Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку (реферат)
Приклад 4. Функції y 1 = e x, y 2 = e — x — лінійно незалежні, так як співвідношення 1 e x + 2 e — x = 0, де 1, 2 не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з y 1 (x) y 2 (x) = e 2 x /= const. Особливих розв’язків диференціальне рівняння (1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при y (n) стоїть P 0 (x), то точки, в яких P 0 (x… Читати ще >
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду.
(1).
де Pi (x), i = 1,2,…, n, f (x) — задані функції, неперервні на (a, b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок.
y=y (x), який задовільняє початковим умовам .
Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a, b).
Особливих розв’язків диференціальне рівняння (1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими.
Якщо f (x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним.
(2).
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
(3).
Властивості оператора L :
a)L (xy)=k *L (y), k = const;
b)L ()=L () + L ();
c)L .
Використовуючи оператор L диференціального рівняння (1) і (2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x) , L (y) = 0 .
Означення 1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (2).
L (y (x)) 0).
Лінійне диференціальне рівняння (1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної .
Лінійне диференціальне рівняння (1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції . (4).
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку.
Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння (5).
Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.
Означення 2 Функцію z (x) = w (x) + iv (x), де w (x), v (x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w (x) — дійсна частина, v (x) — уявна частина).
Приклад 1. Показати справедливість формул , . (6).
Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.
Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює . (7).
Приведемо формули для обчислення похідної :
а) — (8).
Дійсно .
б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула.
— (9).
в) Використовуючи (9) можна показати , (10).
де — поліноми степеня n ;
г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула.
. (11).
Формула (11) доводиться шляхом представлення і використання формули (8).
Означення 3. Комплексна функція y (x) = (x) + i (x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5) — якщо.
L (y (x)) 0, a < x < b .
Комплексний розв’язок (12) утворює два дійсних розв’язки (x), (x).
Дійсно L (y (x)) = L ( (x) + i (x)) = L ( (x)) + iL ( (x)) = 0 .
Звідки L ( (x)) = 0, L ( (x)) = 0.
Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5).
а) Якщо (x) — розв’язок, тобто L () .
L (с ) = сL () = 0.
б) Якщо (x), (x) — розв’язки диференціального рівняння (5), то.
у= (x)+ (x) теж розв’язок. Дійсно L ( + ) = L ()+L () = 0.
в) Якщо (x), (x), …, ) — розв’язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком.
L = 0.
Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.
,
=cos (x), =sin (x) — розв’язки, тоді y = c cos (x)+c sin (x) — розв’язок .
.3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння n — го порядку.
Означення 4. Функції (x), (x), …,
називаються лінійно незалежними на (a, b), якщо між не існує співвідношення виду.
.(x) +
(x) + … +.
.де , …, — постійні числа не рівні нулю одночасно. В противному випадку функції (x), (x), …,
називають лінійно залежними на (a, b).
.Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a, b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a, b).
Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a, b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.
Приклад 3. Функції =1, =x, …,
— лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a, b) . Дійсно співвідношення.
.+ x + … + x =0, в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x, так як рівняння (n-1) — го степеня має не більше (n-1) — го коренів.
Приклад 4. Функції , — лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з = .
Приклад 5. Функції =sin x, =cos x, =1 — лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення.
sin x + cos x — 1 = 0 .
Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n — функцій .
Теорема.1. Якщо функції (x), (x), …,
— лінійно залежні на (a, b), то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a, b). Тут.
.W (x) = (14).
Доведення. Згідно умови теореми.
(x) +
(x) + … +.
.(15).
Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14).
W (x) = (16).
Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже.
W (x) 0, a < x < b. Теорема доведена.
Нехай кожна з функцій (x), (x), …,
— розв'язок диференціального рівняння (5). Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих.
.розв’язків даються теоремою 1. і слідуючою теоремою .
Теорема 2. Якщо функції (x), (x), …,
— суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a, b), то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a, b) .
.Доведення. Припустимо протилежне, що в точці
(a, b) . Складемо систему рівнянь.
.(17).
Так як визначник системи (17) , то вона має ненульовий розв’язок.
. Розглянемо функцію y = , (18).
яка являється розв’язком диференціального рівняння (5).
Система (17) показує, що в точці розв’язок (18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) -го порядку. В силу теореми існування і єдиності це значить, що має місце тотожність y (x) = , a < x < b, де не всі дорівнюють нулю. Останнє означає, що розв’язки (x), (x), …,
— лінійно залежні на (a, b). Це протиріччя і доводить теорему.
.З теорем 1 і 2 випливає: для того, щоб n розв’язків диференціального рівняння (5) були лінійно незалежними на (a, b) необхідно і достатньо, щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.
Виявляється, для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5) достатньо переконатися, що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a, b). Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5):
а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці
(a, b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними, то на (a, b).
.Дійсно, якщо , то по теоремі 2. функції (x), (x), …,
— лінійно залежні на (a, b). Тоді, по теоремі 1. на (a, b);
.б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5) відмінний від нуля в одній точці
(a, b), то на (a, b) .
.Дійсно, якби W (x) дорівнював в одній точці з (a, b) нулю, то згідно а) на (a, b), в тому числі і в точці
(a, b), що протирічить умові.
.Звідси випливає, якщо n розв’язків диференціального рівняння (5) лінійно незалежні на (a, b), то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому
(a, b) .
.4. Формула Остроградського — Ліувілля.
Ця формула має вигляд (19).
Доведення. Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну.
+ + .
Перших (n-1)-визначників рівні нулю, так як всі вони мають по дві однакових стрічки. Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі n стрічок. В силу диференціального рівняння (5) маємо = ,.
Звідки маємо формулу (5.19) .
5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.
Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a, b) називається фундаментальною системою розв’язків .
З попереднього випливає, для того, щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо, щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5). Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .
Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a, b), то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.
Доведення. Візьмемо точку
(a, b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара, розв’язки :
.з початковими умовами ;
.
… ——————- // ———————- … … … …
——————- // ———————- .
.Очевидно, що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .
Теорема доведена .
З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.
Побудована система розв’язків називається нормованою в точці .
Для будь-якого диференціального рівняння (5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків, нормована по моменту .
6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.
Теорема 4. Якщо (x), (x), …,
— фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5), то формула.
.y = , (20) де , , …, — довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b,.
, , …, (21), тобто в області визначення.
диференціального рівняння (5).
Доведення. Якщо (x), (x), …,
— розв'язки диференціального рівняння (5), то лінійна комбінація (20) теж розв’язок .
.Систему (22) можна розв’язати відносно , , …, .
в області (21), так як . Згідно визначення (20) — загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5) .
Теорема доведена .
Для знаходження частинного розв’язку такого, що (23).
необхідно все підставити в (22) і визначити , i=1,2,…, n .
Тоді — частинний розв’язок, якщо фундаментальна система розв’язків — нормована в точці , то , тобто.
(24) загальний розв’язок в формі Коші .
Зауважимо, що загальний розв’язок диференціального рівняння (5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Твердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.
Дійсно, нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок. Розглянемо n перших. Якщо вони лінійно залежні, то і всі будуть лінійно залежні, так як.
, a < x < b, де всі не дорівнють нулю. Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 4. будь-який розв’язок, в тому числі і виражається через , , …, , тобто = . Так, що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .
Для побудови диференціального рівняння типу (5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), …,
які n раз неперервно диференційовані на (a, b), вронскіан яких ,.
(a, b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1).
.= 0.
і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .
Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5), то можна понизати порядок його на одиницю заміною.
, або (25).
Тоді .
і диференціального рівняння (5) запишемо у вигляді.
.
Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .
Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків, то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .