Шпаргалки з алгебри (шпаргалка)

Шпаргалки з алгебри.

1.Системи лінійних рівнянь. Сумісність, визначеність. Критерій сумісності. Системи лінійних однорідних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків. Методи Гаусса і Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

(1) відносно n невідомих .

Розв’язком системи (1) називається впорядкований набір чисел, підстановка яких замість невідомих перетворює всі рівняння системи на арифметичні тотожності. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоч би один розв’язок. Якщо не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.

Матриця $$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{.}& \text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)$$ називається основною матрицею системи (1). Числа називаються вільними членами рівнянь. Матриця.

називається розширеною матрицею системи (1).

ТЕОРЕМА1.(Кронекера-Капеллі).Для того щоб система (1)була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної матриці, тобто .

В окремому випадку, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і матриця невироджена, тобто, система мaє єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

де.

Під елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь розуміють такі операції:

1. 1)зміна нумерації невідомих системи;

2. 2)перестановка місцями рівнянь системи;

3. 3)додавання до одного рівняння іншого, помноженого надовільне число.

Дві сумісні системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо всі розв’язки першої системи є також розв’язками другої і, навпаки, всі розв’язки другої системи є розв’язками першої. Якщо обидві системи не сумісні, вони також називаються рівносильними.

ТЕОРЕМА 2. Внаслідок елементарних перетворень система рівнянь переходить у рівносильну систему рівнянь (з урахуванням зміни нумерації невідомих).

1.Системи лінійних рівнянь Нехай дано систему лінійних рівнянь (1). Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень системи.

Розглянемо перше рівняння системи. Якщо в ньому всі коефіцієнти при невідомих і вільний член дорівнюють нулю, то ми переставляємо це рівняння на останнє місце. Якщо усі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то система розв’язків немає. Тому розглянемо випадок, коли в першому рівнянні хоч би один із коефіцієнтів при невідомих не дорівнює нулю. Нехай ним буде коефіціент при (цього завжди можна досягнути, змінюючи нумерацію невідомих).

Перепишемо тепер початкову систему в такому вигляді: перше рівняння залишимо без зміни, а наступні рівняння дістанемо додаванням до них першого рівняння, помноженого на відповідний коефіцієнт так, щоб після додавання рівняння не містили. Отже, нова система рівносильна початковій, містить невідоме тільки в першому рівнянні, з решти рівнянь невідоме виключене.

Розглянемо тепер друге рівняння нової системи. Якщо в ньому усі коефіцієнти при невідомих і вільний член дорівнюють нулю, то переставляємо це рівняння на останнє місце. Якщо усі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю, то система розв’язків немає. Тому розглянемо випадок, коли в другому рівнянні нової системи є хоч би один коефіцієнт при невідомих, відмінний від нуля. Можемо вважати, що це коефіцієнт при. Перепишемо тепер нову систему в такому вигляді: перші два рівняння залишимо попередніми, в інших рівняннях виключимо, додаючи до них друге рівняння, помножене на відповідний коефіцієнт.

Продовжуючи аналогічні дії у випадку, коли система сумісна, здобудемо систему, в якій матриця коефіцієнтів при невідомих буде трапецієподібною, тобто система матиме вигляд.

. Тоді, якщо $$l=n$$, то. Підставивши $$x_n$$ в передостаннє рівняння системи, знайдемо $$x_{n-1}$$. Потім аналогічно знайдемо невідомі $$x_{n-2},x_{n-3},\text{.}\text{.},x_1$$. У цьому випадку система має єдиний розв’язок.

Якщо $$l<n$$, то з останнього рівняння виражаємо $$x_l$$ через невідомі $$x_{l+1},x_{l+2},\text{.}\text{.},x_n$$. Підставляючи цей вираз в передостан­нє рівняння, виражаємо $$x_{l-1}$$ через невідомі. Потім аналогічно виражаємо невідомі $$x_{l-2},x_{l-3},\text{.}\text{.},x_2,x_1$$. У цьому випадку система має безліч розв’язків, причому базисними невідомими є невідомі $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_l$$, вільними — невідомі.

Якщо після деякого елементарного перетворення розширеної матриці в ній з’явиться рядок, що складається з нулів, за винятком останнього елемента, то система рівнянь несумісна.

Система рівнянь (1), в якій $$b_1=b_2=\text{.}\text{.}\text{.}=b_m=0$$, називається однорідною, позначимо її (2). Нехай матриця $$A$$, складена з коефіцієнтів системи (2), має ранг $$r$$. Ранг $$r$$ матриці $$A$$ у випадку однорідної системи наз-ся рангом системи. Однорідна система завжди сумісна, оскільки набір чисел $$x_1=x_2=\text{.}\text{.}\text{.}=x_n=0$$ є її розв’язком. Розв’язок $$x_1=x_2=\text{.}\text{.}\text{.}=x_n=0$$ називається нульовим. Якщо $$n=r$$, то нульовий розв’язок буде єдиним розв’язком системи (2) — при $$r<n$$ система має розв’язки, відмінні від нульового. Нехай $$r<n$$. Тоді будь-яка сукупність з $$n-r$$ лінійно незалежних розв’язків однорідної системи (2) називається фундаментальною системою розв’язків однорідної системи.

1.Системи лінійних рівнянь.

ТЕОРЕМА 3. Загальний розв’язок однорідної системи рангу $$r$$ з $$n$$ невідомими має вигляд.

де $$c_1,c_2,\text{.}\text{.}\text{.},c_{n-r}$$ — деякі довільні сталі, a фундаментальна система розв’язків однорідної системи (2).

ТЕОРЕМА 4. Множина розв’язків лінійної однорідної системи рангу $$r$$ утворює в просторі $$L^n$$ підпростір розмірності $$n-r$$, в якому фундаментальна система розв’язків утворює базис. Фундаментальну систему розв’язків можна знайти так. Нехай — базисні, а $$x_{r+1},x_{r+2},\text{.}\text{.},x_n$$ — вільні невідомі. Виразимо базисні через вільні і запишемо систему (2) у вигляді.

