Елементи векторної і матричної алгебри (реферат)

Реферат на тему:

Елементи векторної і матричної алгебри

Д1.1.Основи векторноi алгебри Основні закони механіки формулюються у векторній формі. Необхідною умовою переведення їх у скалярну форму є вміння вільно користуватися апаратом векторної й матричної алгебри.

Вектором $$a$$ називатимемо деякий об'єкт, що характеризується числом (яке називається довжиною вектора $$a$$, або його модулем) і напрямком у просторі.

Сумою двох векторів $$a$$ і $$b$$ називається третій вектор $$c$$, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець — із кінцем другого вектора за умови, що початок другого вектора суміщено з кінцем першого (правило трикутника або правило паралелограма):

$$c=a+b$$. (Д1.1).

Скалярний добуток двох векторів є скаляром, величина якого визначається як добуток модулів (довжин) векторів-множників на косинус кута $$j$$ між додатними напрямками векторів:

$$d=ab=ab\text{cos}j=b{\mathit{"\; id}}_{b}a=a{\mathit{"\; id}}_{a}b$$, (Д1.2).

де $$$$ $${\mathit{"\; id}}_{b}a$$ означає величину прямокутної проекції вектора $$a$$ на напрямок вектора $$b$$ :

$${\mathit{"\; id}}_{b}a$$ = $$a\text{cos}j$$ .

Наслідок 1. Якщо один із векторів $$a$$ і $$b$$ є одиничним, їхній скалярний добуток дорівнює величині проекції іншого вектора на напрямок одиничного.

Наслідок 2. Якщо обидва вектори $$a$$ і $$b$$ є одиничними, їхній скалярний добуток дорівнює косинусові кута між напрямками цих векторів.

Наслідок 3. Якщо вектори паралельні, їхній скалярний добуток дорівнює добутку довжин цих векторів.

Наслідок 4. Скалярний добуток вектора на себе дорівнює квадратові його довжини:

$$aa=a^2$$ .

Наслідок 5. Скалярний добуток ортогональних векторів дорівнює нулеві.

Векторний добуток двох векторів $$a$$ і $$b$$ визначається як вектор $$c=a\text{'}b$$, що є перпендикулярним до площини, що містить ці вектори-співмножники, спрямований у бік, із якого найкоротшій поворот від першого вектора $$a$$ до другого $$b$$ ввижається здійснюваним проти годинникової стрілки, і рівний площі паралелограма, побудованого на векторах-співмножниках як на сторонах.

$$c=ab\text{sin}j$$. (Д1.3).

Як випливає з визначення, якщо вектори-співмножники поміняти місцями у векторному добутку, то зміниться лише напрямок вектора $$c$$ на протилежний, а величина його залишиться тою самою. Цю властивість векторного добутку називають його антикомутативністю.

Наслідок 6. Векторний добуток паралельних векторів дорівнює нулю.

Наслідок 7. Векторний добуток вектора на себе дорівнює нулю.

Наслідок 8. Довжина вектора, що є векторним добутком двох ортогональних векторів, дорівнює добутку довжин векторів-співмножників.

Векторно-скалярний добуток трьох векторів $$a,b$$ та $$c$$ є скаляром, що чисельно дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках, як на сторонах.

Векторно-скалярний добуток припускає циклічне переставляння:

$$a(b\text{'}c)=b(c\text{'}a)=c(a\text{'}b)=(b\text{'}c)a=(c\text{'}a)b=(a\text{'}b)c$$. (Д1.4).

Останні три рівності випливають із комутативності скалярного добутку. Із запису (4) випливає, що для векторно-скалярного добутку не має значення, між якими із сусідніх векторів ставити знак векторного добутку, а тому цей знак узагалі не ставлять, і записують векторно-скалярний добуток без усяких знаків у такий спосіб: $$\text{abc}$$ (або $$\text{bca}$$, або $$\text{cab}$$, що є еквівалентним записом).

