Побудова економіко-математичної моделі розробки асортименту швейних виробів

ЗАДАЧА 1

Підприємство спеціалізується на виробництві верхнього жіночого одягу. За підсумками року його фінансовий стан погіршився. Це було викликано тим, що споживачі залишились не задоволені асортиментом та якістю продукції, що пропонувалась підприємством. Тому керівництво розробило комплекс заходів, направлених на покращання стану підприємства. В тому числі було вирішено суттєво оновити асортимент продукції. Після вивчення попиту, проведення попередніх продажів був розроблений новий асортимент продукції. В таблицях 3.1 та 3.2 представлений асортимент, що проектується для одного з пошивочних цехів підприємства.

Необхідно розподілити випуск продукції по місяцям кварталу таким чином, щоб максимізувати прибуток підприємства (побудувати економіко-математичну модель задачі оптимізації розподілу випуску продукції у часі у вигляді системи рівнянь і матрично-векторній формі).

Проектований асортимент для одного з цехів швейної фабрики

Виробничі обмеження

Розв’язок:

Характеристика різновидів швейних виробів

Виробничі обмеження

Економіко-математична модель задачі оптимізації розподілу випуску продукції у часі в алгебраїчній формі має вигляд:

1) Обсяг випуску готової продукції повинен відповідати попиту:

де х_мsjбн — обсяг виробництва виробів виду s моделі j в м-ому потоці, який відповідно до оптимального плану необхідно виготовляти у періоді н із матеріалу виду б;

R_sн — попит на вироби виду s в н-ому періоді;

D_sн — можливий незадоволений попит на вироби виду s в н-ому періоді.

Рівняння складаються для кожного виду виробу по періодам.

s=1 v=1: х_11 111+ х_11 321+D₁₁ =14 600 s=2 v=1: х ₂₂₂₂₁ +D₂₁= 10 600

s=1 v=2: х_11 112+D₁₂ = 13 500 s=2 v=2: х ₂₂₁₂₂ + х ₂₂₂₁₂+D₂₂= 11 400

s=1 v=3: х_11 213 + х_11 323 +D₁₃ = 14 800 s=2 v=3: х ₂₂₁₂₃ + х ₂₂₂₁₃+D₂₃= 11 700

2) Сумарний випуск виробів виду s моделі j в м-ому потоці, виготовлених із матеріалу виду б в періоді н не повинен перевищувати потужності потоку Р_м:

де Н_м — можлива невикористана частка потужності потоку м.

Рівняння складаються для кожного потоку.

м=1: х_11 111+ х_11 112+ х_11 213 + х_11 321 + х_11 323 + H₁ = 47 500

м=2: х_22 122+ х _22 123+ х _22 221 + х ₂₂₂₁₂ + х ₂₂₂₁₃+ H₂ = 31 400

3) Сумарний випуск виробів виду s моделі j в м-ому потоці, виготовлених із матеріалу виду б в періоді н в оптових цінах повинен бути не менше встановленого завдання по виручці від реалізації продукції В_мн:

4)

де Ц_мsjб — оптова ціна одиниці продукції різновиду sjб, яка виготовляється в м-ому потоці;

W_мн — можливе перевищення встановленого завдання по виручці від реалізації продукції в м-ому потоці в періоді н.

Рівняння складаються для кожного потоку по періодам.

м=1 v=1: 203,35х_11 111 + 204,08х₁₁₃₂₁— W₁₁ = 990 000

м=1 v=2: 203,35х_11 112 — W₁₂ = 970 000

м=1 v=3: 200,43х₁₁₂₁₃ + 204,08х₁₁₃₂₃ — W₁₃ = 960 000

м=2 v=1: 142,35х _22 221 — W₂₁ = 940 000

м=2 v=2: 140,80х₂₂₁₂₂ + 142,42х ₂₂₂₁₂ — W₂₂ = 850 000

м=2 v=3: 140,80х _22 123 + 142,42х ₂₂₂₁₃ — W₂₃ = 910 000

5) Сумарні витрати часу на виготовлення усієї продукції в усіх пошивочних потоках не повинні перевищувати наявного фонду робочого часу цих потоків (Т_мн) в періоді н:

де t _мsjб — трудомісткість виготовлення виробу різновиду sjб в м-ому потоці;

Y _мv — можливий невикористаний час у пошивочному потоці м в v-ому періоді.