або. Тоді, де.

. При цьому запису загального розв’язку числа $$x_{r+1},x_{r+2},\text{.}\text{.},x_n$$ грають роль довільних сталих, а вектори утворюють фундаментальну систему ров’язків однорідної системи (2).

2.Матриці і дії над ними. Обернена матриця. Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел.

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{.}& \text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\right)$$ (1) (або $$\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{.}& \text{.}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}$$, або $$a_{\text{ij}}\left(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},m-j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\right)$$, або $$A$$), що містить m рядків та n стовпців. Якщо m = n, то матриця називається квадратною, а число m=n, — її порядком. У загальному випадку матриця називається прямокутною (розмірів $$mxn$$). Числаелементи матриці, де i означає номер рядка, а j — номер стовпця.

Матриця, що складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем, а з одного рядка — матрицею-рядком.

Для квадратної матриці вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною називається діагональ, яку утворюють елементи, побічною — діагональ, яку утворюють елементи .

Квадратна матриця, всі елементи якої, за винятком елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною і позначається буквою $$E$$. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається буквою $$$$ .

Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри і всі їхні відповідні елементи збігаються.

Додавання матриць. Сумою двох матриць $$A$$ і $$B$$, однакових розмірів $$mxn$$, називається матриця $$C$$ тих самих розмірів, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць $$A$$ і $$B$$, тобто $$c_{\text{ij}}=a_{\text{ij}}+b_{\text{ij}}(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},m-j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$$ .

Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання матриць.

Властивості операції додавання матриць:

1. $$A+B=B+A$$ (комутативна властивість). 2. $$\left(A+B\right)+C=A+(B+C)$$ (асоціативна властивість).

Множення матриці на число. Добутком $$A=C$$ матриці $$A=a_{\text{ij}}$$ розмірів $$mxn$$ на число $$$$.

називається матриця тих самих розмірів, елементи якої здобуваються із відповідних елементів матриці $$A$$ множенням на число, тобто .

Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією множення матриці на число. Властивості множення матриці на число:

1. 1. $$(A+B)=\mathit{}+\mathit{}$$ (дистрибутивна властивість числового множника відносно суми матриць).

2. 2. $$\left(+\right)A=\mathit{}+\mathit{}$$ (дистрибутивна властивість матричного множника відносно суми).

3. 3. (асоціативна властивість).

Різниця $$A-B$$ двох матриць однакових розмірів визначається рівністю $$A-B=A+\left(-1\right)B$$.

Множення матриць. Добутком $$\text{AB}=C$$ матриці $$A$$ розмірів $$mxn$$ і матриці $$B$$ розмірів $$nxp$$ називається матриця $$C$$ розмірів $$mxp$$, елемент якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів і-го рядка матриці $$A$$ та елементів j-го стовпця матриці $$B$$, тобто.

$$c_{\text{ij}}=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ik}}{b}_{\text{kj}}(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},m-j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},p)$$ .

2.Матриці і дії над ними.

Операція знаходження добутку матриць $$A$$ і $$B$$ називається операцією множення матриць $$A$$ і $$B$$ .

Властивості операції множення матриць:

1. 1. $$\left(\text{AB}\right)C=A\left(\text{BC}\right)$$ (асоціативна властивість).

2. 2. $$A\left(B+C\right)=\text{AB}+\text{AC}$$ (дистрибутивна властивість першого множника).

3. 3. $$\left(A+B\right)C=\text{AC}+\text{BC}$$ (дистрибутивна властивість другого множника).

Якщо $$$$ $$\text{AB}=\text{BA}$$, то матриці називаються комутативними.

Транспонування. Нехай дана матриця (1). Матриця, здобута із $$A$$ заміною рядків на стовпці зі збереженням порядку їх слідування, називається транспонованою матрицею до $$A$$. Операція заміни матриці $$A$$ на $$A^T$$ називається транспонуванням матриці $$A$$. Властивості транспонування матриці:

1. 1.

2. 2. $${\left(A\right)}^T=A^T$$.

3. 3. $${\left(\text{AB}\right)}^T=B^T{A}^T$$.

4. 4. $${\left(A^T\right)}^T=A$$.

Якщо квадратна матриця $$S$$ збігається зі своєю транспонованою матрицею $$S^T$$, то така матриця називається симетричною. Якщо квадратна матриця $$K$$ відрізняється знаком від своєї транспонованої матриці $$K^T$$, тобто $$K=-K^T$$, то така матриця називається кососиметричною.

Цілим додатним степенем $$A^n$$ квадратної матриці $$A$$ є добуток $$n$$ матриць, рівних $$A$$ .

Нехай $$A$$ — квадратна матриця n-го порядку.

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці $$A$$, AC=CA=E, де Eодинична матриця n-го порядку.

Матриця, обернена до матриці $$A$$, позначається через $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{array}{cccc}{A}_{\text{11}}& A_{\text{21}}& \text{.}\text{.}\text{.}& A{}_{n1}\\ A_{\text{12}}& A_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& A_{n2}\\ \text{.}& \text{.}& \text{.}& \text{.}\\ A_{1n}& A_{2n}& \text{.}\text{.}\text{.}& A_{\text{nn}}\end{array}\right)$$, де $$A_{\text{ij}}\left(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n-j=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\right)$$ — алгебраїчне доповнення елемента $$a_{\text{ij}}$$ матриці $$A$$ .

Квадратна матриця $$A$$ порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо $$|A|/=0$$, то $$A$$ називається неособливою.

ТЕОРЕМА 1.1. Особливі матриці обернених матриць не мають. Кожна неособлива матриця має єдину обернену матрицю.

Матричний метод. Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

. Якщо $$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{2n}\\ \text{.}& \text{.}& \text{.}& \text{.}\\ a_{n1}& a_{n2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}\right)$$, $$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \\ x_n\end{array}\right)$$, $$B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \\ b_n\end{array}\right)$$, то в матричній формі система має вигляд $$\text{AX}=B$$. Якщо $$|A|/=0$$, то розв’язок системи має вигляд $$X=A^{-1}B$$ .