Якщо у зазначених комбінаціях поміняти місцями два сусідніх вектори, одержаний результат змінить свій знак на протилежний:

$$\text{abc}=\text{bca}=\text{cab}\text{=-}\text{bac}\text{=-}\text{acb}\text{=-}\text{cba}$$. (Д1.5).

Наслідок 9. Якщо два із трьох векторів паралельні, то їхній векторно-скалярний добуток дорівнює нулю. Зокрема, якщо серед трьох векторів двічі зустрічається той самий, їхній векторно-скалярний добуток дорівнює нулю.

Наслідок 10. Векторно-скалярний добуток трьох взаємноортогональних векторів дорівнює добутку довжин усіх трьох векторів.

Подвійний векторний добуток $$a\text{'}(b\text{'}c)$$ є вектором, що лежить у площині векторів $$b$$ і $$c$$, що перемножуються першими, і тому припускає розкладання по напрямках цих векторів, як складових:

$$a\text{'}(b\text{'}c)=b(ac)-c(ab)$$. (Д1.6).

Формула (6) часто використовується у механіці твердого тіла й теорії гіроскопів. З метою полегшення її запам’ятовування її називають «бац минус цаб» .

Примітки.

1. Подвійний векторний добуток не має навіть властивості асоціативності. Дійсно, розглянемо співвідношення (6) за умови, що спочатку перемножуються вектори $$a$$ і $$b$$ :

$$(a\text{'}b)\text{'}c\text{=-}c\text{'}(a\text{'}b)=c\text{'}(b\text{'}a)=b(ac)-a(cb)$$ .

Як бачимо, змінилася навіть площина результуючого вектора (раніше це була площина векторів $$b$$ і $$c$$, а тепер — площина векторів $$a$$ і $$b$$).

1. 2. У випадку, коли у подвійному векторному добутку зустрічаються два однакових вектори, одержимо:

$$a\text{'}(a\text{'}c)=a(ac)-c{a}^2$$. (Д1.7).

Д1.2. Форми подання векторів

Вектори й результати операцій над ними можуть бути подані у кількох математичних формах. Одна з них, яку щойно було застосовано, називається векторною і є найбільш узагальненою, бо не залежить від вибору координатного базису.

Існують і інші форми подання векторів. Усі вони потребують попереднього обрання деякого координатного базису (системи відліку). Серед них розрізнюватимемо форми: а) координатну, б) векторно-координатну і в) матричну.

У подальшому як базисну систему відліку завжди використовуватимемо прямокутну декартову систему (рис. Д1.1).

Д1.2.1. Координатна форма подання вектора

Координатна форма подання вектора — це завдання трійки чисел, що характеризують довжини проекцій цього вектора на осі базисної системи відліку:

$$a\{a_x,a_h,a{}_V\}$$ .

$$(1)$$.

Рис. Д1.1. Координатне подання вектора

У подальшому, задля більшої зручності подання формул переходу від однієї системи відліку до іншої, умовимося позначати першу з координатних осей ($$x$$ або $$x$$ на рис. 1) цифрою 1, другу ($$y,h$$) — цифрою 2, а третю ($$z,V$$) — цифрою 3. Сам координатний базис (систему відліку) позначатимемо однією великою літерою латинського алфавіту. Наприклад, позначимо через Р систему осей $$\text{xyz}$$, а через S — систему $$\text{xhV}$$. Тоді осі $$x$$, $$h$$ і $$V$$ одержать найменування 1S, 2S та 3S, а осі $$x$$, $$y$$ і $$z$$ — 1P, 2P та 3Р відповідно. З врахуванням цих позначень координатна форма подання вектора $$a$$ у системі $$\text{xhV}$$ набирає вигляду.

$$a\{a_{1S},a_{2S},a{}_{3S}\}$$, (Д1.8).

а в системі $$\text{xyz}$$.

$$a\{a_{1P},a_{2P},a{}_{3P}\}$$, (Д1.9).

