Вища математика

Высшая математика

(шпаргалка) Осн. понятия Грани числових мн-в Числовые последовательности Непр. ф-ции на пр-ке.

1. Засн. понятия Мат. модель — будь-який набір кр-ний; нерівностей та інших мат. Співвідношень, що у сукупності описує цікавий для нас объект.

Мн-во вещест. чисел розбивається: на рационал. і иррац. Рац. — число, що можна у вигляді p/q де p і q — цілий. числа. Иррац. — всяке речовинне число, яке явл. рационал.

Любое вещ. число можна як бесконеч. десят. Дробу а, а1, а2…аn… де, а -подобається. число, а а1, А2 … аn числа, приним. цілі знач.

Некоторые числові множества.

Мн-ва — первинне поняття, лише на рівні здоровим глуздом, їх можливо точно визначити.

Для описи мн-в єдина символіка, саме, тоді як мн-во, А входять лише ел. x, які мають деяким св-вом S (x), тоді мн-во, А описується А={х½ вып-ся ум S (x)}.

Подмн-ва — якщо Проте й У 2 мн-ва і всі эл-ты мн-ва, А сод-ся в У, то, А наз-ся подмн-вом У, А У, тоді як У сод-ся эл-ты які від эл-тов мн-ва Бо У суворо ширше Бо, А наз-ся власним подмн-вом У. АÌВ. А=Вмн-ва совпадают.

Операции з мн-воми, А В={х!х принадл. або А, або У} - обьединение мн-в Проте й В.

АÇ В={х½хÎА і хÎВ} те що мн-в Проте й В.

А В={х½хÎА, але хÏВ}дополн. до м-ву У у мн-ве, А Числовые мн-ва.

R, N, Z, Q — стандартні позначення мн-в на числ. прямий. (а, в)= {х½а0 знайдеться такий номер N, нічого для будь-якого n >N:½xn-a½< e.

Все посл-ти мають межа наз-ся сходящимися, а чи не має його наз-ся расходящимися.

Связь збіжних посл-тей і б/м.

Дает сл. теорему Теорема Для здобуття права посл-ть xn мала межею число, а необхідно, щоб эл-ты цієї посл-ти можна було у вигляді xn=a+an, де посл-ть {an}®0, тобто. є б/м.

Док-во а) Припустимо, що xn®a і зазначимо посл-ть an удовл. рівності xn=a+an. І тому просто між іншим an=xn-a, тоді при n®¥½xn-a½ одно растоянию від xn до, а ® 0 => an б/м і з рівності перетворення визначаю an отримуємо xn=a+an.

Свойство б/м Если {xn},{yn}- будь-які посл-ти, їх сума {xn+yn}, це є пос-ть із загальним членом xn+yn. Аналогічно з різницею, приватним і умножением.

Т-ма про св-вах б/м а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м.

1) їх сума, різницю і твір є б/м.

2) Твір будь-який огранич. посл-ти на б/м є б/м.

!О приватному що мовчать, тобто. приватне б/м може бути б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, для будь-якого числа с>0 сущ-ет номер N всім номерів n>N ½xn½>c.

!Понятие б/б не збігаються з необмеженої: посл-ть то, можливо неогранич., а не б/б.

Пример 1,½, 3,¼, 5,1/6,7… явл. неогранич., тобто. приймає як завгодно великі по модулю значення, однак у ній є эл-ты зі як завгодно великими номерами приймаючі дробные знач. і яким завгодно малі по модулю.

Св-ва збіжних посл-тей Теорема «Про одиничності пределов».

Если посл-ть xn сходиться, вона має єдиний предел.

Док-во (від противного).

{xn} має дві разл. Краю a і b, а¹b. Тоді за визначенням меж з околиць т. а містить все эл-ты посл-ти xn крім кінцевого числа і аналогічним св-вом має будь-яка околиця у точці b. Візьмемо два радіуса e= (b-a)/2, т.к. ці околиці не перетинаються, то водночас що неспроможні утримувати все эл-ты починаючи з деякого номери. Одержимо протиріччя теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена».

Нехай посл-ть {xn}®а e >про N: «n>N½xn-a½ у правій частині стоїть сума числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме Про зв’язок збіжних посл-тей в б/м посл-ти у правій частині xn*yn зводиться до a*b.

Практический висновок у тому, що нахожд. меж посл-тей заданих сл. висловлюваннями можна звести до простішим завданням обчислення lim від складових цього выр-ния Посл-ть {xn} наз-ся возр., якщо x1xn+1>…; невозр., якщо x1³x2³…³xn³xn+1³…

Все такі посл-ти наз-ся монотонними. Возр. і убувши. наз-ся суворо монотонными Монотонные посл-ти обмежені з одного боку, по крайнього заходу. Неубывающие обмежені знизу, наприклад 1 членом, а чи не возрастыющие обмежені сверху.

Теорема «Про збіжності монотон. посл-ти».

Всякая монотонна посл-ть явл-ся сходящейся, тобто. має пределы.