5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант. Дискримінант.

Многочленом від багатьох змінних над деяким полем (чи цілісним кільцем $$R$$) називається сума скінченої кількості членів із коефіцієнтами поля (кільця). Вважаємо, що многочлени не містить подібних членів і жоден з його коефіцієнтів не дорівнює нулю. Два многочлени від змінних називаються рівними, якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових членах. Степенем по відношенню до змінної називається найвищий показник з яким входить до членів многочлена. Степенем многоч називається сума показників.Степенем многоч $$f$$ називається найбільший із степенів многоч. Якщо всі члени многоч. від змінних мають однаковий степінь, то многоч. називають однорідним многоч. степеня $$S$$ .

Многоч. із називається симетричним многоч. відносно невідомих, якщо він не змінюється при довільних перестановках змінних.

— - …, елементарні симетричні многочлени.

Властивості симетричних многоч.

1. 1.Сума, різниця, добуток симетричних многоч. над полем є симетричний многоч. над полем .

2. 2.Якщо симетричний многоч. містить деякий член, то він містить і член утворений із даного довільною перестановкою показників .

Доведення випливає із означення симетричних многоч. і того, що перестановка показників рівносильна перестановці змінних.

Наслідок: Якщо вищий член симетричного многоч., то .

1. 3.Вищий член довільного симетричного многоч. можна подати як вищий член добутку елементарних симет. многоч. Якщо вищий член многоч., то він співпадає із вищим членом наступного многочлена.

Доведення: Оскільки вищий член добутку симетр. многоч. дорівнює добутку вищих членів кожного співмножника, то знайдемо вищі члени співмножників і їх добуток.

.

Вищий член:. Кінець доведення.

1. 4.Спадна послідовність ненульових симетр. многоч. є скінченною.

Результант. Поняття результанта многоч. можна застосувати для знаходження спільних коренів декількох многоч. від змінних. Нехай дано таке розширення поля в якому має всі свої корені, а многоч., має всі свої корені .

Елемент поля називається результантом многочленів .

Теорема: володіють спільними коренями в полі $$\stackrel{}{P}$$ тоді і тільки тоді, коли їх результант дорівнює нулю. Довед. випливає із безпосередньої підстановки рівних коренів.Вираз (що вище записаний) для результанта містить усі корені обох многочленів, тому є не практичний. Запишемо ще один вираз для результанта, який містить тільки коефіцієнти даних многочленів:

5. Многочлен від багатьох змінних.Симетричні многочлени. Результант. Дискримінант.

Це форма Сильвестра.

Дискримінант. Розглянемо при яких умовах многоч. $$f(x)$$ $$n-$$ го степеня з кільця $$P[x]$$ має кратні корені. Нехай має всі свої корені .Серед цих коренів рівні будуть тоді і тільки тоді, коли дорівнює нулю добуток або .Цей вираз називають дискримінантом многочлена. Обчислюють дискримінант за зручнішою формулою, через .

6. Многочлени над числовими полями. Основна теорема теорії многочленів.

Розміщення дійсних коренів многочлена.

Розглянемо многочлени.

Теорема (основна теорема теорії многочленів) Кожен многочлен, степінь якого більший за одиницю є звідним у полі комплексних чисел.

Доведення: нехай $$$$. Одна із теорем твердить, що існує хоча б один комплексний корінь такого многочлена. Позначимо його. Тоді., теж є многочленом з комплексними коефіцієнтами, як частка двох многоч. з комплексними коефіцієнтами. має степінь- $$z-z_0$$ -степінь одиниця- $$f_1(z)$$ — $$1$$. Отже $$f(z)$$ — звідний. Теорему доведено.

Наслідки: 1 Многоч. незвідний у полі комп. чисел тоді і тільки тоді, коли його степінь дорівнює одиниці. 2 Кожний многоч. го степеня над полем комплекс. чисел розкл. на лінійні множники. 3 Многоч. $$n-$$ го степеня має у полі компл. чисел точно $$n$$ коренів.

Розміщення дійсних коренів многочлена.

Усі корені многоч. знаходяться в середині круга із центром в поч. координат і радіусом, де .Всі дійсні корені многоч. знаходяться в інтервалі.

Теорема (спосіб Ньютона).

Число М є верхньою межею додатних коренів многочлена, якщо при многоч. приймає додатні значення, а всі його похідні мають невід'ємні значення.

Доведення: Розкладемо в ряд Тейлора за степенями .

=, де $$n-$$ степінь $$f(x)$$.

.

. Отже є дійсною межею дійсних коренів многоч. Теорему доведено.

Для того, щоб звузити межі між якими знаходяться дійсні корені многочлена, потрібно окремо знайти нижні та верхні межі додатніх і від'ємних коренів. Потрібно знайти 4 числа. Всі додатні корені лежать в інтервалі, а всі від'ємні - $$(m^{-},M^{-})$$ .

Виявляється, що досить вміти знаходити тільки одне із записаних 4-ох чисел. Наприклад, всі інші межі можна знайти як верхні межі додатних коренів інших допоміжних рівнянь. Наприклад, в рівнянні $$f(x)=0$$ заміною отримаємо рівняння .Якщо верхня межа додатних коренів рівняння $$g(t)=0$$, то.

, $$\begin{array}{c}{m}^{+}=\frac{1}{M^{{+}^{\text{'}}}}\\ \end{array}$$.

Використаємо наступну заміну $$x=-y$$, отримаємо нове рівняння корені якого зв’язані з коренями початкового рівняння формулою .Якщо всі додатні корені, то будуть всіма від'ємними коренями .

$$m^{+\text{} } <= y rSub { size 8{i} } <= M rSup { size 8{+}}$$, $$-M^{+\text{} } <= x rSub { size 8{i} } <= - m rSup { size 8{+}}$$, $$M^{-}<=x_i<=m^{-}$$ .

9.Евклідів простір. Нерівність Коші-Буняковського.