Величини $$a_{1P},a_{2P}\mathit{ia}{}_{3P}$$ визначаються як проекції вектора $$a$$ відповідно на осі 1P, 2P та 3Р :

$$a_{\text{iP}}=a\text{cos}(a,I_P)$$. (Д1.10).

Рівність (10) є узагальненою формою запису усіх трьох проекцій вектора $$a$$ на осі довільно обраної системи відліку, причому індекс $$i$$ є номером осі системи координат Р, а $$I_P=1_P{\mathrm{,\; 2}}_P{\mathrm{,\; 3}}_P$$ — позначення одиничних векторів системи Р (ортів координатного базису).

Застосовуючи до ортів координатної системи операції скалярного й векторного добутків, запишемо таблицю цих добутків (вектори, що записані у лівій колонці є першими співмножниками, а ті, що записані зверху, — другими співмножниками):

Скалярні добутки ортів Векторні добутки ортів.

$$\begin{array}{cccc}& 1_P& 2_P& 3_P\\ 1_P& 1& 0& 0\\ 2_P& 0& 1& 0\\ 3_P& 0& 0& 1\end{array}$$ (Д1.11) $$\begin{array}{cccc}\text{'}& 1_P& 2_P& 3_P\\ 1_P& 0& 3_P& -2_P\\ 2_P& -3_P& 0& 1_P\\ 3_P& 2_P& -1_P& 0\end{array}$$ (Д1.12).

Д1.2.2. Деякі положення алгебри матриць

Матрицею розміром (m*n) називається прямокутна таблиця, що містить m рядків і n стовпців, елементами якої є дійсні або комплексні числа і яка має вигляд:

$$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ a_{\text{21}}{a}_{\text{22}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{2n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{a}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$. (Д1.13).

Якщо m=n, матриця називається квадратною.

При m=1 матриця перетворюється у рядок:

$$A=\left[a_1{a}_2\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n\right]$$, (Д1.14).

а при n=1 матриця перетворюється у стовпець:

$$\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_m\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ A=\\ \end{array}$$. (Д1.15).

Сумою матриць, А і В однакового розміру (m*n) називають матрицю С того самого розміру, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць-складових:

$$\begin{array}{c}\\ c_{\text{11}}{c}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{c}_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ c_{m1}{c}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{c}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ a_{\text{11}}{a}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}{a}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ b_{\text{11}}{b}_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{b}_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ b_{m1}{b}_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{b}_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ []=\\ \\ \\ \\ a_{\text{11}}+b_{\text{11}}{a}_{\text{12}}+b_{\text{12}}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{1n}+b_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{m1}+b_{m1}{a}_{m2}+b_{m2}\text{.}\text{.}\text{.}{a}_{\text{mn}}+b_{\text{mn}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \begin{array}{c}C=A+B=c_{\text{ij}}=\\ \end{array}\begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \hfill \end{array}$$ (Д1.16).

тобто елементи матриці-суми визначаються за формулою:

$$c_{\text{ij}}=a_{\text{ij}}+b_{\text{ij}}$$ .

Добутком двох матриць, А і В розміром відповідно (m*n) і (n*r), тобто таких, що кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої (n), є матриця С розміром (m*r), елементи якої визначаються співвідношенням:

$$c_{\text{ik}}=\underset{j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}{b}_{\text{jk}}$$ — $$(i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},m-k=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},r)$$. (Д1.17).

На рис. Д1.2 показано схему обчислення елемента $$c_{\text{ik}}$$ матриці С.

Рис. Д1.2. Схема обчислення елемента добутку матриць

Зазначимо, що задля забезпечення можливості виконання операції множення розміри матриць мають бути узгоджені між собою у тому відношенні, що кількість стовпців першої матриці-множника має дорівнювати кількості рядків другої матриці.

Приклад 1. Добуток матриці-рядка на матрицю-стовпець дорівнює матриці розміром (1*1), тобто числу:

$$\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_r\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ [a_1-a_2-\text{.}\text{.}\text{.}{a}_r]\\ \end{array}$$. (Д1.18).