Док-во Нехай посл-ть {xn} монотонно возр. і обмежена згори. X — все мн-во чисел, а й приймати эл-т цієї посл-ти відповідно до ум. Теореми це мн-во огранич., тому по соотв. Теоремі він має кінцеву точну гору. грань supX xn®supX (позначимо supX через x*). Т.к. x* точна гору. грань, то xn£x* «n. «e >0 вып-ся нер-во $ xm (пусть mце n з крышкой):xm>x*-e при «n>m => із зазначених 2-х нерівностей отримуємо друге нерівність x*-e£xn£x*+e при n>m еквівалентно ½xn-x*½m. Це означає, що x* явл. межею посл-ти.

Экспонента чи число е Ф-ции однієї переменной Обратные ф-ции.

6. Експонента чи число е Р-рим числ. посл-ть із загальним членом xn=(1+1/n)^n (певною мірою n)(1). Виявляється, що посл-ть (1) монотонно возр-ет, обмежена зверху і сл-но явл-ся сходящейся, межа цієї пос-ти наз-ся експонентою і позначається символом е"2,7128…

Док-ть відповідність посл-ти (1).

Для док-ва введемо вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Зрозуміло що при знач. x=1,½, 1/3,…, 1/n,… значення ф-ции y збігаються з відповідними эл-ми (1).

Док-м що ф-ция у монотонно убуває і огран. згори => монотонне возр. посл-ти (1) і обмеженість її понад. Оскільки lg x явл-ся монотонно возр., але монотонне убувши. ф-ции у і його огранич. згори еквівалентні тому, що ф-ция lgy, що дорівнює 1/хlg (1+x) (2) має ті самі св-ва, тобто. 00 (4). Візьмемо будь-яку лин. ф-цию виду y=kx яка перевершує lg (1+x) попри всі x>0.

tga1=(lg (1+x1))/x1 a1>a2=>tga1>tga2.

tga2=(lg (1+x2))/x2.

Поскольку a1>a2, то tga1>tga2, але це рівносильне рівності (3). Оскільки y>lg (1+x) «x>0 => kx>

>lg (1+x) «x>0.

Принимая у уваги ф-ции у з пос-ть xn дійшли потрібному утвердженню. Кількість е явл-ся неминучим супутником динамічних процесів: майже завжди показники изменяющиеся у часі що характеризують такі процеси залежить від часу через экспонициальную ф-цию y=e^x і його модификации.

Пр-р: якщо ставка сл-ных % дорівнює r і інвестор поклав до банку початковий внесок рівний Р причому % нараховуються m на рік (rрічна ставка) тоді через nроків нарощена сума нач-ся по ф-ле сл. % при m кратному їх начислению.

Sn=P (1+r/m)^mn (5) Припустимо тепер % нач-ся безперервним чином, тобто. число періодів нач-ния необмежено ув-ся. Мат-ки це соотв-ет з того що вираз (5) треба р-равать, як загальний член посл-ти Xm, а безперервному нач-нию соот-ет нарощена ф-ция lim (n®¥)P (1+r/m)^mn=Pe^rn.

Lg (e)x має спец. Позначення lnx.

Принцип вкладених отрезков Пусть на числової прямий задана посл-ть відрізків [a1,b1],[a2,b2],…,[an, bn],…

Причем ці відтинки удовл-ют сл. усл.:

1) кожен посл-щий вкладено попередній, тобто. [an+1,bn+1]Ì[an, bn], «n=1,2,…;

2) Довжини відрізків ®0 зі зростанням n, тобто. lim (n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть з зазначеними св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Будь-яка посл-ть вкладених відрізків містить единную т-ку з приналежну всім відрізкам посл-ти одночасно, з загальна точка всіх відрізків до котрої я вони стягиваются.

Док-во {an}-посл-ть лівих кінців відрізків явл. монотонно не убутній і обмеженої згори числом b1.

{bn}-посл-ть правих кінців монотонно не зростаючій, тому ті посл-ти явл. сходящимися, тобто. сущ-ют числа с1=lim (n®¥)an і с2=lim (n®¥)bn => c1=c2 => з — їх загальну значення. Справді має межа lim (n®¥)(bn-an)= lim (n®¥)(bn) — lim (n®¥)(an) з умови 2) o= lim (n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Ясно що т. з загальна всім відрізків, оскільки «n an£c£bn. Тепер доведемо що вона одна.

Допустим що $ інша з‘ до котрої я стягуються все відтинки. Якщо взяти будь-які непересічні відтинки із собою та‘, те з одного боку весь «хвіст» посл-тей {an},{bn} повинен нах-ся навколо т-ки с‘‘(т.к. an і bn сходяться до з і з‘ одночасно). Протиріччя док-ет т-му.

Принцип вкладених отрезков Т-ма. Будь-яка пос-ть вкладених відрізків містить єдностей. т-ку сÎвсем відрізкам посл-ти одночасно, до котрої я вони стягиваются.

Док-во. {an} пос-ть лівих кінців явл. монотонно неубыв. І огран. свеху числом b1; посл-ть правих кінців {bn} монотонно не возр. і обмежена знизу а1, тому ці посл-ти сходящ., тобто. $ числа c1=lim (n®¥)an і c2=lim (n®¥)bn.