Лінійний простір називається евклідовим простором, якщо виконуються наступні умови:

1. 1.Будь-яким двом елементам даного простору і ставиться у відповідність дійсне число, яке називається скалярним добутком цих елементів і позначають символом .

2. 2.Для скалярного добутку справедливі такі аксіоми:

2.1 $$\left(x,y\right)=\left(y,x\right)$$ — аксіома симетрії.

2.2 $$\left(x_1+x_2,y\right)=\left(x_1,y\right)+\left(x_2,y\right)$$ — аксіома роз подільності.

2.3 $$\left(\mathit{},y\right)=\left(y,x\right)$$, для будь-якого дійсного числа $$$$.

2.4 $$\left(x,x\right)>0$$ при $$x/=0$$, $$\left(x,x\right)=0$$ при $$x=0$$ .

Теорема1:Для будь-яких двох елементів $$x$$ і $$y$$ довільного евклідового простору справедлива нерівність, яка називається нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення: для будь-якого дійсного числа, в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність. В силу аксіом 2.1−2.3, останню рівність можна записати в вигляді. Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність, звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

Теорема2: Для будь-яких двох елементів $$x$$ і $$y$$ довільного комплексного евклідового простору справедлива нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення: для будь-якого комплексного числа $$$$, в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність. В силу аксіом 2.1−2.3, останню рівність можна записати в вигляді $$={||}^2(x,x)-(x,y)-\stackrel{------}{(x,y)}+(y,y)>=0$$. Позначимо через $$$$ аргумент комплексного числа $$(x,y)$$ і представимо в вигляді. Тоді, дебудь-яке дійсне число.,. Отримаємо наступну рівність. Яка справедлива для будь-якого дійсного. Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність, звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.

10. Квадратична форма. Додатньо і від'ємно визначені квадратичні форми. Закон інерції квадратичних форм. Критерій Сильвестра.

Квадратичною формою називається числова функція одного векторного аргумента $$x$$, яка випливає із білінійної форми, при .

Симетрична білінійна форма називається полярною до квадратичної форми $$A(x,x)$$ .

Полярна білінійна форма $$A(x,y)$$ і квадратична форма $$A(x,x)$$ зв’язані наступним співвідношенням:, яке випливає з наступного співвідношення: і властивостей симетрії форми .

Нехай форма в базисі визначається матрицею. $$A(x,x)$$ = $$\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}{}_i{}_j$$, де $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$ — координати вектора в базисі. Припустимо, що дана форма може бути приведена до канонічного вигляду, причому шукаються за формулами: і занумеровані так, що перші $$q$$ є додатними, а решту — від'ємними:, $${}_2>0$$ ,…,…,.

Нехай $${}_1=\frac{1}{\sqrt{{}_1}}{}_1$$, $${}_2=\frac{1}{\sqrt{{}_2}}{}_2$$ ,…, ,…, $${}_k=\frac{1}{\sqrt{-{}_k}}{}_k$$, ,…,. В результаті отримаємо, $$A(x,x)={}_1^2+{}_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_q^2-{}_{q+1}^2-\text{.}\text{.}\text{.}-{}_k^2$$ (*), що наз. нормальним видом квадратичної форми. Отже, з допомогою деякого невиродженого перетворення координат $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$ вектора $$x$$ в базисі $$e=(e_1,e_2,\text{.}\text{.}\text{.},e_n)$$,

(**), $$i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$, , квадратична форма приведена до нормального вигляду.

.

Теорема1(закон інерції квадратичної форми): Число доданків з додатними (від'ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до даного вигляду. Доведення: Нехай форма $$A(x,x)$$ з допомогою (**) приведена до (*), і з допомогою другого не виродженого перетворення координат прийдемо до нормального вигляду $$A(x,x)={}_1^2+{}_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_p^2-{}_{p+1}^2-\text{.}\text{.}\text{.}-{}_k^2$$ (***) .Для доведення теореми потрібно перевірити рівність $$p=q$$ .Нехай $$p>q$$. Потрібно переконатися, що в даному випадку існує ненульовий вектор $$x$$, що по відношенням до базисів, в яких форма має вигляд (*) і (***), координати $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_q,{}_{p+1},\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$ даного вектора рівні нулю: $${}_1=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.},{}_q=\mathrm{0,}{}_{p+1}=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.},{}_n=0$$ (****). Так як $${}_i$$ отримані шляхом не виродженого перетворення (**) координат $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$, а координати $${}_i$$ з допомогою аналогічного не виродженого перетворення тих же координат $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$, то умову (****)можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно координат $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$ шуканого вектора $$x$$ в базисі $$e=(e_1,e_2,\text{.}\text{.}\text{.},e_n)$$ .Так як $$p>q$$, то число однорідних рівнянь (****) менше n, тому система (****) має ненульовий розв’язок відносно $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n$$. Тому, якщо $$p>q$$, то існує ненульовий вектор $$x$$, для якого виконується рівність (****).В даному випадку отримаємо: $$A(x,x)=-{}_{q+1}^2-\text{.}\text{.}\text{.}-{}_k^2={}_1^2+{}_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_p^2$$ .Дана рівність має місце, при $${}_{q+1}=\text{.}\text{.}\text{.}={}_k=0$$ і $${}_1={}_2=\text{.}\text{.}\text{.}={}_p=0$$, що суперечить тому, що даний вектор є ненульовим. Аналогічно, при $$p<q$$ .Отже, $$p=q$$ .Теорема доведена.

10. Квадратична форма.

Квадратична форма $$A(x,x)$$ називається: додатньо (від'ємно) визначеною, якщо для будь-якого ненульового $$x$$ виконується рівність: $$A(x,x)>0$$ $$(A(x,x)<0)$$ — знакозмінною, якщо існують такі $$x$$, $$y$$, що $$A(x,x)>0$$, $$A(y,y)<0$$ .

Індексом інерції квадратичної форми наз. число відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів даної формидодатнім (від'ємним) індексом інерціїчисло додатних (від'ємних) канонічних коефіцієнтів.