Приклад 2. Добуток матриці-стовпця на матрицю-рядок дорівнює квадратній матриці розміром (r*r), де r — довжина матриці-стовпця й матриці-рядка. Такий добуток називають діадою:

$$\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_r\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ [][b_1-b_2-\text{.}\text{.}\text{.}{b}_r]\\ \\ a_1{b}_1-a_1{b}_2-\text{.}\text{.}\text{.}{a}_1{b}_r\\ a_2{b}_1-a_2{b}_2-\text{.}\text{.}\text{.}{}_{}{a}_2{b}_r\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_r{b}_1-a_r{b}_2-\text{.}\text{.}\text{.}{a}_r{b}_r\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \text{diad}(A,B)=\\ \end{array}$$. (Д1.19).

Діада того самого вектора має вигляд.

$$\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_r\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ [][a_1-a_2-\text{.}\text{.}\text{.}{a}_r]\\ \\ a_1^2-a_1{a}_2-a_1{a}_r\\ a_2{a}_1-a_2^2-{}_{}{a}_2{a}_r\\ \\ a_r{a}_1-a_r{a}_2-a_r^2\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \text{diad}(A)=\\ \end{array}$$. (Д1.20).

З наведених прикладів стає наочним, що добуток матриць не є комутативним: при переставленні місцями матриць-співмножників у добутку у загальному випадку виходить не лише матриця з іншими елементами, але й з іншими розмірами. Інколи один із добутків існує, а інший — ні, внаслідок неузгодженості розмірів.

Транспонованою по відношенню до заданої матриці А називається матриця В=Аt, в якій рядки дорівнюють стовпцям матриці А, а стовпці - рядкам цієї матриці:

$$b_{\text{ij}}=a_{\text{ji}}$$ — $$(i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},m)$$. (Д1.21).

Приклад 3. Транспонованим до стовпця є рядок і навпаки.

$$\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_r\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

Одиничною називають квадратну матрицю $$E$$, вдовж головної діагоналі якої містяться одиниці, а решта елементів дорівнюють нулю.

Добуток одиничної матриці Е зліва на будь-яку матрицю, що має кількість рядків, як у матриці Е, і справа на будь-яку матрицю з кількістю стовпців, як у матриці Е, дорівнює самій цій матриці:

$$EA=A$$ — $$BE=B$$. (Д1.22).

Оберненою по відношенню до заданої матриці називається така матриця, добуток якої на задану дорівнює одиничній матриці:

$$B=A^{-1}$$ $$=>$$ $$BA=E$$. (Д1.23).

Обернена матриця по відношенню до квадратної матриці А визначається зі співвідношення:

$$A^{-1}={a_{\text{ij}}}^{-1}=\frac{A_{\text{ji}}}{\text{det}(A)}$$, (Д1.24).

де $$A_{\text{ji}}$$ — алгебричне доповнення елемента $$a_{\text{ji}}$$ у визначнику $$\text{det}(A)$$ .

Якщо $$\text{det}(A)$$ дорівнює нулеві, матриця $$A$$ називається виродженою. У протилежному випадку — невиродженою.

Для виродженої матриці не існує зворотної.

Слід $$\text{Tr}(A)$$ (від trace) матриці $$A$$ — це сума її діагональних елементів:

$$\text{Tr}(A)=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{kk}}=a_{\text{11}}+a_{\text{22}}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}}$$, (Д1.25).

де n — кількість діагональних елементів матриці А.

Квадратна матриця С називається симетричною, якщо її елементи, розташовані симетрично відносно головної діагоналі, дорівнюють один одному:

$$c_{\text{ij}}=c_{\text{ji}}$$ — $$(i,j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.}n)$$. (Д1.26).

Квадратна матриця К називається кососиметричною, якщо її елементи, розташовані симетрично відносно головної діагоналі дорівнюють один одному із протилежним знаком:

$$k_{\text{ij}}\text{=-}{k}_{\text{ji}}$$ — $$(i,j=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.}n)$$. (Д1.27).

