Логічна будова геометрії. 
Аксіоматичний метод (реферат)

Реферат на тему:

Логічна будова геометрії. Аксіоматичний метод Логічну будову геометрії потрібно розглядати разом з аксіоматичним методом. Аксіоматичний метод з’явився в Древній Греції, а зараз застосовується у всіх теоретичних науках, насамперед у математиці.

Аксіоматичний метод побудови наукової теорії полягає в наступному: виділяються основні поняття, формулюються аксіоми теорії, а всі інші твердження виводяться логічним шляхом, спираючи на них.

Основні поняття виділяються в такий спосіб. Відомо, що одне поняття повинне роз’яснятися за допомогою інших, котрі, у свою чергу, теж визначаються за допомогою якихось відомих понять. Таким чином, ми приходимо до елементарних понять, які не можна визначити через інші. Ці поняття і називаються основними.

Коли ми доводимо твердження, теорему, то спираємося на передумови, що вважаються вже доведеними. Але ці передумови теж доводилися, їх потрібно було обґрунтувати. Зрештою, ми приходимо до недоказовості тверджень і приймаємо їх без доказу. Ці твердження називаються аксіомами. Набір аксіом повинний бути таким, щоб, спираючи на нього, можна було довести подальші твердження.

Виділивши основні поняття і сформулювавши аксіоми, далі ми виводимо теореми й інші поняття логічним шляхом. У цьому і полягає логічна будова геометрії. Аксіоми й основні поняття складають підстави планіметрії.

Тому що не можна дати єдине визначення основних понять для всіх геометрій, то основні поняття геометрії варто визначити як об'єкти будь-якої природи, що задовольняють аксіомам цієї геометрії.

Таким чином, при аксіоматичній побудові геометричної системи ми виходимо з деякої системи аксіом, чи аксіоматики. У цих аксіомах описуються властивості основних понять геометричної системи, і ми можемо представити основні поняття у виді об'єктів будь-якої природи, що мають властивості, зазначеними в аксіомах.

Після формулювання і доказу перших геометричних тверджень стає можливим доводити одні твердження (теореми) за допомогою інших. Докази багатьох теорем приписуються Піфагору і Демокріту.

Гіппократові Хіоському приписується складання першого систематичного курсу геометрії, заснованого на визначеннях і аксіомах. Цей курс і його наступні обробки називалися «Елементи» .

Потім, у III ст. до н.е., в Олександрії з’явилася книга Евкліда з тією же назвою, у російському перекладі «Початки». Від латинської назви «Почав» відбувся термін «елементарна геометрія». Незважаючи на те, що твори попередників Евкліда до нас не дійшли, ми можемо скласти деяку думку про ці твори по «Початках» Евкліда. У «Початках» є розділи, логічно дуже мало зв’язані з іншими розділами. Поява їх пояснюється тільки тим, що вони внесені за традицією і копіюють «Початки» попередників Евкліда.

" Початки" Евкліда складаються з 13 книг. 1−6 книги присвячені планіметрії, 7−10 книги — про арифметику і несумірні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Книги з 11 по 13 присвячені стереометрії.

" Початки" починаються з викладу 23 визначень і 10 аксіом. Перші п’ять аксіом — «загальні поняття», інші називаються «постулатами». Перші два постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій — за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, «усі прямі кути рівні між собою», є зайвим, тому що його можна вивести з інших аксіом. Останній, п’ятий постулат говорив: «Якщо пряма падає на дві прямі й утворить внутрішні однобічні кути в сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих» .

П’ять «загальних понять» Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, об'ємів: «рівні тому самому рівні між собою», «якщо до рівного додати рівні, суми рівні між собою», «якщо від рівних відняти рівні, залишки рівні між собою», «ті що суміщають один із одним рівні між собою», «ціле більше частини» .

Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда по трьох причинах: за те, що він розглядав тільки такі геометричні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійкиза те, що він розривав геометрію й арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і, нарешті, за аксіоми Евкліда. Найбільше сильно критикували п’ятий постулат, самий складний постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим, і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його варто замінити більш простим і наочним, рівносильним йому: «Через точку поза прямою можна провести в їхнє площині не більш однієї прямої, що не перетинає дану пряму» .

Критика розриву між геометрією й арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Суперечки про п’ятий постулат привели до того, що на початку XIX століття Н. І. Лобачевський, Я. Бойяі і К. Ф. Гаусс побудували нову геометрію, у якій виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п’ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: «У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану». Ця геометрія була настільки ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда.

Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 р.

На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом (x). Крапки евклідової площини, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита напівплощина, що лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре — це дуги окружностей з центром на чи абсолюті відрізки прямих, перпендикулярних абсолюту (AB, CD). Фігура на площині Лобачевского — фігура відкритої напівплощини, що лежить вище абсолюту (F). Неевклидово рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті й осьових симетріях, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклідових відрізки рівні, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в іншій. Такі основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевского.

Всі аксіоми планіметрії Лобачевского несуперечливі. Визначення прямої наступне: «Неевклидова пряма — це півколо з кінцями на чи абсолюті промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту». Таким чином, твердження аксіоми паралельності Лобачевского виконується не тільки для деякої прямої a і крапки A, що не лежить на цій прямій, але і для будь-якої прямої a і будь-який не лежачої на ній крапки A.

За геометрією Лобачевского виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатомірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін. З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 — 50 років перетворилася в сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних зі своєю прародителькою — геометрією Евкліда.