Диференційовані рівняння

1.

ВВЕДЕНИЕ

.

2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

2.1.ЗАПИСЬ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ УРАВНЕНИЙ.

У СТАНДАРТНОЇ І ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ.

Теоретично автоматичного регулювання нині прийнято записувати диференціальні рівняння у двох формах.

Перша форма записи. Диференціальні рівняння записуються так, щоб вихідна величина та її похідні перебувають у лівої частини рівняння, а вхідні величина й інші члени (у правій частині. Крім того, прийнято, щоб, сама вихідна величина лежить у рівнянні з коефіцієнтом одиниця. Таке рівняння має вид:

[pic].

=[pic] (1).

Під час такої записи коефіцієнти k, k1,…, kn називають коефіцієнтами передачі, а T1,…, Tn (постійними часу даного звена.

Коефіцієнт передачі показує ставлення вихідний величини ланки до вхідний в що встановилася режимі, тобто. визначає собою нахил лінійної статичної характеристики звена.

Розмірності коефіцієнтів передачі визначаються как.

розмірність k = розмірність y (t): розмірність g (t).

розмірність k1 = розмірність y (t): розмірність g (t) (?).

Постійними часу T1,…, Tn мають розмірність времени.

Друга форма записи. Вважаючи умовно оператор диференціювання p=[pic] алгебраїчній величиною, зробимо заміну в рівнянні (1):

[pic].

=[pic].

[pic].

=[pic] (2).

2.2. ПЕРЕДАТНА ФУНКЦІЯ ЗВЕНА.

Вирішимо рівняння (2) щодо вихідний величини y (t): y (t)=[pic]=.

=[pic]=.

=W1(s)+W2(s)+…+Wn (s).

Тут W1(s), W2(s),…, Wn (s) — передавальні функции.

При записи рівнянь з зображеннями вихідний і вхідний величин по Лапласу передавальні функції зливаються в одну.

2.3. ТИМЧАСОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА.

Динамічні властивості ланки можуть визначити з його перехідною функції і функції веса.

Перехідна функція h (t) є перехідний процес на виході з ланки, що виникає під час подачі з його вхід одиничного ступенчатого впливу — стрибкоподібного впливу з стрибком, рівної единице.

Функція ваги w (t) є реакцію на одиничну импульсную функцію. Вона може бути отримана дифференцированием за часом перехідною функції: w (t)=[pic].

2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТНА ФУНКЦІЯ І ЧАСТОТНЫЕ.

ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Найважливішою характкристикой динамічного ланки є його частотна передатна функція. Її можна з допомогою передавальної фкнкции, замінивши лінійний оператор p. s на комплексний j (.

Оскільки передатна функція є ставлення зображення Лапласу вихідний величини до вхідний, то, при переході від зображення Лапласа до зображенню Фур'є, ми матимемо, що частотна передатна функція є зображенням Фур'є функції ваги, тобто має місце інтегральне преобразование.

W (j)=[pic].

Частотна передатна функція то, можливо представленій у наступному виде:

W (j ()=U (()+jV (() де U (() і V (() — речовинна і мнима части.

W (j ()=A (()[pic], де A (() — модуль частотною передавальної функції, рівний відношенню амплітудою выходнгой величини до амплітудою вхідний,((((- аргументчастотной передавальної функції, рівний зрушенню фаз вихідний величини стосовно входной.

Для наочного уявлення частотних властивостей ланки використовуються так звані частотні характеристики.

Амплітудний частотна характеристика (АЧХ) показує, як пропускає ланка сигнал различой частоти. Оцінка пропускання робиться стосовно амплітуд вихідний і вхідний величин. Тобто АЧХ — це модуль частотною передавальної функции:

A (()=(W (j ()(.

АЧХ будують для всео діапазону частот (((((((, т.к. модуль частотною передавальної функції є четную функцію частоты.

Ще одна важлива характеристикою є фазовая частотна характеристика (ФЧХ), що є як аргумент частотною передавальної функции:

((((=argW (j ().

4. ДИНАМІЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ.

4.1. ПОЗИЦІЙНІ ЗВЕНЬЯ.