Будь-яка квадратна матриця, А може бути розкладеною на суму симетричної С і кососиметричної К матриць. При цьому елементи цих матриць визначаються, як неважко довести, з співвідношень:

$$A=C+K$$ — $$=>$$.

$$\begin{array}{c}=>C=(A+A^t)/2-=>c_{\text{ij}}=(a_{\text{ij}}+a_{\text{ji}})/2-=>\\ =>K=(A-A^t)/2-=>k_{\text{ij}}=(a_{\text{ij}}-a_{\text{ji}})/2\text{.}\end{array}$$ (Д1.28).

Д1.2.3. Матричне подання векторів

У подальшому використовуватимемо дві форми подання вектора $$a$$ як матриці:

а) у вигляді матриці-стовпця із проекцій вектора на осі обраної системи відліку, наприклад:

$$\begin{array}{c}{a}_{1P}\\ a_{2P}\\ a_{3P}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ A_P=\\ \end{array}$$, (Д1.29).

якщо як базис використовується система відліку Р, або.

$$\begin{array}{c}{a}_{1S}\\ a_{2S}\\ a_{3S}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ A_S=\\ \end{array}$$, (Д1.30).

якщо базисом обрано систему S;

б) у виді кососиметричної матриці вигляду (базис Р):

$$\begin{array}{c}0-a_{3P}{a}_{2P}\\ a_{3P}0-a_{1P}\\ -a_{2P}{a}_{1P}0\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ (A_P\text{'})=\\ \end{array}$$. (Д1.31).

Аналогічно записується вектор у вигляді кососиметричної матриці у базисі S. Таке подання вектора іноді називають дуальним.

Д1.2.4. Векторно-координатна форма подання вектора

Векторно-координатна форма дозволяє поєднати векторну форму подання з координатною. Для цього використовуються вищезазначені позначення ортів координатного базису, наприклад, вектор $$a$$ у базисі S подається у вигляді:

$$a=a_{1S}{1}_S+a_{2S}{2}_S+a{}_{3S}{3}_S$$, (Д1.32).

а у базисі Р.

$$a=a_{1P}{1}_P+a_{2P}{2}_P+a{}_{3P}{3}_P$$. (Д1.33).

Векторно-координатну форму можна дещо спростити у запису, якщо скористуватися матричним поданням вектора. Задля цього введемо у розгляд умовну векторну «матрицю-стовпець» $$O$$, елементи якої складають вектори ортів обраної системи відліку:

$$\begin{array}{c}{1}_S\\ 2_S\\ 3_S\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ O_S=\\ \end{array}$$, або $$\begin{array}{c}{1}_P\\ 2_P\\ 3_P\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ O_P=\\ \end{array}$$. (Д1.34).

З врахуванням правил множення матриць, вектор $$a$$ можна подати у виді:

$$a=A_S^t{O}_S=O_S^{t}A{}_S=A_P^t{O}_P=O_P^{t}A{}_P$$, (Д1.35).

де $$A_S$$ і $$A_P$$ — матриці-стовпці (29) і (30), а індекс t позначає операцію транспонування.

Враховуючи таблиці (11) та (12), запишемо вирази для діад скалярного й векторного добутків, що утворені з «матриць» $$O_P$$ :

$$O_P{O}_P^t=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=E$$ — $$O_{P}x{O}_P^t=\left[\begin{array}{ccc}0& 3_P& -2_P\\ -3_P& 0& 1_P\\ 2_P& -1_P& 0\end{array}\right]$$. (Д1.36).

Д1.3. Операції над векторами у різних формах подання

Напрямними косинусами вектора $$a$$ називають косинуси кутів між напрямком цього вектора і додатними напрямками осей обраної координатної системи:

$$\text{cos}(a,I_P)=e{I}_P$$, ($$I_P=1_P{\mathrm{,\; 2}}_P{\mathrm{,\; 3}}_P$$). (Д1.37).

Тут $$e$$ — позначення одиничного вектора напрямку $$a$$ .