Теорема2: Для того, щоб квадратична форма $$A(x,x)$$, задана в $$n-$$ мірному лінійному просторі, була знакосталою, необхідно і досить щоб або додатній індекс інерції $$p$$, або від'ємний індекс інерції $$q$$ були рівні розмірності $$n$$ простору $$L$$ .

Якщо $$p=n$$, то форма додатньо визначена, якщо $$q=n$$ — то від'ємно визначена.

Доведення: Доведення проведемо для додатньо визначеної квадратичної форми. Для відємно визначеної квадратичної форми доведення проводиться аналогічно.

Необхідність: Нехай форма $$A(x,x)$$ додатньо визначена. Тоді $$A(x,x)={}_1^2+{}_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_p^2$$. Якщо $$q<n$$, то із останнього виразу випливає, що для ненульового вектора $$x$$ з координатами $${}_1=0$$, $${}_2=0$$ ,…, $${}_p=0$$, $${}_{p+1}/=0$$ ,…, $${}_n/=0$$, форма $$A(x,x)$$ перетвориться в нуль, що суперечить означенню квадратичної форми. Отже, $$p=n$$ .

Достатність: Нехай $$p=n$$. $$A(x,x)={}_1^2+{}_2^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_p^2$$, $$A(x,x)>=0$$, причому, якщо $$A=0$$, то $${}_1={}_2=\text{.}\text{.}\text{.}={}_n=0$$, тобто $$x$$ є нульовим. Відповідно, $$A(x,x)$$ є додатньо визначена квадратична форма. Теорема доведена. Теорема3(Критерій Сильвестра): Для того, щоб квадратична форма $$A(x,x)$$, була додатньо визначена необхідно і досить щоб усі кутові мінори були додатними, тобто $${}_1>0$$, $${}_2>0$$ ,…, $${}_n>0$$ .

Для того, щоб квадратична форма $$A(x,x)$$, була від'ємно визначена необхідно і досить щоб знаки кутових мінорів чергувалися, причому $${}_1<0$$ .

Доведення: Необхідність: Докажемо спочатку, що із умови знакозмінності квадратичної форми $$A(x,x)$$ випливає що $${}_i/=0$$, $$i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$ .Нехай $${}_k=0$$. Розглянемо квадратну однорідну систему лінійних рівнянь: $$\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{}_1+a_{\text{12}}{}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1k}{}_k=0\\ a_{\text{21}}{}_1+a_{\text{22}}{}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{2k}{}_k=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{k1}{}_1+a_{k2}{}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{kk}}{}_k=0\end{array}$$. Так як $${}_k=0$$, то система має ненульовий розв’язок $${}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_k$$ (не всі $${}_i$$ рівні 0).Помножимо перше з рівнянь на $${}_1$$, другена $${}_2$$ ,…, останнє на $${}_k$$. В результаті отримаємо рівність $${}_{i,j=1}^n{a}_{\text{ij}}{}_i{}_j=0$$, ліва частина якого являє собою значення квадратичної форми. $$A\left(x,x\right)$$ для ненульового вектора х з координатами $$\left({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.}{}_k\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.}\mathrm{,\; 0}\right)$$. Це значення рівне нулю що суперечить знакозмінності форми. Якщо $$A\left(x,x\right)$$ — додотньо визначена форма. То всі канонічні коефіцієнти додатні. З формул для канонічних рівнянь випливає, що $${}_1>0$$, $${}_2>0$$ ,…, $${}_n>0$$. Якщо ж $$A\left(x,x\right)$$ відємно визначена форма то всі канонічні коефіцієнти від'ємні. Із означення канон. коеф. випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому $${}_1<0$$ .

Достатність. Нехай викон. умови накладені на кутові норми $${}_i$$ в формулюванні теор. Так як і=1,2,3, …, п, то форму, А можна привести до суми квадратів, причому конон. коеф. шукаються за вказаними вище формулами. Якщо $${}_1>0$$, $${}_2>0$$ ,…, $${}_n>0$$ то з озн. канон. коеф. випливає що $${}_i>0$$, тобто форма $$A\left(x,x\right)$$ додатньо визначена. Якщо ж знаки $${}_i$$ чергуються і $${}_1<0$$ то форма $$A\left(x,x\right)$$ відємно визначена. Теорема доведена.

11. Зведення квадратичних форм до канонічного виду.

Якщо квадратичну форму звести, за допомогою лінійного перетворення, то отримаємо квадратичну форму від нових змінних з іншими коефіцієнтами.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних можна звести до канонічного вигляду.

Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа. Ідея цього методу полягає в послідовному виділенні повних квадратів по кожній змінній в квадратичній формі. Для виділення повного квадрату по змінній необхідно, щоб в квадратичній формі був присутній вираз з квадратом цієї змінної. Якщо в квадратичній формі нема членів з квадратами змінних, то застосовують спеціальне невироджене перетворення змінних так, щоб в квадратичній формі утворилися члени з квадратами змінних. Так, якщо всі, але для деяких номерів і, то застосувавши невироджене лінійне перетворення змінних при, отримаємо, що член квадратичної форми набуде вигляду, це означає, що в квадратичній формі отримаємо члени з квадратами по змінній і. Ці члени, не можуть з іншими членами форми скоротитися, так як кожний інший її член міститься в при. Таким чином, в квадратичній форма є члени із змінними в квадраті. Нехай в квадратичній формі є член з квадратом змінної, тобто. Згрупуємо в всі члени, які містять, і доповнимо їх суму до повного квадрату. Тоді отримаємо, що.

де — квадратична форма від змінних

.

.

Введемо нові змінні, ,…,. Для нових змінних квадратична форма набуде вигляд. З квадратичною формою $$g$$ можна поступити аналогічно. Через крок ми прийдемо до канонічної форми. Нехайматриця послідовно виконаних відображень змінних- -матриця квадратичної форми, $$C$$ -діагональна матриця отриманого канонічного вигляду. Тоді формула набуває вигляд .

Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду.