Докажем що с1=с2 і сл-но їхня загальна знач. може позначити через з. Дійств. є межа lim (n®¥)(bn-an)= lim (n®¥)bn® lim (n®¥)an=c2-c1=c ясно що з загальна всім відрізків бо «n an£c£bn. Залишилося довести єдність даної т-ки (від супротивного). Припустимо є c‘¹c до котрої я стягуються все відтинки. Якщо взяти будь-які межі дкр. точок із собою та‘, те з одного боку весь «хвіст» {an}, {bn}, повинен нах-ся на околиці т-ки з, а ін. в з‘, т.к. an і bn® з і з‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.

7.Ф-ции однієї переменной Если поставлено правило яким кожному значенням перем. Величини x з мн-ва Х ставиться відповідність 1 значенням перем. У то цьому випадку кажуть, що задана ф-ция 1-ї переменной.

Y=f (x); x -аргумент независ. змін., yзав. пер.

X=Df=D (f) y={y;y=f (x), xÎX} x1ÎX1, y1=f (x1).

1) аналит. спосіб; 2) Табличный способ;

3) Графічний спосіб;

4)Min і max ф-ции: ф-ция f (x) обмежена, якщо огран. її мн-во знач У, тобто. $ m, M: m£f (x)£M «xÎX.

m£f (x) «xÎX => огр. сп.; f (x)£M, «xÎX=> огр. св.

Обратные ф-ции.

Если поставлено правило яким кожному значенням yÎY ставлять у відповідність ® од. знач. x, причому y=f (x), то цьому випадку кажуть, що у мн-ве Y визначено ф-ция зворотна ф-ции f (x) і позначають таку ф-цию x=f^-1(y).

Предел ф-ции в точке Свойства краю ф-ции в точке Односторонние межі ф-ции в т-ке:

Предел ф-ции в т-ке Предел і безперервність функции Предел. Односторонній предел.

Предел ф-ции в точке.

y=f (x) X.

опр. «{xn} ÌX, xn®x0.

f (xn)®A,=> f (x) в т. x0 (при, xn®x0) межа = А А=lim (x®x0)f (x) чи f (x)®A при x®x0.

Т-ка x0 може Î і Ï мн-ву Х.

Свойства краю ф-ции в точке.

1) Якщо межа в т-ке сущ-ет, він единственный.

2) Якщо тке х0 межа ф-ции f (x) lim (x®x0)f (x)=A.

lim (x®x0)g (x)£B=> тоді у цій т-ке $ межа суми, різниці, твори приватного. Відділення цих 2-х ф-ций.

а) lim (x®x0)(f (x)±g (x))=A±B.

б) lim (x®x0)(f (x)*g (x))=A*B.

в) lim (x®x0)(f (x):g (x))=A/B.

г) lim (x®x0)C=C.

д) lim (x®x0)C*f (x)=C*A.

Док-во xn®x0, $ lim (x®x0)f (x)=A по опр. f (xn)®A {f (xn)}.

Односторонние межі ф-ции в т-ке:

Опр. А — межа ф-ции f (x) справа від точки х0, якщо f (x)®A при х®х0, і x>x0.

Формально це, що з будь-який посл-ти {xn}®x0, вып-ся умова xn>x0, f (x)®A. Означимо f (x0+0) і f (x0+) lim (x®x0+0)f (x)®.

И і з минусами.

Признак $ предела Т-ма Щоб f (x) мала межа в т-ке х0 необх., тоді цієї т-ке ф-ция f має совпадающ. Поміж себе бічний. межа (f (x0+)=f (x0-) (1), які дорівнюють межі ф-ции.

Док-во. f (x) має у т-ке х0 межа А, тоді f (x)®A незалежно від цього наближається чи x до х0 за значенням більше х0 менше це рівність (1).

Предел ф-ции в т-ке Число, А наз-ся межею ф-ции в т-ке х0 якщо «e>0 знайдеться така кількість В>0, всім x відмінних від х0 і (х-х0)x0 виконується умова f (xn)®A.

Запись: f (x0+o), f (x0+). lim (x®x0+o)f (x) де запис x®x0+o саме означає прагнення х0 по мн-ву значень >ніж х0.

Опр. Межа зліва аналогічно і исп-ся запис f (x0-o);f (x0-).

Теорема. Для здобуття права ф-ция f (x) мали межу у точці х0 необхідне й досить як у цієї т-ке ф-ция має збіжні між собою одностороние межі (f (x0+)=f (x0-)) значення які дорівнюють межі ф-ции, тобто. f (x0+)=.

f (x0-)=lim (x®x0)f (x)=A.

Док-во.

а) скажімо ф-ция має у точці х0 межа рівний А, тоді f (x)® А незалежно від цього, наближається чи x до х0 по значенням > x0 чи при х®0 t®¥ з краю (2) => lim (x®¥) (1+1/x)^x=e (3).

Док-во.

1)x®+¥ n x: n=[x] => n£x 1/(n+1) j (х)a (х)®0 при х®х0.

Для здобуття права розрізняти б/м з їхньої швидкості прагнення до 0 вводять сл. понятие:

1) Якщо ставлення 2-х б/м a (х)/b (х)®0 при х®х0 то говорять, що б/м a має як високий порядок дрібниці ніж b.

2) Якщо a (х)/b (х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a (х) і b (х) наз-ся б/м одного порядка.