Рівняння складаються для кожного потоку по періодам.

м=1 v=1: 3,83х_11 111 + 3,85х₁₁₃₂₁+ Y₁₁= 270 000

м=1 v=2: 3,83х_11 112 + Y₁₂= 280 000

м=1 v=3: 3,813х₁₁₂₁₃ + 3,85х₁₁₃₂₃ + Y₁₃= 245 000

м=2 v=1: 2,35х _22 221 + Y₂₁= 290 000

м=2 v=2: 2,30х₂₂₁₂₂ + 2,37х ₂₂₂₁₂ + Y₂₂= 260 000

м=2 v=3: 2,30х _22 123 + 2,37х ₂₂₂₁₃ + Y₂₃= 310 000

6) Сумарні витрати матеріалу виду б на виготовлення всієї продукції не повинні перевищувати наявних ресурсів Q_бн (кількості матеріалу на складі та запланованих обсягів поставок):

де q _мsjб — норма витрат матеріалу виду б на виріб різновиду sjб, виготовлений в м-ому потоці;

V_бн — можливий залишок матеріалу виду б в періоді н;

V_{б (v-1)} — залишки матеріалу виду б з попереднього періоду (v-1), які можуть бути використані для виготовлення продукції в періоді v.

Рівняння складаються для кожного виду матеріалу по періодам.

б=1 v=1: 3,10х_11 111+V₁₁=205 000

б=1 v=2: 3,10х_11 112+1,91х_22 212+V₁₂ — V₁₁=210 000

б=1 v=3: 3,18х₁₁₂₁₃+1,91х₂₂₂₁₃+V₁₃ — V₁₂=198 000

б=2 v=1: 3,15х_11 321+1,90х_22 221+ V₂₁=203 000

б=2 v=2: 1,81х₂₂₁₂₂+V₂₂ — V₂₁=202 000

б=2 v=3: 3,15х_11 323+1,82х_22 123+V₂₃ — V₂₂=200 000

7) Цільова функція — максимізація сумарного прибутку де П_мsjб — прибуток, який отримує підприємство від реалізації одного виробу різновиду sjб, виготовленого в потоці м.

L=5,05х_11 111+5,05х_11 112+5,10х_11 213+5,07х_11 321+5,07х_11 323+4,05х_22 122+4,05х_22 123+ +4,10х _22 221+4,13х _22 212+4,13х _22 213>max

8) Умова невід'ємності змінних:

х_sjбн ?0, D_sн?0, Н_м?0, W_мн?0, Y_мv?0, V_бv ?0.

модель швейний асортимент тканина ЗАДАЧА 2

Підприємство спеціалізується на виробництві верхнього жіночого одягу. Необхідно визначити оптимальний набір тканин різної ширини в умовах, коли необхідна кількість тканин оптимальної ширини для виготовлення проектованого асортименту дорівнює 4, а на ринку пропонуються тканини 3 ширин. Вартість тканини j-ої ширини, яка витрачається на 1 виріб і-ого виду наведена у таблиці 3.3. Виконати необхідні розрахунки та зробити відповідні висновки.

Розв’язок:

ц _4,1=min (7,5;8,6)+ min (9,5;9,2)+ min (9,4;9,0)+ min (10,1;9,5)+

min (10,0;10,2) =

= 7,5 + 9,2 + 9,0 + 9,5 + 10,0 = 45,2 — min

ц _4,2=min (7,5;8,5)+ min (9,5;9,2)+ min (9,4;8,9)+ min (10,1;10,3)+

min (10,0;9,6) =

= 7,5 + 9,2 + 8,9 + 10,1 + 9,6 = 45,3

ц _4,3=min (7,5;7,3)+ min (9,5;9,8)+ min (9,4;9,5)+ min (10,1;10,5)+

min (10,0;10,2) =

= 7,3 + 9,5 + 9,4 + 10,1 + 10,0 = 46,3

ц_4,1,2=min (7.5;8.6;8.5)+min (9,4;9,0;8,9)+min (10.0;10,2;9,6)=7,5+8,9+9,6=2

6-min

ц_4,1,3=min (7.5;8.6;7,3)+min (9,4;9,0;9,5)+min (10.0;10,2;10,2)=7,3+9,0+10,0

=26,3

Відповідь: тканини шириною Н₁, Н₂, Н₄.

