Економіко-математичне моделювання

Міністерство освіти й науки України Харківський національний економічний університет Кафедра математики

Індивідуальне навчально-дослідницьке завдання з дисципліни «Економіко-математичне моделювання»

Перевірила:

викладач кафедри Норік Л. А.

Виконала:

студентка ІІ курсу 1 групи факультету МЕВ

Ільченко В.В.

Харків, 2009

ЗАВДАННЯ № 1

Специфікація економетричної моделі парної регресії

Завдання:

Побудувати лінійну, степеневу та показникову економетричні моделі за даними, що наведені в таблиці. Оцінити параметри моделі. Зробити економічні висновки.

1) Побудова лінійної моделі парної регресії

Припустимо, що зв’язок — лінійний.

Рівняння лінійної регресії має вид: y_x=a₀+a₁*x

Побудова рівняння лінійної регресії зводиться до оцінки її параметрів, для якого використовують метод найменших квадратів або користуються вбудованою функцією середовища MS Excel ЛИНЕЙН ().

Для цього необхідно:

1. На робочому аркуші сформувати таблицю, що містить вихідні дані.

Рис. 1 Вихідні дані

2. Виділяється блок (5 стрічок Х 2 стовпчики) з метою визначення результатів регресійної статистики.

3. За допомогою режиму Вставка викликається функція ЛИНЕЙН (), щаповнюються аргументи та натискається комбінація клавіш ++.

В результаті цих дій виводиться регресійна статистика відповідно до схеми.

Табл. 1

Схема регресійної статистики функції ЛИНЕЙН ()

Отримуємо наступні данні

Рис. 2 Поточні результати Таким чином теоретичне рівняння лінійної регресії має вигляд:

y=-890,82 + 4,61*х

Оскільки а₁>0, то регресія невід'ємна, тобто збільшення значення х веде до збільшення значення у.

Коефіцієнт регресії (а₁) свідчить, що при збільшенні ціни на 1 одиницю попит збільшиться на 4, 61 одиниць.

Коефіцієнт детермінації R² = 0, 14, тобто варіація результату у на 14% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 86%.

Отримані результати моделювання лінійного зв’язку можна встановити, використовуючи графічне зображення.

Рис. 3 Графічне зображення

Для визначення якості обраної моделі доцільно розрахувати середню помилку апроксимації:

Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 17,20%, що вказую на невисоку якість моделі.

Рис. 4 Допоміжні розрахунки для обчислення середньої помилки апроксимації.

Щоб визначити на скільки відсотків в середньому за сукупністю зміниться результативна ознака від свого середнього значення за умовою зміни пояснюваного фактора на 1% від свого середнього значення обчислюється середній коефіцієнт еластичності:

Отже, при збільшенні ціни на товари на 1%, попит на нього збільшується на 15,34%

Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення F_табл відповідного рівня значимості, та фактичне F_факт:

F_факт=1,587

При ?=0,05, k₁=m=1, k₂=n-m-1=10

F_табл=4,96

Оскільки F_{факттабл}, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.

2) Побудова показникової моделі

Припустимо, що модель задачі показника, тоді - .

Для побудови моделі виконаємо лінеаризацію, за допомогою логарифмування.

Прологарифмуємо рівняння, щоб привести його до лінійного виду:, звідки маємо: , де, , Отже здійснено перетворення показникової моделі ло лінійної, параметри якої мозна обчислити за допомогою функції ЛИНЕЙН ().

Рис. 5 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння показникової моделі

Отже, маємо А₁=0,071, А₀=-10,63. Теоретичне рівняння регресії: Y=-10,63 +0,071x

Виконаємо потенціювання рівняння та запишемо його у вигляді показникової функції: = 0.241,074^x

Коефіцієнт детермінації R² = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, на долю не врахованих факторів залишається 88%.

Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації:

Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,978%, що вказую на високу якість моделі.

Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення F_табл відповідного рівня значимості, та фактичне F_факт:

F_факт=1,379

При ?=0,05, k₁=m=1, k₂=n-m-1=10

F_табл=4,96

Оскільки F_факттабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.

3) Побудова степеневої моделі

Припустимо, що модель даної задачі - степенева: . Перетворимо до лінійного вигляду за допомогою логарифмування:

. Отже, де , , ,. Виконані обчислення на рис.6

Рис. 6 Допоміжні розрахунки параметрів рівняння степеневої моделі

Отже А₁= 14,73, А₀=-74,43.