3) якщо a (х)/b (х)®1, то a (х) і b (х) наз-ся еквівалентними б/м (a (х)~b (х)), при х®х0.

4) Якщо a (х)/b^n (х)®А¹0, то a (х) наз-ся б/м n-ного порядку щодо b (х).

Аналогичные визначення для випадків: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ і х®¥.

14. Безперервні ф-ции. Непрерывность.

Опр. f (x) безупинні Х0 і навіть її межі у цій т-ке сущ-ет дорівнює знач. ф-ции у цій т-ке, тобто. lim (x®x0)f (x)=f (x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. З визначення випливає у разі безперервності ф-ции у цій т-ке віднімання меж зводиться до вычит. знач. ф-ции у цій т-ке. Рівність lim (x®x0)x=x0 (1‘). Тобто знак краю у безупинної ф-ции можна вносити в аргумент ф-ции. Геометрично безперервність ф-ции в т-ке х0 означає що її графік у цій т-ке немає розриву. Якщо позначити через Dу прирощення ф-ции, тобто. Dу=f (x0+Dx)-f (x0) (прирощення ф-ции в т. х0). «D» — символ приращения.

Приращение аргументу в т-ке х0 це відповідає тому, що поточна т. x, то умова безперервності в т-ке х0 записується сл. чином lim (Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Якщо т-ке х0 ф-ция безупинна, то прирощення ф-ции ®0 прирощення аргумента.

f (x) безупинна в т-ке х0 Dy®0 при Dх®0.

Если поняття краю призводить до поняттю непр. Ф-ции то поняття одностороннього краю призводить до поняттю односторонньої непр. точки.

Опр. Якщо f (x) має межа справа в т-ке х0(=f (x0+)) і це межа дорівнює значенням ф-ции ф-ции в т-ке х0, тобто. f (x0+)=lim (x®x0,x>x0)f (x)=f (x0), то ф-ция f (x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии ум. f (x0-)=lim (x®x0, xf (0)=0 і очевидно f (0+) $ і одно 0 => що це ф-ция непр. у своїй обл. опр-ния. Більшість ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Наприклад непр. ф-ции означає, що з малому зміні капіталу замало змінюватися й випуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции які явл. непр. наз-ют розривними соотв. т-ки у яких ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва Классификация т-ки разрыва Непр. ф-ции на пр-ке Теорема ВЕЙЕРШТРАССА.

15. Класифікація т-ки разрыва Все т-ки р-рыва діляться на 3 виду: т. переборного р-рыва; точки р-рыва 1-го, і другого рода.

а) тоді як т-ке х0 $ обидва односторонніх краю, які збігаються між собою f (x0+)= f (x0-), але ¹ f (x0), така т-ка наз-ся точкою переборного р-рыва.

Если х0 т-ка переборного р-рыва, можна перерозподілити ф-цию f те щоб вона почала непр. в т-ке х0. Якщо з ф-ции f побудувати нову ф-цию поклавши нею знач. f (x0)= f (x0-)=f (x0+) і зберегти знач. в ін. т-ках, одержимо исправл. f.

б) тоді як т-ке х0 $ обидва 1-стороних краю f (x0±), які рівні між собою f (x0+)¹f (x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва першого рода.

в) тоді як т-ке х0 хоча б 1 з односторонніх меж ф-ции не $ чи нескінченний, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

При исслед. Ф-ции на непр. класифікації можливих т-к р-рыва слід застосовувати до уваги сл. замечания:

1) Усі елементарні ф-ции непрер. у внутрішніх т-ках своїх областей визначення => при исл. елементарних ф-ций потрібно звертати увагу до граніч. т-ки обл-ти опр-ния.

2) Якщо ф-ция задана кусочно, тобто. різними співвідношеннями на частинах своєї обл. опр., то підозрілими на розрив явл. граничні т-ки частин обл-ти опр.

3) Св-ва непр. ф-ций. Багато св-ва непр. ф-ций легко зрозуміти спираючись з їхньої геометр. св-ва:

график непр. ф-ции на пр-ке D представляє сплошную (без р-рывов) криву на пл-тях і след-но може відображена без відриву ручки від бумаги.

I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обов’язково обмежена в околицях цієї т-ки.(св-во локал. огранич-ти) Док-во використовує опр-ние мовою e і d. Якщо f непр. в т-ке х0 то узявши будь-яке e>0 можна знайти d>0 ½f (x)-f (x0)½ f непр. на [a, b] і f (x)*f (b)=0 (f (x)*f (b)>0 в окр-ти х0) => $ сÎ(a, b). f (c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на відрізку обоснованны.

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на відрізку). Якщо f (x) непр. на [a, b], тоді f (x) огран. у цьому відрізку, тобто. $ с>0:½f (x)½£c «xÎ(a, b).

Т-ма 2(про $ экстр. непр. ф-ции на отр.). Якщо f (x) непр. на [a, b], тоді вона сягає свого экстр. у цьому відрізку, тобто. $ т-ка max X*:f (x*)³f (x) «xÎ[a, b], т-ка min X_:f (x_)£f (x) «xÎ[a, b].