ЗАДАЧА 3

Компанія володіє 4 фабриками, продукція з яких надходить до 4 складів. Використовуючи дані про щомісячний обсяг випуску продукції та витрати на транспортування (таблиці 3.4 та 3.5), необхідно скласти 3 варіанти надходжень продукції на склад (методами північно-західного кута, найменших витрат, наближень Фогеля). Визначити загальні витрати на транспортування продукції по кожному з варіантів.

За допомогою методу послідовних кроків, оптимізувати варіант надходжень продукції, розрахований методом північно-західного кута. Зробити відповідні висновки.

Стадія 2. Вихідний розподіл

1. Розподіл методом північно-західного кута Розподіл починається з верхнього лівого кута матриці. В клітинах першого рядка показується найбільша можлива кількість одиниць. Потім така ж процедура повторюється для другого, третього рядка і далі доти, доки всі потреби не будуть розподілені по рядкам і стовпцям.

Перевага: спрощується алгоритм розподілу.

Недолік: не враховуються витрати транспортування.

Загальні витрати =12· 10 + 6· 12 + 11· 19 + 11· 21 + 4· 12 + 6· 17 + 14· 14= 978 грн.

2. Розподіл методом найменших витрат В цьому випадку найбільше значення проставляється в клітину з найменшими витратами. Зв’язки можуть порушуватися довільно. Закінчується дана процедура після того, як усі потреби будуть розподілені по рядкам і стовпцям.

Загальні витрати =2· 13 + 10· 11 + 5· 19 + 12· 17 + 15· 21 + 18· 9 + 2· 14= 940 грн.

3. Розподіл методом наближень Фогеля Етапи процесу розподілу:

1. В кожному рядку та в кожному стовпці (з урахуванням фіктивних), визначити різницю між двома найменшими у рядку або стовпцю значеннями витрат на транспортування.

2. Визначити рядок або стовпець з найбільшою різницею.

3. Записати найбільше можливе значення одиниць в клітину з найменшими витратами, яка знаходиться в рядку або стовпці з найбільшою різницею, обраною на етапі 2.

4. Закінчити процедуру, якщо задоволені всі потреби рядків або стовпців, інакше перейти до етапу 5.

5. Перерахувати різницю між двома клітинами з найменшими витратами в кожному рядку та кожному стовпцю, які залишилися незаповненими. При розрахунку подальшої різниці не потрібно враховувати рядки та стовпці з показниками потреби або поставок, які дорівнюють нулю. Повернутись до етапу 2. Цей метод у 80% випадків дозволяє отримати оптимальне або близьке до нього рішення.

Загальні витрати = 12· 13 + 10· 15 + 7· 17 + 8· 21 + 7· 19 + 18· 9 + 2· 16 = 920 грн.

Стадія 3. Знаходження оптимального рішення Пошук оптимального рішення полягає в оцінці кожної невикористаної клітини та визначенні, чи не буде переміщення в неї вигіднішим з позиції зменшення загальних витрат. Якщо це так, то переміщення виконується і процес повторюється доти, поки не будуть оцінені всі клітини та виконані усі відповідні переміщення.

Метод послідовних кроків Етапи процесу:

1. Оберіть будь-яку пусту клітину та укажіть замкнений шлях, що веде до неї. Цей шлях складається з горизонтальних та вертикальних ліній, які ведуть від пустої клітини через інші назад до неї ж. В замкненому шляху може бути тільки одна пуста клітина — та, що розглядається. Повороти шляху на 90є можуть виконуватися лише в найближчих до пустої заповнених клітинах.

2. Перемістіть одну одиницю із заповненої клітини у куті замкненого шляху в пусту клітину та приведіть інші заповнені клітини, що залишилися в інших кутах у відповідність до заданих потреб та поставок.

