Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші (пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші.

План.

• знаки порівняння рядів з додатними членами.

• знака Даламбера.

• адикальна ознака Коші.

• нтегральна ознака Коші.

13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами.

Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Нехай задані два ряди з додатними членами.

(13.4).

(13.5).

Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто, то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).

Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) — збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через і. Оскільки.

.

то, очевидно,.

Ряд (13.5) — збігається, тому існує границя його частинної суми.

Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що і тоді в силу нерівності.

Отже, частинні суми послідовності обмежені. Крім того, послідовність монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при.

Отже, ряд (13.4) збігається.

2) Нехай ряд (13.4) — розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.

Приклад.1 Дослідити збіжність ряду.

Р о з в ' я з о к. Ряд знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:

і ряд збігається (тут), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.

Зауваження. Теорема має місце і у випадку, коли нерівності виконуються, починаючи з деякого.

Відкинувши перших членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.

Теорема 2. Якщо існує границя.

(13.6).

то із збіжності ряду (13.5), при випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) — розбіжність ряду (13.5) при.

Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і Взявши довільне як завгодно мале число за визначенням границі, для.

достатньо великих будемо мати.

звідки.

Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд одержаний множенням його членів на постійний множник Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).

Якщо ряд (13.5) розбігається і то в цьому випадку обернене відношення має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.

Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду.

Р о з в ' я з о к. Нехай, а Ряд збігається.Оскільки.

то із збіжності ряду випливає збіжність і ряду.

13.4. Ознака Даламбера.

Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення го члена до го при має (скінчену) границю тобто.

(13.7).

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх буде виконуватися нерівність.

(13.8).

Дійсно, оскільки величина прямує до границі то, починаючи з деякого номера різниця між величиною і числом може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто.

Звідси і випливає нерівність (13.8).

Запишемо нерівність (13.8) для різних значень починаючи з номера :

. (13.9).

Розглянемо тепер два ряди:

.

.

Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником, тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з, менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд — збігається, а це і є ряд (13.4).

2) Нехай Тоді з рівності (13.7) випливає (при), що, починаючи з деякого номера, буде виконуватися нерівність.

.

або Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера, а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.

Зауваження 1. Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли Це випливає з того, що починаючи з деякого номера, буде виконуватися нерівність, або .

Зауваження 2. Якщо, то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому — розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.

Зауваження 3. Якщо, але відношення для всіх номерів, починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.

Це випливає з того, що при буде виконуватися нерівність, і загальний член не прямує до нуля при.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду.

.

Р о з в ' я з о к. Використаємо ознаку Даламбера: ,.

і.

тому ряд розбігається.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .

Р о з в ' я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо.

<1- отже, даний ряд збігається.

13.5. Радикальна ознака Коші.

Теорема. Якщо для ряду з додатними членами (13.4) величина.

(13.10).

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо число, що задовольняє умові Починаючи з, будемо мати.

звідки випливає, що.

або.

Розглянемо тепер два ряди:

.

.

Другий ряд збігається, оскільки його члени утворюють геометричну прогресію. Члени першого ряду, починаючи з, менші за члени другого ряду, а тому він за ознакою порівняння збігається.

2) Нехай Тоді, починаючи з деякого номера, будемо мати.

або.

Але, якщо всі члени даного ряду, починаючи з деякого, більші за одиницю, то ряд розбігається, оскільки його загальний член не прямує до нуля.

Зауваження. Як і в ознаці Даламбера, випадок вимагає додаткового дослідження. Серед таких рядів можуть зустрітися як збіжні, так і розбіжні.

Приклад. Дослідити збіжність ряду.

.

Р о з в ' я з о к. Використаємо радикальну ознаку Коші:

>1 — ряд розбігається.

13.6. Інтегральна ознака Коші.

Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.

Нехай ряд має форму.

(13.11).

і є значення при деякої функції, визначеної для. Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.

Теорема. Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто.

(13.12).

і нехай така неперервна неспадна функція, що.

(13.13).

Тоді :

1) якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і ряд (13.11);

2) якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд (13.11).

Д о в е д е н н я. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі абсцис номера членів ряду, а на осі ординат — відповідні значення членів ряду. Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної функції, що задовольняє умові (13.13). Ясно, що ця функція буде проходити через точки (рис. 13.1).

.

Рис. 13.1 Рис. 13.2.

Зауважимо, що площа го прямокутника дорівнює, а сума площ побудованих прямокутників дорівнює частинній сумі ряду З іншого боку, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, містить область, що обмежена кривою і прямими — площа цієї області дорівнює Отже,.

(13.14).

На рис. 13.2 перший (зліва) із побудованих прямокутників має висоту, а тому його площа буде Площа другого прямокутника і т.д. Площа останнього із побудованих прямокутників буде.

Отже, сума площ всіх побудованих прямокутників дорівнює.

З іншого боку, як легко помітити, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, міститься всередині криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими.

Площа цієї криволінійної трапеції дорівнює Тому.

звідки.

. (13.15).

Розглянемо тепер обидва випадки.

1). Нехай невласний інтеграл збігається. Оскільки.

то в силу нерівності (1.15) будемо мати.

тобто частинна сума ряду, яка є монотонно зростаючою (члени ряду додатні), залишається обмеженою. Значить, при має скінчену границю, тобто ряд збігається.

2). Нехай невласний інтеграл розбігається, тобто Це значить, що необмежено зростає при зростанні Але, в силу нерівності (13.14), також необмежено зростає при зростанні, тобто ряд розбігається.

Таким чином, теорема повністю доведена.

Зауваження. Доведена теорема залишається справедливою і в тому випадку, коли нерівності (13.12) виконуються, лише починаючи з деякого.

Розглянемо ряд.

Оскільки невласний інтеграл збігається при і розбігається при то і даний ряд буде збігатися при і розбігатися при.

Приклад. Дослідити збіжність ряду.

Р о з в ' я з о к.

;

Для дослідження збіжності ряду використаємо інтегральну ознаку Коші:

— інтеграл збігається, отже, і.

ряд — збігається. Тому за ознакою порівняння.

ряд також збігається.