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Ці теремы неправильні якщо замкнуті відтинки замінити на ін. пр-ки Контрпример 1. f (x)=½ на (0;1] ® f — неогр. на (0;1] хоч і непрерывны.

Контрпример 2. f (x)=x; на (0;1) f (x) — непр. inf (xÎ(0;1))x=0, але т-ки x_Î(0;1):f (x_)=0, т-ки x*, хоча sup (xÎ(0;1))x=1.

Док-во т-мы 1. Використовуємо метод розподілу відрізка навпіл. Починаємо від протилежного; f неогр. на [a, b], розділимо його, тобто. тоді відтинки [a;c][c;b] f (x) неогр.

Обозн. [a1,b1] і педелим відріз. [a2,b2], де f-неогр. Продовжуючи процедуру розподілу неогр. отримуємо послід. влож. відтинки [an;bn] котор. оттяг. до т-ке d (d=c з надбудовою) з відрізка [a, b], загальне для всіх отр. Тоді з одного боку f (x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. відрізка [an, bn], але з ін. боку f непр. на [a, b] і => в т-ке d і з св-ву вона непр. у певній околиці d. Воно огран. в d => отримуємо проти. Бо у будь-який окр-ти т-ки d нах-ся все відтинки [an;bn] з досить великим 0.

Док-во т-мы 2. Означимо E (f) — множиством значень ф-ии f (x) на отр. [a, b] по предыд. т-ме це мн-во огран. і сл-но має кінцеві точні межі supE (f)=supf (x)=(при хÎ[a, b])=M (-¥). Для опр. доведемо [a, b] f (x) сягає макр. на [a, b], тобто. $ х*:f (x)=M. Припустимо гидке, такий т-ки не $ і сл-но f (x)0.

!0 1£c (M-f (x)) => f (x) £M-1/c «xÎ[a, b].

Однако це нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a, b] а правій частині стоїть «C».

Следствие: якщо f (x) непр. [a, b]тогда вона приймає все знач. заключ. Між її max і min, тобто. E (f)=[m;M], де m і M -max і min f на отрезке.

Дифференцирование ф-ций Пр-ные і диференціали выс. Порядков.

Теорема Ферма Теорему Ролля Теорему Логранджа Теорему Коші Правило Лопиталя.

16. Диференціювання ф-ций Центральная ідея диффер. ф-ций явл-ся вивчення гладких ф-ций (без зламів і р-рывов криві) з допомогою поняття пр-ной чи з допомогою лінійних ф-ций y=kx+b має найпростішими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 те в возр. попри всі x, k в т-ке х0 ф-ция непр. Тому залишилося док-ть рав-во (3). Якщо пр-ная $ те з визначення (2) та зв’язку краю з б/м =>, що $ б/м ф-ция a (Dх) така що Df (x0)/Dx=f‘(x0)+a (Dx) звідси рав-во (3) пол-ся множенням на Dx.

Примеры.

1)Пр-ная стала і ф-ция дорівнює 0, тобто. y=c=const «x, тоді y‘=0 для «x. І тут Dy/Dx чисельник завжди дорівнює порожньому мн-ву, сл-но це ставлення одно 0, => отже его отн-ние = 0.

2)Пр-ная статечної ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) «kÎN. Док-м для к=0 з опр-ния пр-ной. Візьмемо «т-ку x і дамо прирощення Dх складемо разностное ставлення Dу/Dх=(х+Dх)^2-x²/Dx=2х+ Dх => lim (Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. У дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для будь-яких к.

3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. У цьому разі Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x (e^Dx-1)/ Dx. Одеако межа дробового сомножителя = 1.

4)y=f (x)=½×½=(x, x>0;-x, x0 y‘=-1 при x0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim (Dx®0,Dx>0)Dy/Dx=1 А лівий межа разн-го отн-ния буде -1. Т.к. бічний. перед. Не збігаються пр-ная не $. У разі $ бокова. пр-ная.

Опр. Правой (левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim відносини (2) при ум. що Dх®0+(Dх®0-).

Из зв’язку випливає утвержд., якщо f (x) дифференц. в т-ке х0, що його бокова. пр-ная також $ і збігається f‘(x0-) і f‘(x0+) назад для $ пр-ной f‘(x0) необхідно, щоб прав. і лев. пр-ные совпад. між собою. І тут де вони совпад.

17. Пр-ные і диференціали выс. Порядков.

Пр-ная f‘(x) — першого порядку; f‘‘(x) — другого; f‘‘‘(x)-третьего; fn (x)=(f (n-1)(x))‘. Пр-ные починаючи з другий наз-ся пр-ными выс. порядка.

Дифференциал выс. порядков.

dy= f‘(x)dx — диф. першого порядку ф-ции f (x) і позначається d^2y, тобто. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d (d^(n-1)y) від диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядку ф-ции f (x) і обознач. d^ny.

Теорема Ферма. Нехай ф-ция f (x) визначено на інтервалі (a, b) й у деякою т-ке х0 цього інтервалу має найбільше чи найменше знач. Тоді тоді як т-ке х0 $ пр-ная, вона = 0, f‘(x0)=0.