Виконаємо додаткові лінійні перетворення змінних. В результаті квадратична форма набуде вигляду. Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Поняття групи, підгрупи.

Групоїд — це множина з однією визначеної в ній бінарною операцією.Множина із заданою в ній бінарною асоціативною операцією н6азивається півгрупою.Півгрупа з одиничним елементом називається моноїдом. Моноїд, в якому введена операція множення, називається мультиплікативниммоноїд, в якому введена операція додавання, — адитивним. Моноїд, всі елементи якого оборотні, називається групою.

Групою називається непорожня множина $$G$$, в якій виконуються такі аксіоми:

1. 1)в множині задана бінарна операція:

2. 2)введена операція є асоціативною:

3. 3)множина володіє єдиним одиничним елементом:

4. 4)для кожного елемента множини в цій же множині існує до нього обернений: .

Якщо задана в групі операція є комутативною, то група називається комутативною (абелевою). За аналогією до моноїда, група за множенням називається мультиплікативною.

Підгрупою групи $$G$$ називається підмножина цієї групи, яка сама утворює групу по відношенню до тієї ж операції, яка задана в групі.

Перевірка того, чи задана підмножина $$H$$ групи $$G$$ утворює її підгрупу включає:

1. 1)чи міститься в $$H$$ результат бінарної операції елементів із $$H$$ ;

2. 2)чи містить $$H$$ обернені до будь-яких своїх елементів.

Циклічні групи.

Важливим прикладом підгрупи є циклічні підгрупи.

Нехай $$G$$ -деяка група, $$a$$ -один з її елементів. Позначимо символом $$\begin{array}{c}a>\\ \end{array}$$ підмножину групи $$G$$, яка складається з усіх степенів елемента $$a$$. Підмножина $$\begin{array}{c}a>\\ \end{array}$$ утворює підгрупу групи $$G$$, оскільки:

1. 1)множення не виводить за межі елементів виду: ;

2. 2)існує нейтральний елемент ;

3. 3)для всіх елементів .

Підгрупа $$\begin{array}{c}a>\\ \end{array}$$, яка складається із всіх степенів елемента $$a$$ групи $$G$$, називається циклічною підгрупою групи $$G$$, породженою елементом $$a$$ .

Можливі два випадки:1) усі степені елемента $$a$$ є різними елементами групи $$G$$. При цьому елемент $$a$$ називається елементом нескінченного порядку-2) серед степенів елемента $$a$$ є рівні між собою, тобто при. Як правило, цей випадок має місце у скінченній групі $$G$$.

Мінімальний додатній показник елемента $$aG$$, при якому, називається порядком елемента $$a$$, а сам елемент $$a$$ -елементом $$n$$ -го порядку.

Якщо $$a$$ є елементом $$n$$ -го порядку, то породжена ним циклічна підгрупа $$a\text{>=}\{1=a^0,a^1,a^2,\text{.}\text{.}\text{.},a^{n-1}\}$$ складається з $$n$$ елементів.

Озн. Група $$G$$ називається циклічною, якщо вона складається з степенів одного із своїх елементів $$a$$ (тобто, якщо вона співпадає з будь-якою своєю підгрупою $$\begin{array}{c}a>\\ \end{array}$$). Елемент $$a$$ називається твірним елементом циклічної групи $$G$$ = $$\begin{array}{c}a>\\ \end{array}$$ .

Кожна циклічна група є комутативною, оскільки .

Теорема 1. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі цілих чисел.

Доведення. Нехай $$\begin{array}{c}G\text{=<}a>\\ \end{array}$$ -циклічна група, породжена елементом $$a$$. Доведемо, що $$G(Z,+)$$. Поставимо у відповідність елементу $$a^k$$ групи $$G$$ ціле число $$kZ$$: $$a^k->k$$. Тоді із того, що $$a^{k_1}->k_1$$, $$a^{k_2}->k_2$$ випливає, що $$a^{k_1}{a}^{k_2}->k_1+k_2$$. Отже, $$$$ -гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, $$$$ -ізоморфізм.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Теорема 2. Кожна скінченна циклічна група порядку $$n$$ ізоморфна мультиплікативній групі коренів $$n$$ -го степеня з одиниці.

Доведення. Нехай — скінченна циклічна група порядку $$n$$. Поставимо у відповідність кожному елементу $$a^k$$ цієї групи елемент $${}_1^k$$: $$a^k->{}_1^k$$, де — перший з коренів із одиниці. Тоді із того, що $$a^{k_1}->{}_1^{k_1}$$, $$a^{k_2}->{}_1^{k_2}$$, випливає $$a^{k_1}{a}^{k_2}->{}_1^{k_1}{}_2^{k_2}$$, $$a^{k_1+k_2}->{}_1^{k_1+k_2}$$. Звідки випливає, що $$$$ -гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, $$$$ -ізоморфізм.

Теореми 1,2 показують, що всі циклічні групи по суті вичерпуються адитивною групою цілих чисел і мультиплікативною групою коренів $$n$$ -го степеня з одиниці.

Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи сама циклічна.

Доведення. Нехай $$\begin{array}{c}G\text{=<}a>\\ \end{array}$$ -довільна циклічна група з твірним елементом $$a$$, $$H$$ -деяка її підгрупа $$HG$$ (не одинична, бо одинична підгрупа завжди циклічна). Виберемо в підгрупі $$H$$ найменший із додатніх степенів елемента $$a$$. Нехай ним буде $$a^{k}H,k$$ -мінімальне. Покажемо, що він є твірним елементом підгрупи $$H$$, яка буде циклічною. Нехай довільний елемент $$a^{l}H$$. Тоді $$l=\text{kq}+r$$, де $$r<k$$. В цьому випадку в підгрупі $$H$$ буде міститися елемент $$a^l(a^k{)}^{-q}=a^{\text{kq}+r}{a}^{-\text{kq}}=a^r$$, який менший за $$a$$, що неможливо, крім $$r=0$$. Таким чином, $$a^l=(a^k{)}^q$$. Отже, довільний елемент $$a^l$$ підгрупи $$H$$ є степенем $$a^k$$. Це означає, що підгрупа $$H$$ циклічна з твірним елементом $$a^k$$ .