Позиційні ланки — це такі ланки, у яких вихідна і вхідні величини в що встановилася режимі пов’язані лінійної залежністю y (t)=kg (t).Соответственно, перехідна функція матиме вид W (s)=k[pic], де N (s), L (s) — многочлены.

4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ ПІДСИЛЮВАЛЬНЕ (БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ) ЗВЕНО.

1. Дане ланка описується наступним рівнянням: aoy (t)=bog (t) (1).

Коефіцієнти мають такі значення: ao=2 bo=4.

Запишемо це рівняння у кімнаті стандартного формі. І тому розділимо (1) на ao: y (t)=[pic]g (t) y (t)=kg (t) (2), де k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишемо вихідне рівняння в операторной формі, використовуючи підстановку p=[pic] .Одержимо: y (t)=kg (t) (3).

2. Одержимо передатну функцію для ідеального ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа: y (t)=Y (s) g (t)=G (s).

За визначенням передатна функція перебуває як ставлення вихідного сигналу до вхідному. Тоді рівняння (2) матиме вид:

Y (s)=kG (s).

W (s)=k (4).

3. Знайдемо висловлювання для перехідною функції і функції ваги. По визначенню аналітичним вираженням перехідною функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто. g (t)=1. Тоді h (t)=k1(t) (5).

Функцію ваги можна отримати роботу дифференцированием перехідною функції: w (t)=[pic]=k ((t) (6).

4. Побудуємо графіки перехідною функції і функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі й тимчасові характеристики: k=2 h (t)=2(1(t) w (t)=2(((t).

Перехідна функція є ступінчасту функцію з кроком k=2, а функція ваги — импульсную функцію, площа якої дорівнює k=2.

5. Одержимо частотну передатну функцію, замінивши в передавальної функції (4) p. s на j (:

W (s)=k.

W (j ()=k (7).

W (j ()=U (()+jV (().

U (()=k.

V (()=0.

6. Одержимо аналітичні висловлювання для частотних характеристик. По визначенню амплітудна частотна характеристика (АЧХ) — це модуль частотною передавальної функції, т. е.

A (()=(W (j ()(.

A (()=k (8).

Фазовая частотна характеристика (ФЧХ) — це аргумент частотною передавальної функції, т. е.

((()=argW (j ().

((()=0 (9).

Для побудови логарифмічних частотних характеристик вычислим.

L (()=20lg A (().

L (()=20lgk.

7. Побудуємо графіки частотних характеристик. І тому спочатку одержимо їх чисельні значення. k=2.

A (()=2.

((()=0.

L (()=20lg2.

U (()=2.

V (()=0.

Висновок: Прикладом розглянутої ланки може бути механічний редуктор, дільник напруги, індукційні датчики тощо. Але беэынерционное ланка є деякою ідеалізацією реальних ланок. У дійсності жодна ланка неспроможна рівномірно пропускати все частоти від нуля нескінченно. Зазвичай до такого виду зводиться одна з реальних ланок, розглянутих нижче, якщо знехтувати впливом динамічних процессов.

4.1.2. ПІДСИЛЮВАЛЬНЕ ЛАНКА З ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

1. Дане ланка описується наступним рівнянням: aoy (t)=bog (t-() (1).

Коефіцієнти мають такі значення: ao=2 bo=4.

(=0,1с.

Запишемо це рівняння у кімнаті стандартного формі. І тому розділимо (1) на ao: y (t)= [pic]g (t-() y (t)=kg (t-() (2), де k=[pic]-коэффициент передачи.

Запишемо вихідне рівняння в операторной формі, використовуючи підстановку p= [pic]. Получим: y (t)=kg (t-() (3).

2. Одержимо передатну функцію для ідеального ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа: y (t)=Y (s) g (t-()=G (s)e-(s.

За визначенням передатна функція перебуває як ставлення вихідного сигналу до вхідному. Тоді рівняння (2) матиме вид:

Y (s)=kG (s) e-(s.

W (s)= ke-(s (4).

3. Знайдемо висловлювання для перехідною функції і функції ваги. ПО визначенню аналітичним вираженням перехідною функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто. g (t)=1.Тогда h (t)=y (t)=k g (t-()=k1(t) (5).