2)Теорема Ролля. Нехай на відрізку [a, b] визначено ф-ция f (x) причому: f (x) безупинна на [a, b]; f (x) диф. на (a, b); f (a)=f (b). Тоді $ т-ка сÎ(a, b), у якій f‘(c)=0.

3)Теорема Логранджа. Нехай на відрізку [a, b] визначено f (x), причому: f (x) непр. на [a, b]; f (x) диф. на [a, b]. Тоді $ т-ка cÎ(a, b) така, що справедлива ф-ла (f (b)-f (a))/b-a= f‘©.

4)Теорема Коші. Нехай ф-ции f (x) і g (x) непр. на [a, b] і диф. на (a, b). Нехай крім того, g`(x)¹0. Тоді $ т-ка сÎ(a, b) така, що справедл. ф-ла (f (b)-f (a))/(g (b)-g (a))=f‘(c)/g‘©.

Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Якщо lim (x®a)f (x)= lim (x®a)g (x), то lim (x®a)f (x)/g (x)= lim (x®a)f‘(x)/g‘(x), коли межа $ кінцевий чи бесконечный.

Раскрытие ¥/¥. Друге правило.

Если lim (x®a)f (x)= lim (x®a)g (x)=¥, то lim (x®a)f (x)/g (x)= lim (x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила вірні тоді, коли x®¥, x®-¥, x®+¥, x®a-, x®a+.

Неопред-ти виду 0¥, ¥-¥, 0⁰, 1^¥, ¥^0.

Неопр. 0¥, ¥-¥ зводяться до 0/0 і ¥/¥ шляхом алгебраїчних перетворень. А неопр. 0⁰, 1^¥, ¥^0 з допомогою тотожності f (x)^g (x)=e^g (x)lnf (x) зводяться до неопр виду 0.

Выпуклые і увігнуті ф-ции Т-ки перегиба Выпуклость і вогнутость.

Б/б пол-ти Гладкая ф-ция Эластичность ф-ций Выпуклые і увігнуті ф-ции Для хар-ки швидкості возр. чи убувши. ф-ции, і навіть крутезны гр-ка ф-ции дільниці монотонності вводиться поняття вогн. вып-ти ф-ции на інтервалі, частковості на всієї числ. приямой.

Пр-р. Нехай ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией деякою фірми, напр. обсяг вып-ка продукції, а арг. х-числ. раб. сили. Хар-ный графік цієї ф-ции має сл. вид у f (x) возр. для x>0. На інт. Від (0,a) ф-ция возр. дедалі швидше. Його можна р-ривать, як етап освіти фірми спочатку якого випуск зростає повільно, оскільки перші робочі не пройшли період адаптації, але з теч. часу ефект привл. доп. раб. робочих стає дедалі більше, і соотв. ув-ся крутість графіка. На (¥, a) ф-ция возр. все медл. і грн. стає дедалі пологою. а — це граничне знач. числ. раб. сили починаючи від якого привл. доп. раб. сили починаючи від якого привл. раб. сил додає все менший ефект в объемке вып-ка. А (х) возр. f‘(x)>0 $x³0, але інтервалі від 0 до, а (0;а) f‘(x) возр. у те час як (0;¥) f‘ убувши., а т-ке а-max. За критерієм монотонності це на (0;а) f‘‘(x)³0 (f-выпукла), але в (a;¥) f‘‘(x)£0 (f-вогнута).

Опр. Нехай f (x) двічі диф. ф-ция на (a, b), тогда:

1)назовем ф-цию f (x) выпуклой (вогн) на інтервалі (a, b), якщо 2-га пр-ная не отриц, тобто. f‘‘(x)³0 (f‘‘(x)£0) на (a, b).

2)Если у пункті 1 вып-ся суворі нер-ва 2-ї пр-ной, то ф-ция наз-ся суворо выпуклой (вогнутой) на інтервалі (a, b).

Т-ки перегиба Опр. Т-ки разд. інтервали суворої опуклості і суворої увігнутості наз-ся т-ми перегину т. х0 є т-ка перегини, якщо f‘‘(x0)=0 і 2-га пр-ная змінює знак під час переходу через х0=> у будь-якій т-ке перегину f‘(x) має локальний экстремум.

Геометр. т-ка перегину хар-ся тим, що проведена касат. у цій т-ке має т-ки графіка різних стороны.

Выпуклость і вогнутость.

Опр. Ф-ция явл. опуклої (увігнутим) на (a, b) якщо кассат. до граф-ку ф-ции у будь-якій т-ке інтервалу, лежить нижче (вище) грн. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f (x0)+f‘(x0)(x-x0) — лінійна ф-ция x, який перевершує f (x) не менше f (x) у разі увігнутості нерівності хар-щие опуклість (увігнутість) через диф. f (x)³f (x0)+ f‘(x0)(x-x0) «x, x0Î(a;b) f увігнута на (а, b). Хорда вище (нижче), ніж графік для вип. ф-ций (вогн.) лінійна ф-ция kx+b, зокрема постійна, явл. вип. і вогнутой.

Б/б пол-ти Посл-ть {xn} наз-ся б/б, для «пол-ного числа, А $ номер N такий, що з n>N вып-ся нер-во ½xn½>A.

