорівнюють 45⁰;

— То, відповідно в прямокутному трикутнику ДСOR катети

RO=CO=R_цил.

Таким чином, висота циліндра дорівнює діаметру кола основи циліндра.

4. Задача 3

Висота циліндра дорівнює 8 см, радіус основи 5 см. На відстані 4 см від осі циліндра паралельно їй проведено переріз.

Знайти площу цього перерізу.

Розв’язання:

1. Згідно умов вихідних даних (див.рис.3):

— паралельний осі циліндра ОО₁ переріз (прямокутник KLNM) знаходиться на відстані PO₁ = 4 см від осі циліндра;

— трикутник? MNO₁ в основі циліндра — рівнобедрений, оскільки сторони NO₁ та MO₁ — це радіуси основи циліндра R;

— відрізок O₁P є висотою та медіаною рівнобедреного трикутника? MNO₁ та ділить сторону MN прямокутника перерізу KLNM на дві рівні частини.

Рис. 3. Побудова вихідних даних задачі 3

2. Відповідно до проведеного аналізу:

5. Задача 4

Радіус основи конусу дорівнює 5 см, а твірна — 13 см.

Знайти:

а) висоту конуса;

б) площу осьового перерізу конуса.

Розв’язання:

1. Висота конуса Н = OO₁(рис.4) розраховується як катет прямокутного трикутника? АОО₁, в якому сторони:

гіпотенуза АО = 13 см; катет АО₁ = 5 см;

Рис. 4. Побудова вихідних умов задачі 4

2. Осьовий переріз конуса — це рівнобедрений трикутник? OAB, в якому висота Н = ОО₁ = 12 см є висотою конуса, а основа дорівнює двом радіусам основи конуса АВ = 2*Rконус = 10 см.

Площа осьового перерізу конуса дорівнює площі трикутника? OAB та розраховується по відомим висоті та основі трикутника як [3]:

6. Задача 5

На відстані 4 см від центра кулі проведено переріз. Відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою перетину цього перерізу з поверхнею кулі утворює з площиною перерізу кут 30⁰.

Знайти площу перерізу.

Розв’язання:

1. Згідно вихідних умов задачі (рис.5), радіус площі перерізу переріз радіус трикутник циліндр

Rпереріз= АО₁=О₁В.

2. В рівнобедреному трикутнику осьового перерізу? АОВ з висотою h=ОО1 = 4 см, висота ділить основу АВ на дві рівні частини, тому:

Рис. 5. Побудова вихідних умов задачі 5

3. Відповідно, площа перерізу кулі дорівнює:

Список використаної літератури

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. 10−11 классы. — М.:Издательство: Просвещение, 2008. — 255 с.

2. Бевз Г. П., Владімірова Н.Г. Геометрія 10 клас — К.: Генеза, 2010. — 232с.

3. Біляніна О.Я., Білянін Г.І., Швець В. О. Геометрія 10 клас. Академічний рівень — К.: Генеза, 2010. — 256 с.

4. Бродський Я. Геометрія. Підручник. 10−11 клас — Навчальна книга Богдан, 2003 — 288 с.

5. Тадеєв В. Геометрія. Підручник. 10 клас — Навчальна книга Богдан, 2003. — 384 с.

6. Тадеєв В. Геометрія. Основи стереометрії. Підручник. 11 клас — Навчальна книга Богдан, 2004. — 480 с.