Функцію ваги можна отримати роботу дифференцированием перехідною функції: w (t)=[pic]=k ((t-() (6).

4. Побудуємо графіки перехідною функції і функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі й тимчасові характеристики: k=2 h (t)=2(1(t-() w (t)=2(((t-().

Перехідна функція є ступінчасту функцію з кроком k=2 і запізненням на (=0,1с, а функція ваги — импульсную функцію з такою самою запізненням, площа якої дорівнює k=2.

5. Одержимо частотну передатну функцію, замінивши в передавальної функції (4) p. s на j (:

W (s)=k e-(s.

W (j ()=k e-j ((=k (cos ((-jsin (() (7).

W (j ()=U (()+jV (().

U (()=k cos ((.

V (()=-ksin ((.

6. Одержимо аналітичні висловлювання для частотних характеристик. По визначенню амплітуда частотна характеристика (АЧХ) — це модуль частотною передавальної функції, т. е.

A (()=(W (j ()(.

A (()=k (8).

Фазовая частотна характеристика (ФЧХ) — це аргумент частотною передавальної функції, т. е.

((()=argW (j ().

((()= (((9).

Для побудови логарифмічних частотних характеристик вычислим.

L (()=20lg A (().

L (()=20lgk.

7. Побудуємо графіки частотних характеристик. І тому спочатку одержимо їх чисельні значення. k=2.

A (()=2.

((()=0,1(.

L (()=20lg2.

U (()=2cos0,1(.

V (()=-2sin0,1(.

Вывод:

4.1.3. СТІЙКИЙ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЛАНКА 1-го ПОРЯДКА.

1. Дане ланка описується наступним рівнянням: a1 [pic]+ aoy (t) =bog (t) (1).

Коефіцієнти мають такі значення: a1=1,24 ao=2 bo=4.

Запишемо це рівняння у кімнаті стандартного формі. І тому розділимо (1) на ao:

[pic][pic]+y (t)=[pic]g (t).

T1 [pic]+y (t)=kg (t) (2), де k=[pic]-коэффициент передачи,.

T1=[pic]-постоянная времени.

Запишемо вихідне рівняння в операторной формі, використовуючи підстановку p=[pic] .Получим:

(T1 p+1)y (t)=kg (t) (3).

2. Одержимо передатну функцію для апериодического ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа: y (t)=Y (s).

[pic]=sY (s) g (t)=G (s).

За визначенням передатна функція перебуває як ставлення вихідного сигналу до вхідному. Тоді рівняння (2) матиме вид:

T1 sY (s)+Y (s)=kG (s).

W (s)=[pic] (4).

3. Знайдемо висловлювання для перехідною функції і функції ваги. По визначенню аналітичним вираженням перехідною функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто. g (t)=1 чи з перетвореннями Лапласа h (t)=H (s).

H (s)=W (s)[pic]=[pic]=[pic][pic].

Переходячи до оригіналу, одержимо h (t)=k[pic](1(t) (5).

Функцію ваги можна було одержати дифференцированием перехідною функції w (t)=[pic] або з перетворень Лапласа w (t)=w (s) w (s)=W (s)(1.

W (s)=[pic]= [pic].

Переходячи до оригіналу, одержимо w (t)=[pic] e[pic] (1(t) (6).

4. Побудуємо графіки перехідною функції і функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу й тимчасові характеристики: k=2.

T1 =0.62 h (t)=2[pic] (1(t) w (t)=3.2e[pic](1(t).

Перехідна функція є експонентові. Множник 1(t) вказує, що експонента розглядається лише позитивного часу t>0. Функція ваги — також експонента, але з стрибком у точці t=0 на величину[pic].

5. Одержимо частотну передатну функцію, замінивши в передавальної функції (4) p. s на j (:

W (s)= [pic].

W (j ()=[pic] (7).

W (j ()=U (()+jV (()=[pic]=[pic]-j[pic].

U (()=[pic].

V (()=[pic].