3. Визначить доцільність здійсненого переміщення:

У витрат в клітинах, __ У витрат в клітинах, до яких була додана одиниця з яких була віднята одиниця Якщо витрати в результаті переміщень скоротилися, то необхідно перемістити якомога більше одиниць з оціненої заповненої клітини в пусту. Якщо витрати збільшилися, то ніяких переміщень не виконують, а пусту клітину помічають, щоб більше до неї не повертатися.

4. Повторювати етапи 1 — 3 доти, доки не будуть оцінені всі пусті клітини.

Максимальна кількість одиниць, яку можна додати до будь-якої клітини, не повинна перевищувати кількість, що вказана в клітині з найменшим значенням, з якої буде проводитися віднімання. Це необхідно для врахування обмежень щодо потреб та поставок.

Щоб впевнитися, що отриманий розподіл дійсно оптимальний, потрібно знову оцінити кожну пусту клітину та розглянути доцільність переміщення в неї. Якщо в кожній з перевірених клітин витрати зростуть, то задача вирішена та розподіл є оптимальним.

Якщо оцінка пустої клітини дає в результаті таке саме значення, що і розподіл, який розглядається, значить існує рівноцінне альтернативне оптимальне рішення. (Зазвичай пусту клітину, визначену як альтернативний оптимальний маршрут, помічають 0.)

В транспортних задачах у випадках, 1) коли кількість заповнених клітин менше суми кількості рядків та стовпців мінус 1 (m+n-1) або 2) коли перше значення в рядку або стовпці задовольняє обмеженням як по рядку, так і по стовпцю, може спостерігатися явище виродження.

Тоді в будь-яку пусту клітину (або декілька) записується деяка кількість одиниць и (зазвичай це 0) таким чином, щоб можна було скласти замкнений шлях для оцінки інших пустих клітин. Це значення залишається в задачі доти, поки воно не зникне при відніманні або до отримання остаточного рішення.

Оптимізація розподілу (метод північно-західного кута)

а) В-Н +1 (пуста клітина) + ;

В-М -1 19 (В-Н) 12 (В-М) Г-М +1 17 (Г-М) 14 (Г-Н) Г-Н -1 36 > 26

Переміщення недоцільно б) Б-М +1 (пуста клітина) + ;

Б-Л -1 15 (Б-М) 19 (Б-Л) В-Л +1 21 (В-Л) 12 (В-М) В-М -1 36 > 31

Переміщення недоцільно в) В-К +1 (пуста клітина) + ;

Б-К -1 15 (В-К) 12 (Б-К) Б-Л +1 19 (Б-Л) 21 (В-Л) В-Л -1 34 > 33

Переміщення недоцільно г) А-Л +1 (пуста клітина) + ;

А-К -1 13 (А-Л) 10 (А-К) Б-К +1 12 (Б-К) 19 (Б-Л) Б-Л -1 25 < 29

Переміщення доцільно

д) А-М +1 (пуста клітина) + ;

А-Л -1 11 (А-М) 13 (А-Л) В-Л +1 21 (В-Л) 12 (В-М) В-М -1 33 > 25

Переміщення недоцільно е) Г-Л +1 (пуста клітина) + ;

В-Л -1 16 (Г-Л) 21 (В-Л) В-М +1 12 (В-М) 17 (Г-М) Г-М -1 28 < 38

Переміщення доцільно

є) А-Н +1 (пуста клітина) + ;

А-Л -1 16 (А-Н) 13 (А-Л) Г-Л +1 16 (Г-Л) 14 (Г-Н) Г-Н -1 32 > 27

Переміщення недоцільно ж) Г-К +1 (пуста клітина) + ;

А-К -1 9 (Г-К) 10 (А-К) А-Л +1 13 (А-Л) 16 (Г-Л) Г-Л -1 22 < 26

Переміщення доцільно

з) Б-Н +1 (пуста клітина) + ;

Б-К -1 17 (Б-Н) 12 (Б-К) Г-К +1 9 (Г-К) 14 (Г-Н) Г-Н -1 26 = 26

Переміщення можна не робити.

Загальні витрати =12· 13 + 17· 12 + 5· 21 + 10· 12 + 1· 9 + 5· 16 + 14· 14= 870 грн.

Отже, всі клітини перевірено і ми впевнились, що отриманий розподіл дійсно оптимальний і становить 870 грн.