Усі визначені раніше дії над векторами при записі їх у координатній формі потребують, щоб попередньо усі вектори, над якими здійснюються операції, були визначені (завдані своїми проекціями) в одному координатному базисі. Приймемо за такий базис систему відліку Р.

Сумування векторів. Сума векторів $$c=a+b$$ у координатній формі відображується у такий спосіб:

$$c_{\text{iP}}=a_{\text{iP}}+b_{\text{iP}}$$ — $$(i=\mathrm{1,2,3})$$, (Д1.38).

тобто.

$$$$ $$c_{1P}=a_{1P}+b_{1P}$$ — $$c_{2P}=a_{2P}+b_{2P}$$ — $$c_{3P}=a_{3P}+b_{3P}$$ .

Матрична форма допускає два подання.

$$C_P=A_P+B_P$$ — (Д1.39).

$$(C_P\text{'})=(A_P\text{'})+(B_P\text{'})$$, (Д1.40).

де використані позначення (28).

У векторно-координатній формі сума векторів може бути подана таким чином:

$$c=a+b=(A_P^t+B_P^t)O_P=O_P^t(A_P+B_P)$$. (Д1.41).

Скалярний добуток. Скалярний добуток двох векторів $$c=ab$$ має вигляд:

— у координатній формі.

$$c=ab=a_{1P}{b}_{1P}+a_{2P}{b}_{2P}+a_{3P}{b}_{3P}$$ — (Д1.42).

— у матричній формі можливі два варіанти подання — шляхом множення матриці-рядка одного з векторів на матрицю-стовпець другого вектора і шляхом відшукання сліду діади, яка є результатом множення матриці-стовпця одного з векторів на матрицю-рядок іншого вектора.

$$c=A_P^t{B}_P=B_P^t{A}_P=\text{Tr}(A_P{B}_P^t)=\text{Tr}(B_P{A}_P^t)$$ — (Д1.43).

— у векторно-координатній формі, враховуючи (34) і (35).

$$c=ab=A_P^t{O}_P{O}_P^t{B}_P=A_P^{t}E{B}_P=A_P^t{B}_P$$ — (Д1.44).

Векторний добуток. Спочатку визначимо векторний добуток у векторно-координатній формі, враховуючи (35) і (36):

$$\begin{array}{c}c=axb=A_P^t{O}_{P}x{O}_P^t{B}_P=A_P^t\\ \end{array}$$ $$\left[\begin{array}{ccc}0& 3_P& -2_P\\ -3_P& 0& 1_P\\ 2_P& -1_P& 0\end{array}\right]B_P=$$.

$$\begin{array}{c}=1_P(a_{2P}{b}_{3P}-a_{3P}{b}_{2P})+2_P(a_{3P}{b}_{1P}-a_{1P}{b}_{3P})+\\ +3_P(a_{1P}{b}_{2P}-a_{2P}{b}_{1P})=O_P^t(A_{P}x)B_P=\end{array}$$ (Д1.45).

$$=|\begin{array}{ccc}{1}_P& 2{}_P& 3_P\\ a_{1P}& a_{2P}& a_{3P}\\ b_{1P}& b_{2P}& b_{3P}\end{array}|$$.

З цього випливає, що проекції вектора-добутку двох векторів пов’язані із проекціями множників у такий спосіб:

$$\begin{array}{c}{c}_{1P}=a_{2P}{b}_{3P}-a_{3P}{b}_{2P}-\\ c_{2P}=a_{3P}{b}_{1P}-a_{1P}{b}_{3P}-\\ c_{3P}=a_{1P}{b}_{2P}-a_{2P}{b}_{1P}\text{.}\end{array}$$ (Д1.46).

Чергування індексів при проекціях векторів $$c$$, $$a$$ і $$b$$ визначається правилом циклічного переставляння.