Теоретичне рівняння регресії: Y=-74,43+14,73х. Виконаємо потенціювання отриманого рівняння, та запишемо його у вигляді степеневої функції:

Коефіцієнт детермінації R² = 0,12, тобто варіація результату у на 12% пояснюється варіацією фактора х, тобто ціни, на долю не врахованих факторів залишається 88%.

Для визначення якості показникової моделі обчислюїмо середню помилку апроксимації:

Тобто в середньому розрахункові значення відхиляються від фактичних на 3,98%, що вказую на високу якість моделі.

Оцінку значимості рівняння регресії проводимо за допомогою критерія Фішера, для цього порівнюються табличне значення F_табл відповідного рівня значимості, та фактичне F_факт:

F_факт=1,37

При ?=0,05, k₁=m=1, k₂=n-m-1=10

F_табл=4,96

Оскільки F_факттабл, то рівняння регресії з ймовірністю 95% визначається в цілому як статистично не значиме.

Висновок: за величиною середньої помилки апроксимації серед рівнянь моделей більш якісним визначається показникова регресія.

ЗАВДАННЯ № 2

Визначення параметрів класичної економетричної моделі множинної регресії

Завдання:

Побудувати економетричну модель в стандартизованих змінних та натуральних змінних. Обчислити основні множинні характеристики, зробити висновки. Оцінити значущість рівняння регресії за допомогою F-критерію Фішера.

Вихідні данні.

Для побудови рівняння множинної регресії поширеною є лінійна функція: y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n+e

На робочому аркуші формуємо таблицю, що містить вихідні данні. Зведену таблицю основних статистичних характеристик отримуємо за допомогою інструменти аналізу даних Описательная статистика.

Рис. 7 Результат використання інструмента Описательная статистика Для побудови рівняння лінійної множинної регресії обчислюємо параметри, за допомогою функції ЛИНЕЙН ()

Рис. 8 Результат виконання функції ЛИНЕЙН ()

Таким чином, теоретичне рівняння лінійної множинної регресії в натуральних змінних являє собою: у = 223,59 - 0,70х₁ — 2,86х₂. Для побудови стандартизованих змінних знайдемо значення ?_і за формулою ?_і = b_i?_xi/?_y.

?₁=-0,70*23,93/23,92=-0,70

?₂=-2,86*8,54/23,92=-1,02

Отже, модель стандартизованих змінних має вигляд t_y=-0,70_x1-1,02_x2. Завдяки тому, що | ?₁|<| ?₂|, можна стверджувати що витрати, пов’язані з модернізацією встаткування й удосконаленням техніки та технології виробництва, найбільш сильно впливають на фондоємність.

Коефіцієнт детермінації R²=0,30, тобто варіація результата на 30% пояснюється варіацією обраних факторів, на долю неврахованих факторів залишається 70%. Знайдемо часткові коефіцієнти еластичності за формулою Э_х1=Ь_і*(х_і/у).

Э_х1= -0,70* 78/77,95 =-0,70

Э_х2= -2,86*31,77/77,95=-1,17

Таким чином можна зробити висновок, що зі збільшенням середніх витрат виробництва, пов’язаних з усуненням всіх видів простою на 1% середнє значення фондоємності зменшиться на 0,70%, та зі збільшенням середньої величини витрат виробництва, пов’язаних з модернізацією встаткування й удосконаленням техніки й технології виробництва на 1% середнє значення фондоємності зменшиться на 1,17%.

Оцінимо значимість рівняння регресії за допомогою F-критерію Фішера. Розраховане значення загального F-критерія Фішера F= 3,65 порівнюємо з критичним значенням, яке приведено в таблиці відсоткових значень F-розподілу. Визначимо табличні значення F-критерія Фішера з параметрами К₁=m=2 та K₂=n-m-1=17 при рівній значимості а=0,05; F (а=0,05)табл=3,59. Оскільки розрахунковий F-критерій Фішера перевищує табличне значення, то можна із упевненістю 95% стверджувати, що рівняння регресії значиме.

Отримані результати можна сформулювати на основі застосування інструмента аналізу даних «Регрессия»

Рис. 9 Результат використання інструменту Регрессия