Фактор-група.

Нехай $$H$$ — довільна нормальна підгрупа групи $$G$$. Оскільки кожний лівий суміжний клас $$\text{gH}$$ групи $$G$$ за нормальною підгрупою $$H$$ збігається з правим суміжним класом $$\text{Hg}$$, то говоритимемо тільки про суміжні класи групи $$G$$ за нормальною підгрупою $$H$$ .

Суміжний клас $$\text{gH}$$, породжений елементом із $$G$$, позначаємо $$\text{gH}=\stackrel{}{g}$$. Введемо в множині суміжних класів операцію множення (як множення деяких підмножин групи $$G$$). Нехай $$g_{1}H={\stackrel{}{g}}_1$$, $$g_{2}H={\stackrel{}{g}}_2$$ .

Розглянемо добуток.

$${\stackrel{}{g}}_1{\stackrel{}{g}}_2=g_{1}H{g}_{2}H=(g_1{\text{Hg}}_2)H=(g_1({\text{Hg}}_2))H=(g_1(g_{2}H))H=(g_1{g}_2)\text{HH}=g_1{g}_2\text{HH}=\stackrel{}{g_1{g}_2}$$ .

Таким чином, добуток двох суміжних класів групи $$G$$ за нормальною підгрупою $$H$$ є суміжним класом $$G$$ за $$H$$. Для знаходження добутку двох класів $$G$$ за $$H$$ треба в кожному із цих класів вибрати по одному представнику $$g_1,g_2$$ і взятий той суміжний клас, до якого належить добуток $$g_1{g}_2$$ вибраних представників.

Теорема. Множина суміжних класів групи $$G$$ за нормальною підгрупою $$H$$ утворює мультиплікативну групу, яку називають фактор-групою групи $$G$$ за нормальною підгрупою $$H$$ і позначають $$G/H$$ .

Доведення:

а) асоціативність множення суміжних класів випливає із асоціативності множення підмножин групи;

б) суміжний клас $$\stackrel{}{e}=\text{eH}=H$$ відіграє роль одиничного суміжного класу. Дійсно, для будь-якого $$\stackrel{}{g}G/H$$ :

1) $$\stackrel{}{\text{ge}}=\text{gHH}=\text{gH}=\stackrel{}{g}$$ ;

2) $$\stackrel{}{\text{eg}}=\text{HgH}=\text{gHH}=\stackrel{}{g}$$.

в) для кожного суміжного класу $$\stackrel{}{g}=\text{gH}$$ існує обернений суміжний клас $$(\stackrel{}{g})=\stackrel{}{(g^{-1})}$$. Дійсно,.

$$\stackrel{}{g}(\stackrel{}{g}{)}^{-1}=\stackrel{}{g}\stackrel{}{(g^{-1})}={\text{gHg}}^{-1}H={\text{Hgg}}^{-1}H=\text{eH}=\stackrel{}{e}$$ ;

$$(\stackrel{}{g}{)}^{-1}\stackrel{}{g}=(\stackrel{}{g^{-1}})\stackrel{}{g}=g^{-1}\text{HgH}=g^{-1}\text{gHH}=\text{eH}=\stackrel{}{e}$$ .

Отже, $$(\stackrel{}{g}{)}^{-1}=(\stackrel{}{g^{-1}})$$ .Теорему доведено.

12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.

Властивості фактор-групи.

1. 1.Кожна фактор-група $$G/H$$ комутативної групи $$G$$ є комутативною.

Доведення. $$a,bG\left[\text{ab}=\text{ba}\right]$$. Розглянемо фактор-групу $$G/H$$, елементами якої будуть $$\stackrel{}{a},\stackrel{}{b}$$. $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\text{aH}\text{bH}=\text{abHH}=\text{baHH}=\text{bH}\text{aH}=\stackrel{}{b}\stackrel{}{a}$$ .

1. 2.Кожна фактор-група $$G/H$$ циклічної групи $$G$$ теж циклічна.

Доведення. Нехай $$G$$ -циклічна група, породжена елементом $$g$$, тобто $$\begin{array}{c}G\text{=<}g>\\ \end{array}$$. Розглянемо фактор-групу $$G/H$$: $$\text{aH}G/H,aG$$. Оскільки $$G$$ циклічна, то $$a=g^m$$. Звідси $$\stackrel{}{a}=\text{aH}=g^{m}H=g^m{H}^m=(\text{gH}{)}^m=(\stackrel{}{g}{)}^m$$. Отже, $$G/H$$ -циклічна фактор-група, породжена елементом $$\stackrel{}{g}$$ або $$\begin{array}{c}G/H\text{=<}\stackrel{}{g}>\\ \end{array}$$ .

1. 3.Порядок будь-якої фактор-групи $$G/H$$ скінченої групи $$G$$ є дільником порядку цієї групи.

Кількість суміжних класів, які утворюються при розбитті групи $$G$$ за підгрупою $$H$$, називається індексом підгрупи $$H$$ в групі $$G$$. Іншими словами, індекс підгрупи $$H$$ в групі $$G$$ є порядком фактор-групи $$G/H$$ .

15. Поле. Характеристика поля. Поле раціональних дробів. Побудова скінчених полів з допомогою фактор-кілець.

Тілом називається кільце, кожен ненульовий елемент якого є оборотним (тобто має до себе обернений). Полем називається комутативне кільце, кожен не нульовий елемент якого є оборотним. Іншими словами поле — це комутативне тіло. Поле позначається $$P$$. Приклади полів: поле раціональних чиселполе дійсних чиселмножина $$\left\{a+b\sqrt{2},a,bQ\right\}$$ теж поле.