У матричній формі для подання векторного добутку потрібно застосовувати обидві форми подання векторів — перший співмножник потрібно подати у вигляді кососиметричної матриці (30), а другий — як матрицю-стовпець (28):

$$C_P=(A_P\text{'})B_P$$ = $$\begin{array}{c}0-a_{3P}{a}_{2P}\\ a_{3P}0-a_{1P}\\ -a_{2P}{a}_{1P}0\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c}\\ b_{1P}\\ b_{2P}\\ b_{3P}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \end{array}$$ = $$\left[\begin{array}{c}{a}_{2P}{b}_{3P}-a{}_{3P}{b}_{2P}\\ a_{3P}{b}_{1P}-a{}_{1P}{b}_{3P}\\ a_{1P}{b}_{2P}-a{}_{2P}{b}_{1P}\end{array}\right]$$. (Д1.47).

або.

$$C_P^t=A_P^t(B_P\text{'})$$ = $$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1P}-& a_{2P}-& a_{3P}\end{array}\right]\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c}0-b_{3P}{b}_{2P}\\ b_{3P}0-b_{1P}\\ -b_{2P}{b}_{1P}0\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ = (Д1.49).

= $$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{2P}{b}_{3P}-a{}_{3P}{b}_{2P}-& a_{3P}{b}_{1P}-a{}_{1P}{b}_{3P}-& a_{1P}{b}_{2P}-a{}_{2P}{b}_{1P}\end{array}\right]$$ .

Унаслідок властивості антикомутативності векторного добутку можна записати співвідношення:

$$(A_P\text{'})B_P\text{=-}(B_P\text{'})A_P=(B_P^t\text{'})A_P$$ ;

$$A_P^t(B_P\text{'})\text{=-}{B}_P^t(A_P\text{'})=B_P^t(A_P^t\text{'})$$. (Д1.50).

Векторно-скалярний добуток. У координатній формі векторно-скалярний добуток трьох векторів $$a,b,c$$ (див. (4) і (5)) найпростіше подається як визначник квадратної матриці:

$$d=\text{abc}=a(b\text{'}c)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1P}& a_{2P}& a_{3P}\\ b_{1P}& b_{2P}& b_{3P}\\ c_{1P}& c_{2P}& c_{3P}\end{array}|$$. (Д1.51).

Векторно-координатна й матрична форми дають однаковий результат.

$$d=\text{abc}=a(b\text{'}c)=A_P^t(B_P\text{'})C_P$$. (Д1.52).

Співвідношення (4) дозволяють встановити такі співвідношення між матрицями:

$$\begin{array}{c}{A}_P^t(B_P\text{'})C_P=A_P^t(C_P\text{'}{)}^t{B}_P=B_P^t(A_P\text{'}{)}^t{C}_P=\\ B_P^t(C_P\text{'})A_P=C_P^t(B_P\text{'}{)}^t{A}_P=C_P^t(A_P\text{'})B_P\end{array}$$. (Д1.53).

Подвійний векторний добуток. Запишемо подвійний векторний добуток у векторно-координатній формі (див. (45)):

$$d=ax(bxc)=A_P^t{O}_{P}x{O}_P^t(B_{P}x)C_P=O_P^t(A_{P}x)(B_{P}x)C_P$$. (Д1.54).

Звідси випливає і матрична форма:

$$D_P=(A_P\text{'})(B_P\text{'})C_P$$. (Д1.55).

Неважко впевнитися у слушності наступної залежності:

$$(A_P\text{'})(B_P\text{'})=B_P{A}_P^t-B_P^t{A}_{P}E$$. (Д1.56).

З її врахуванням формулу (55) можна переробити у таку:

$$D_P=B_P(A_P^t{C}_P)-(B_P^t{A}_P)C_P$$, (Д1.57).

що, як неважко збагнути, є модифікацією співвідношення (6) у матричному варіанті.

Потрійний векторний добуток. Користуючись співідношенням (6) потрійний векторний добуток можна подати у виді:

$$dx[ax(bxc)]=dx[b(ac)-c(ab)]=(dxb)(ac)-(dxc)(ab)$$. (Д1.58).

Якщо деякі з векторів є однаковими, матимемо звідси:

$$ax[bx(axb)]=-ax[bx(bxa)]=(bxa)(ab)=-(axb)(ab)$$, (Д1.59).