6. Одержимо аналітичні висловлювання для частотних характеристик. По визначенню амплітудний частотна характеристика (АЧХ) — це модуль частотною передавальної функции, т. е.

A (()=(W (j ()(.

A (()=[pic]=[pic] (8).

Фазовая частотна характеристика (ФЧХ) — це аргумент частотною передавальної функції, т. е.

((()=argW (j ().

((()=arctgk — arctg[pic].

((()=-arctgT1 (9).

Для побудови логарифмічних частотних характеристик вычислим.

L (()=20lg A (().

L (()=20lg[pic].

7. Побудуємо графіки частотних характеристик. І тому спочатку одержимо їх чисельні значення. k=2.

T1 =0.62.

A (()=.

((()=arctg0.62(.

L (()=20lg.

U (()=.

V (()=.

4.1.4. ЗБАЛАМУЧЕНУ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО.

1-го ПОРЯДКА.

1. Дане ланка описується наступним рівнянням: a1 [pic]- aoy (t) =bog (t) (1).

Коефіцієнти мають такі значення: a1=1,24 ao=2 bo=4.

Запишемо це рівняння у кімнаті стандартного формі. І тому розділимо (1) на ao:

[pic][pic]-y (t)=[pic]g (t).

T [pic]-y (t)=kg (t) (2), де k=[pic]-коэффициент передачи,.

T=[pic]-постоянная времени.

Запишемо вихідне рівняння в операторной формі, використовуючи підстановку p=[pic] .Получим:

(T p-1)y (t)=kg (t) (3).

2. Одержимо передатну функцію для апериодического ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа: y (t) = Y (s) [pic].

[pic]=sY (s) g (t)=G (s).

За визначенням передатна функція перебуває як ставлення вихідного сигналу до вхідному. Тоді рівняння (2) матиме вид:

T sY (s)-Y (s)=kG (s).

W (s)=[pic] (4).

3. Знайдемо висловлювання для перехідною функції і функції ваги. По визначенню аналітичним вираженням перехідною функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто. g (t)=1 чи з перетвореннями Лапласа h (t)=H (s).

H (s)=W (s)[pic]=[pic]=[pic][pic].

Переходячи до оригіналу, одержимо h (t)=k[pic](1(t) (5).

Функцію ваги можна було одержати дифференцированием перехідною функції w (t)=[pic] або з перетворень Лапласа w (t)=w (s) w (s)=W (s)(1.

W (s)=[pic]= [pic].

Переходячи до оригіналу, одержимо w (t)=[pic] e[pic] (1(t) (6).

4. Побудуємо графіки перехідною функції і функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу й тимчасові характеристики: k=2.

T =0.62 h (t)=2[pic] (1(t) w (t)=3.2e[pic](1(t).

Перехідна функція є експонентові. Множник 1(t) вказує, що експонента розглядається лише позитивного часу t>0. Функція ваги — також експонента, але з стрибком у точці t=0 на величину[pic].

5. Одержимо частотну передатну функцію, замінивши в передавальної функції (4) p. s на j (:

W (s)= [pic].

W (j ()=[pic] (7).

W (j ()=[pic]=[pic]j[pic]=U (()+jV (().

U (()=[pic].

V (()=[pic].

6. Одержимо аналітичні висловлювання для частотних характеристик. По визначенню амплітудний частотна характеристика (АЧХ) — це модуль частотною передавальної функції, т. е.

A (()=(W (j ()(.

A (()=[pic]=[pic] (8).

Фазовая частотна характеристика (ФЧХ) — це аргумент частотною передавальної функції, т. е.

((()=argW (j ().

((()=arctgk — arctg[pic].

((()=-arctg (-T () (9).

Для побудови логарифмічних частотних характеристик вычислим.

L (()=20lg A (().

L (()=20lg[pic].

7. Побудуємо графіки частотних характеристик. І тому спочатку одержимо їх чисельні значення. k=2.

T =0.62.

A (()=.

((()=-arctg (-0.62().

L (()=20lg.

U (()=.

V (()=.

4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЛАНКА 2-го ПОРЯДКА.

1. Дане ланка описується наступним рівнянням: a2[pic]+a1 [pic]+ aoy (t) =bog (t) (1).

