Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень

1-ий крок. Перевіряємо, чи? Якщо так, то ставимо на перше місце рівняння, в якому коефіцієнт при х1 відмінний від 0. Далі вважаємо, що.

. Далі відніматимемо від i-го рівняння перше рівняння, помножене на такий коефіцієнт, щоб після віднімання коефіцієнт при х1 став рівним 0 (елементарне пертворення 2-го типу).

До 2-го рівняння додаєм перше, помножене на :

одержуємо: .

До 3-го рівняння додаємо перше, помножене на і т.д.

В результаті віднімання коефіцієнт при х1 у 2-му, 3-му і.т.д. рівняннях дорівнює 0, тобто ми одержали систему, в якій х1 входить лише в перше рівняння. Коефіцієнти нової системи будемо позначати через .

Після першого кроку може виявитися, що друга невідома також не входить в усі рівняння з номером i>1. Нехай xk — невідома з найменшим номером, яка входить в деяке рівняння, крім першого. Ми одержали систему.

2-ий крок. Перше рівняння залишаємо без змін.

Вважаємо, що. Якщо це не так, то змінюючи місцями рівняння та за допомогою заміни невідомих робимо так, щоб коефіцієнт при xk в другому рівнянні був відмінним від нуля. Далі вважаємо, що .

До 3-го рівняння додаємо 2-ге, помножене ,.

до 4-го рівняння додаємо 3-є, помножене і т.д.

Таким чином вилучаємо невідому xk з 3-го, 4-го, … m-го рівняння.

3-й крок — аналогічно.

Через скінчене число кроків система (1) набуде вигляду.

Тут відмінні від 0 (.

Теорему доведено.

Про систему виду (3) кажуть, що вона має східчастий вид.

Зауваження. Елементарні перетворення зручно виконувати не над системою лінійних рівнянь, а над її розширеною матрицею.

Рівняння, що йдуть після r-го, можуть бути суперечливими (якщо хоча б одне з чисел dr+1,…, dm відмінне від 0). В цьому випадку система (3), а отже і система (1), розв’язку не має.

Очевидна.

Теорема 3. Система (1) є сумісною після приведення до східчастого виду вона не містить рівнянь виду, де.

Якщо, то останні m-r рівнянь не несуть інформації і можуть бути відкинуті.

Означення5.

Невідомі, з яких починаються 1-е, 2-е,…, r-те рівняння системи, зведеної до східчастого виду (3), будемо називати головними, а інші, якщо такі є - вільними.

Вільним невідомим можемо надавати довільні значення. Значення головних невідомих однозначно виражаються через вільні невідомі з системи (3).

Означення6.

Вираз головних невідомих через вільні називається загальним розв’язком системи. Надаючи вільним невідомим деякі конккретні значення, одержуємо частковий розв’язок системи.

Теорема 4. Сумісна система є визначеною після приведення її до східчастого виду .