Статистика нечислових даних

Различные виды нечисловых данных, связи между ними. Люсианы. Нечеткие множества и их связь со случайными. Метрики (показатели различия), эмпирические и теоретические средние, медиана Кемени, асимптотическое поведение решений экстремальных статистических задач, законы больших чисел непараметрические оценки плотности в произвольных пространствах.

В 1970;х годах стала очевидной большая роль в эконометрике экономических и управленческих данных ранее слабо изучавшихся видов — нечисловых данных, или объектов нечисловой природы. В литературе имеется достаточно подробное описание различных пространств нечисловых данных, а также связей между ними [9]. К нечисловым данным относятся, как уже говорилось, результаты измерений по качественным шкалам (в шкалах наименований и порядка), бинарные отношения (ранжировки (упорядочения), разбиения (отношения эквивалентности), толерантности), последовательности из 0 и 1, множества, нечеткие множества и др. Основные связи между перечисленными видами нечисловых данных были установлены еще в 1970;е годы. Позже была развита, например, теория люсианов (конечных последовательностей испытаний Бернулли с, вообще говоря, различными вероятностями успеха, дающая вероятностную основу для анализа последовательностей из 0 и 1.

Рассматриваются основы теории нечеткости. Даются определения нечетких множеств и операций над ними. Разбираются примеры нечетких множеств, в частности, нечеткие ответы экспертов, и свойства операций над нечеткими множествами. Анализируется связь нечетких множеств со случайными, позволяющая свести теорию нечеткости к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей.

Вводятся метрики (показатели различия) в пространствах произвольной природы — основа методов статистики нечисловых данных. Дан оптимизационный подход к определению эмпирических и теоретических средних в пространствах произвольной природы, проведено сравнение со свойствами среднего арифметического, математического ожидания, теоретической и выборочной медианы. Эмпирическое среднее предлагается рассматривать как агрегирование мнений экспертов. Обсуждается формулировка законов больших чисел в пространствах произвольной природы.

В качестве эконометрических данных рассматриваются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности). Разбирается их связь с матрицами из 0 и 1 и введение расстояния Кемени между бинарными отношениями. Изучается медиана Кемени, ее асимптотика и свойства при малых объемах выборок и различных предположениях о распределении ранжировок. Вводятся изотропные распределения и устанавливается единственность среднего (медианы). Интерпретация законов больших чисел для нечисловых данных может быть дана в терминах теории экспертного опроса. Устанавливается связь метода средних рангов с коэффициентом ранговой корреляции Спирмена и линейная зависимость расстояния Кемени от коэффициента ранговой корреляции Кендалла. Разбирается метод «идеальной точки» с использованием средних рангов на примере сравнения математических моделей испарения жидкости.

Вводятся расстояния, теоретические и эмпирические средние в пространстве подмножеств конечного множества. Построение эмпирического среднего (итогового мнения комиссии экспертов) проводится по правилу большинства. Вводятся различные расстояния между нечеткими множествами и применяются для усреднение нечетких ответов экспертов.

Полученные результаты применяются для изучения асимптотического поведения решений экстремальных статистических задач. Предлагается использовать непараметрические оценки плотности в пространствах произвольной природы, в частности, для дискретных пространств. Обсуждается применение статистики объектов нечисловой природы при построения новой хронологии и значение полученных выводов для современных социально-экономических проблем.