Коефіцієнти мають такі значення: a2=0,588 a1=50,4 ao=120 bo=312.

Запишемо це рівняння у кімнаті стандартного формі. І тому розділимо (1) на ao:

[pic][pic]+[pic][pic]+y (t)=[pic]g (t).

[pic][pic]+T1 [pic]+y (t)=kg (t) (2), де k=[pic]-коэффициент передачи,.

T1=[pic], T22=[pic]-постоянные времени.

Якщо коріння характеристичного рівняння для диференціального рівняння 2-го порядку речовинні (це виконується при T1>2T2), воно є апериодическим 2-го порядку. Перевіримо це задля нашого уравнения:

T1=0,42.

2T2=0,14.

0,42>014, отже, дане рівняння — апериодическое.

Запишемо вихідне рівняння в операторной формі, використовуючи підстановку p=[pic] .Получим:

([pic]p2+T1 p+1)y (t)=kg (t) (3).

2. Одержимо передатну функцію для коливального ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа: y (t) = Y (s) [pic].

[pic]=sY (s).

[pic]=s2Y (s) g (t)=G (s).

За визначенням передатна функція перебуває як ставлення вихідного сигналу до вхідному. Тоді рівняння (2) матиме вид:

[pic] s2Y (s)+T1 sY (s)+Y (s)=kG (s).

W (s)=[pic] (4).

3. Знайдемо висловлювання для перехідною функції і функції ваги. По визначенню аналітичним вираженням перехідною функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто. g (t)=1 чи з перетвореннями Лапласа h (t)=H (s).

H (s)=W (s)[pic]=[pic]=[pic], где.

T3,4=[pic].

Розклавши на елементарні дробу праву частину акцій цього висловлювання, получим.

H (s)=[pic].

=[pic].

Переходячи до оригіналу, одержимо h (t)=k (1(t)[pic] =.

=k (1(t)[pic](5).

Функцію ваги можна було одержати дифференцированием перехідною функції w (t)=[pic] або з перетворень Лапласа w (t)=w (s) w (s)=W (s)(1=[pic]=[pic].

Розклавши на елементарні дробу праву частину акцій цього висловлювання, одержимо w (s)= [pic].

=[pic].

Переходячи до оригіналу, одержимо w (t)= [pic]=.

=[pic] (6).

4. Побудуємо графіки перехідною функції і функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу й тимчасові характеристики:

5. Одержимо частотну передатну функцію, замінивши в передавальної функції (4) p. s на j (:

W (s)= [pic].

W (j ()= [pic] (7).

Виділимо речовинну і мниму частини :

W (j () =[pic]=.

[pic].

U (()=[pic].

V (()=[pic].

6. Одержимо аналітичні висловлювання для частотних характеристик. По визначенню амплітудне частотна характеристика (АЧХ) — це модуль частотною передавальної функції, т. е.

A (()=(W (j ()(.

A (()=[pic]=…(8).

Фазовая частотна характеристика (ФЧХ) — це аргумент частотною передавальної функції, т. е.

((()=argW (j ().

((()=…

((()=… (9).

Для побудови логарифмічних частотних характеристик вычислим.

L (()=20lg A (().

L (()=…

7. Побудуємо графіки частотних характеристик. І тому спочатку одержимо їх чисельні значения.

4.1.6. КОЛИВАЛЬНЕ (СТІЙКИЙ) ЗВЕНО.

1. Дане ланка описується наступним рівнянням: a2[pic]+a1 [pic]+ aoy (t) =bog (t) (1).

Коефіцієнти мають такі значення: a2=0,588 a1=0,504 ao=12 bo=31,20.

Запишемо це рівняння у кімнаті стандартного формі. І тому розділимо (1) на ao:

[pic][pic]+[pic][pic]+y (t)=[pic]g (t).

[pic][pic]+T1 [pic]+y (t)=kg (t) (2), де k=[pic]-коэффициент передачи,.

T1=[pic], T22=[pic]-постоянные времени.

Якщо коріння характеристичного рівняння для диференціального рівняння 2-го порядку комплексні (це виконується при T1.