Возьмем будь-яке число А>0. З нерівності ½xn½=1/2n½>A отримуємо n>A. Якщо взяти N³А, то «n>N вып-ся ½xn½>A, тобто. посл-ть {xn} б/б.

Замечание. Будь-яка б/б посл-ть явл. необмеженої. Проте неогранич. Посл-ть може і бути б/б. Наприклад 1,2,1,3,1,…, 1, n… не явл. б/б оскільки за А>0 нер-во ½xn½>A немає місця «xn з непара. номерами.

Гладкая ф-ция Сл. ф-ция f (x) теж явл. гладкою, тобто. f‘ $ і безупинна причому має місце сл. ф-ла F‘(x)=f‘(j (x))*j‘(x) (4). Використовуючи ф-лу (4) отримуємо y‘=(lnf (a))‘=f‘(x)/f (x) (5) — логарифмічною пр-ной. Права частина це швидкість зміни у (ф-ция f (x)) доводиться на ед-цу абсол. значення цього пок-ля тому логарифм. Произв. наз-ют темпом приросту показника y чи f (x). Нехай відома що зміни ціни на всі деякому інтервалі, причому P (t) гладка ф-ция. Що назвати темпом зростання цієї ф-ции, при t=R. Темп роста¹приросту.

Пр-р y=e^ax. Знайдемо темп приросту. f‘/f=темп прироста=ae^ax/e^ax=a. Экспонициальная ф-ция має постійний темп прироста.

Эластичность ф-ций Опр. Нехай гладка ф-ция y=f (x) описує зміна економічної перемінної у від ек. перекл. x. Припустимо f (x)>0 => можна буде лот. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f (x) або в наз-ся сл-щая вел-на опред-мая з допомогою лот. пр-ной.

Ef (x)=x*f‘(x)/f (x)=x (lnf (x))‘ (6). З’ясуємо де ек. зміст цього показника при цьому замінимо в (6) пр-ную її разностным ставленням Df (x0)/Dx і матимемо Ef (x)"x (Df (x)/Dx)/f (x)=(Df (x)/f (x))/(Dx/x). У чисельнику стоїть відносить. Приріст ф-ции f в т-ке x, в знаменнику относ. прир. аргументу. => эл-ность ф-ции показує наскільки % змінюється пок-ль y=f (x) за зміни перем. x на 1%. Еластичність — пок-ль реакції 1-ї перемінної зміну другой.

Пр-р. р-рим ф-цию попиту від ціни, нехай D=f (p)=-aP+b — лінійна ф-ция попиту, де а>0. Знайдемо еластичність попиту за ціною. Ed (P)=P*D‘/D=P*(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность лінійної ф-ции не постоянна Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций Т-ма Ферма Т-ма Коши Интервалы монотонності ф-ции Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коші Правило Лопиталя.

Производная зворотної ф-ции Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций Все застосування базуються на опред-нии пр-ной, як краю разностного відносини, і навіть на сл-щей т-ме.

Т-ма Ферма. Якщо диф. на інтервалі (a, b) f (x) має у т-ке ч0 локальний екстремум, то пр-ная цієї ф-ции звертається до 0, тобто. f‘(x0)=0 (8). Це необхідне ум. локал. экстр., але недостаточное.

Опр. Усі т-ки у яких пр-ная ф-ции f (x) звертається до 0 наз-ся крит. т-ми f (x). З т-мы Ферма => екстремум слід шукати лише крізь крит. т-ки.

Т-ма Коші. Нехай ф-ции f (x) і g (x) безупинні на [a, b] і диф. на (a, b). Нехай крім того, g‘(x)¹0, тоді $ т-ка cÎ(a, b) така, що справедлива ф-ла (f (b)-f (a))/(g (b)-g (a))=f‘(c)/g‘©.

Интервалы монотонності ф-ции Т-ма. Нехай f (x) диффер. На інтервалі (a, b), тоді справедливі сл. затвердження f (x) монотонно возр. (убуває) на інтервалі (a, b) тоді, коли f‘(x)³0 на інтервалі (a, b) і f‘(x)>0 (f‘(x) x=a x+Dx=b+> тоді ф-ла (7)=(f (b)-f (a))/(b-a)=f‘© (7‘) — ф-ла кінцевих збільшень Логранджа.

(f (b)-f (a))/(b-a)=f‘© (1).

Док-во зводиться до відома до т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g (x)=f (x)-f (a)-(f (b)-f (a))/(b-a) * (x-a).

Пусть ф-ция g (x) удовл. всім ум. т-мы Ролля на [a, b].

А)Непрерывна на [a, b].

Б) Дифференц. на (a, b).

В) g (a)=g (b)=0.

Все ум. Ролля дотримані, тому $ т-ка З на (a, b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f (b)-f (a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой кінцевих приращений.

Т-ма Ролля. Нехай ф-ция f (x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a, b].

Б) Дифференц. на (a, b).