а також.

$$ax[bx(bxa)]=-bx[ax(axb)]$$. (Д1.60).

У матричній формі цьому відповідають співвідношення.

$$\begin{array}{c}(Ax)(Bx)(Ax)B=-(Ax)(Bx)(Bx)A=(Bx)(Ax)(Ax)B=\\ =(Bx)A{A}^{t}B=(Bx)\text{diad}(A)B\end{array}$$ (Д1.61).

Деякі корисні співвідношення.

Квадрат кососиметричної матриці має вигляд:

$$\begin{array}{c}(A_{P}x{)}^2=(A_{P}x)(A_{P}x)=\\ \left[\begin{array}{ccc}0& -a_{3P}& a_{2P}\\ a_{3P}& 0& -a_{1P}\\ -a_{2P}& a_{1P}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& -a_{3P}& a_{2P}\\ a_{3P}& 0& -a_{1P}\\ -a_{2P}& a_{1P}& 0\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}-(a_{2P}^2+a_{3P}^2)& a_{1P}{a}_{2P}& a_{1P}{a}_{3P}\\ a_{1P}{a}_{2P}& -(a_{1P}^2+a_{3P}^2)& a_{3P}{a}_{2P}\\ a_{1P}{a}_{3P}& a_{2P}{a}_{3P}& -(a_{1P}^2+a_{2P}^2)\end{array}\right]\end{array}$$ (Д1.62).

Застосуємо (56) для того самого вектора. Матимемо:

$$(A_{P}x)(A_{P}x)=A_P{A}_P^t-A_P^t{A}_{P}E$$, (Д1.63).

або.

$$\text{diad}(A_P)=(A_{P}x{)}^2+a^{2}E$$, (Д1.64).

де позначено.

$$\text{diad}(A_P)=A_P{A}_P^t=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1P}^2& a_{1P}{a}_{2P}& a_{1P}{a}_{3P}\\ a_{1P}{a}_{2P}& a_{2P}^2& a_{3P}{a}_{2P}\\ a_{1P}{a}_{3P}& a_{2P}{a}_{3P}& a_{3P}^2\end{array}\right]$$ — (Д1.65).

діада вектора $$a$$, $$a$$ — його довжина.

Якщо ж вектор $$a$$ є одиничним ($$a=e$$, $$e^2=1$$), то формула (63) перетвориться на наступну.

$$\text{diad}(e_P)=E+(e_{P}x{)}^2$$, (Д1.66).

де позначено.

$$\text{diad}(e_P)=e_P{e}_P^t=\left[\begin{array}{ccc}{e}_{1P}^2& e_{1P}{e}_{2P}& e_{1P}{e}_{3P}\\ e_{1P}{e}_{2P}& e_{2P}^2& e_{3P}{e}_{2P}\\ e_{1P}{e}_{3P}& e_{2P}{e}_{3P}& e_{3P}^2\end{array}\right]$$ (Д1.67).

Ще одне корисне співвідношення знайдемо, користуючись тією обставиною, що скалярний добуток є числом, а добуток матриць є асоціативним:

$$A_P{B}_P^t{C}_P=\text{Diad}(A_P,B_P)C_P=B_P^t{C}_P{A}_P$$. (Д1.68).

Воно є слушним у випадку, коли матриці $$A_P$$, $$B_P$$ і $$C_P$$ є стовпцями.

Нарешті, неважко довести, що, коли $$a$$ і $$b$$ — вектори, то.

$$\text{diad}(A_p)B_P=A_p(A_p{)}^t{B}_P=A_{p}ab\text{cos}(a,b)$$. (Д1.69).

Зокрема, якщо вектор $$a=e$$ — одиничний, матимемо.

$$\text{diad}(e_p)X_P=x\text{cos}(e,x)e_P$$. (Д1.70).

Це є вектор, колінеарний з ортом $$e$$, і рівний за довжиною проекції вектора $$x$$ на цей орт.