В) приймає на коцах відрізків рівні значення f (a)=f (b), тоді на (a, b) $ т-ка така що f‘(c)=0, тобто. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим спочатку, тривіальний випадок, f (x) стала на [a, b] (f (a)=f (b)), тоді f‘(x)=0 $ x Î (a, b), будь-яку т-ку можна взяти в кач-ве з. Нехай f¹ const на [a, b], т.к. вона непрер. у цьому відрізку, то т-ме Вейерштрасса вона сягає свого екстрем. у цьому відрізку і max і min. Оскільки f приймає рівні знач. в граніч. т-ках, так хоча б 1- экстр. — max чи min обов’язково досягається у внутр. т-ке. сÎ(a, b) (інакше f=const), то т-ме Ферма, тоді f‘(c)=0, що потрібно було д-ть.

Т-ма Тейлора. «Про наближенні гладкою ф-ци до полиномам».

Опр. Нехай ф-ция f (x) має у т-ке чи деякою їх околиці пр-ные порядку n+1. Нехай x — будь-яке значення аргументу з зазначеної околиці, х¹а. Тоді між т-ми чи x надутся т-ка e така, що справедлива ф-ла Тейлора. f (x)=f (a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)(e)/(n+1)!(x-a)^(n+1).

Док-во. Зводиться до Роллю шляхом введення вспом. перемінної g (x).

g (x)=f (x)-f (a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!*f^n (x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка з з (a, b), така що g (c)=0 l=f^(n+1)©.

Правило Лопиталя.

Пусть ф-ция f (x) і g (x) має у дкр. т-ки х0 пр-ные f‘ і g‘ окрім можливості самі цю т-ку х0. Нехай lim (х®Dх)=lim (x®Dx)g (x)=0 отже f (x)/g (x) при x®x0 дає 0/0. lim (x®x0)f‘(x)/g‘(x) $ (4), що він збігаються з межею відносини ф-ции lim (x®x0)f (x)/g (x)= lim (x®x0)f‘(x)/g‘(x) (5).

Док-во.

Возьмем «т-ку х>х0 і розглянемо на [x0;x] вспом ф-цию арг. t.

h (t)=f (t)-Ag (t), якщо tÎ[x0;x], т.к. удовл. цьому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку x ми вважаємо досить близька до х0. Ф-ция h безупинна на [x0;x], оскільки lim (t®x0)h (t)=lim (t®x0)[f (t)-Ag (t)]=lim (t®x0)-A lim (t®x0)g (t)=0=h (0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0,x)$ c: h‘‘(c)=0.

Производная зворотної ф-ции Т-ма. Для диф. ф-ции з пр-ной, не рівної нулю, пр-ная зворотної ф-ции дорівнює зворотної зворотної величині пр-ной даної ф-ции.

Док-во. Нехай ф-ция y=f (x) диф. і y‘x=f‘(x)¹0.

Пусть Dу¹0 — прирощення незалежної перемінної у і Dх — відповідне прирощення зворотної ф-ции x=j (y). Напишемо тотожність: Dx/Dy=1:Dy/Dx (2) Переходячи до межі в рав-ве (2) при Dу®0 та враховуючи, що заодно також Dх®0, одержимо: lim (Dy®0)Dx/Dy=1:lim (Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Де х‘у — пр-ная зворотної ф-ции.

Производная зворотної ф-ции Т-ма. Для диф. ф-ции з пр-ной, не рівної нулю, пр-ная зворотної ф-ции дорівнює зворотної зворотної величині пр-ной даної ф-ции.

Док-во. Нехай ф-ция y=f (x) диф. і y‘x=f‘(x)¹0.

Пусть Dу¹0 — прирощення незалежної перемінної у і Dх — відповідне прирощення зворотної ф-ции x=j (y). Напишемо тотожність: Dx/Dy=1:Dy/Dx (2) Переходячи до межі в рав-ве (2) при Dу®0 та враховуючи, що заодно також Dх®0, одержимо: lim (Dy®0)Dx/Dy=1:lim (Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Де х‘у — пр-ная зворотної ф-ции.

Теорема Больцано-Вейерштрасса Теорема Больцано-Коши Теорема Вейерштрасса Теорема Больцано-Вейерштрасса Із будь-якої огран. посл-ти можна вибрати сход. подпосл-ть.

Док-во.

1. Оскільки посл-ть обмежена, то $ m і M, таке що «m£xn£M, «n.

D1=[m, M] - відрізок, у якому лежать все т-ки посл-ти. Розділимо його навпіл. По крайнього заходу на одній із половинок буде нах-ся безліч т-к посл-ти.

D2 — та половина, де лежить безліч т-к посл-ти. Ділимо його навпіл. По краней мері на одній із половинок отр. D2 нах-ся безліч т-к посл-ти. Ця половина — D3. Ділимо відрізок D3 … тощо. отримуємо посл-ть вкладених відрізків, довгі яких прагнуть 0. Согластно про т-ме про вкладених відтинках, $ єдностей. т-ка З, кіт. принадл. всім відрізкам D1, якусь т-ку Dn1. У відрізку D2 вибираю т-ку xn2, те щоб n2>n1. У відрізку D3 … тощо. У результаті пол-ем посл-ть xnkÎDk.

Теорема Больцано-Коши Нехай ф-ция непр-на на відрізку [a, b] і кінцях відрізка приймає зн-ния рівних знаків, тоді $ т-ка з Ì (a, b) у якій ф-ция звертається до 0.

Док-во Пусть Х — мн-во таких т-к x з відрізка [a, b], де f (x).