Поле $$P$$, яке містить деяке поле $$P^{\text{'}}$$ (його називають підполем поля $$P$$) називається розширенням поля $$P^{\text{'}}$$. Розглянемо означення характеристики поля. Не всі властивості числових полів зберігаються у випадку довільного поля, зокрема, якщо додавати одиницю саму до себе в деякому нескінченному полі декілька разів, то ми ніколи не отримаємо 0, тобто, всі такі числа кратні одиниці є відмінними одне від одного: $$k/=l,\text{k}1/=l\text{1}=>\left(k-l\right)1/=0$$, тобто $$n1/=0=>n=0$$. Якщо ж додавати одиницю саму ж себе в деякому скінченому полі, то серед отриманих чисел кратних одиниці, обов’язково будуть рівні, оскільки скінчене поле володіє лише скінченою кількістю різних елементів. Якщо всі кратні одиниці є різними елементами поля $$P$$, то для того щоб кратне одиниці $$\left(n-1\right)$$ дорівнювало 0, необхідно, щоб $$n=0$$. Таке поле називається полем характеристики нуль. Якщо поле містить рівні кратні одиниці, тобто $$\underset{k>0}{k/=l},\text{k}1=l\text{1}$$ то із $$\underset{0}{\left(k-l\right)}1=0$$, тобто ціле кратне одиниці дорівнює нулю. Найменше натуральне число $$n$$, із яким одиниця перетворюється в нуль, називається характеристикою даного поля.

Властивості: 1) Якщо поле $$P$$ має характеристику $$p$$, то число $$p$$ -просте.

Доведення: припустимо від супротивного. Нехай, де .

Дано: $$p1=\mathrm{0,}\text{p-min,}\left(p_1{p}_2\right)1=\left(p_{1}1\right)\left(p_{2}1\right)=0=>p_{1}1\text{або}{p}_{2}1$$, що суперечить умові мінімальності $$p$$. Отже припущення не вірне, $$p$$ — просте.

2) Якщо характеристика поля $$P$$ дорівнює $$p$$, то.

Доведення:

3) Якщо характеристика поля $$P$$ дорівнює нулю, то із $$na=0$$, де $$aP,\text{n}N=>n=0\text{або}a=0$$ .

Доведення:

Лема: Якщо многочлен $$p\left(x\right)P\left[x\right]$$ — незвідний многочлен над полем $$P$$, то фактор-кільце — многочленів $$P\left[x\right]$$ за ідеалом $$p\left(x\right)$$ є полем.

Д-ння: Елемент фактор-кільця $$p\left(x\right)P\left[x\right]\mathrm{:}\stackrel{}{1}=1+\left(p\left(x\right)\right)\text{.}$$ Цей елемент фактор-кільця за ідеалом $$P\left[x\right]/\left(p\left(x\right)\right)$$ відмінний від елемента $$\stackrel{}{0}=0+\left(p\left(x\right)\right)=\left(p\left(x\right)\right),$$ оскільки, в іншому випадку, одиниця мала б ділитися на $$p\left(x\right)$$, що неможливо. Таким чином, в фактор-кільці є принаймні два різні елементи $$\stackrel{}{1}$$ і $$\stackrel{}{0}$$, причому серед них є одиничний $$\stackrel{}{1}$$. Покажемо, що для довільного ненульового елемента в даному фактор-кільці існує обернений. Оскільки $$\stackrel{}{f}/=\stackrel{}{0}$$, то $$f\left(x\right)+\left(p\left(x\right)\right)/=\left(p\left(x\right)\right)$$, то $$f\left(x\right)$$ не ділиться на $$p\left(x\right)$$. Із того, що $$p\left(x\right)$$ — незвідний, слідує що $$\left(f\left(x\right),p\left(x\right)\right)=1\text{.}$$ Це означає, що існують многочлени $$u\left(x\right),v\left(x\right)P\left[x\right]\text{, для яких}f\left(x\right)u\left(x\right)+p\left(x\right)v\left(x\right)=1\text{.}$$ Запишемо останню рівність у вигляді конгруенції за модулем $$p\left(x\right)$$: $$f\left(x\right)u\left(x\right)1\left(\text{mod}p\left(x\right)\right)\text{.}$$ Звідси випливає, що $$\left(f\left(x\right)+\left(p\left(x\right)\right)\right)\left(u\left(x\right)+\left(p\left(x\right)\right)\right)1\left(\text{mod}p\left(x\right)\right)$$, $$\stackrel{}{f}\stackrel{}{u}=\stackrel{}{1\text{.}}$$ Звідси $$\stackrel{}{u}={\left(\stackrel{}{f}\right)}^{-1}$$. Отже, $$P\left[x\right]/\left(p\left(x\right)\right)$$ — поле. Лема доведена.

Розглянемо розширення поля $$P$$ раціональних чисел приєднання до них деяких ірраціональних чисел. Приєднаємо, наприклад до поля $$Q$$ число $$\sqrt{3}$$, додавши його до всіх раціональних чисел і помноживши на будь-яке раціональне число. Отримали числа вигляду $$\left(a+b\sqrt{3}\right),a,b,Q\text{.}$$ Множина чисел такого вигляду утворює поле, яке є розширенням алгебраїчного поля $$Q$$ елементом $$\sqrt{3}$$. Позначимо його $$Q\left(\sqrt{3}\right)\text{.}$$ $$\sqrt{3}$$ — алгебраїчне над полем $$Q$$, оскільки є коренем рівняння $$x^3-3=0$$ з раціональними коефіцієнтами.

4. Многочлени, їх звідність. Ділення многочленів. Корені многочленів.

. Теорема Вієта.

Многочленом п-го степеня від невідомого х називається вираз вигляду: $$a_0{x}^n+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n-1}x+a_n\text{.}$$ Число п називається степенем многочленна. Два многочлени є рівними, якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових степенях змінної. Число 0 теж є многочленом, степінь якого не визначений. Роль 1 при діленні многочленів відіграє число 1 як многочлен нульового степеня. Многочлен f (x) тоді і тільки тоді має обернений, якщо він є многочленом нульового степеня. Звідси випливає, що оберненої операції до множення многочленів — діленняне існує. Для многочленів існує алгоритм ділення з остачею, який грунтується на тому, що для будь-яких двох многочленів f (x), g (x) можна знайти такі многочлени q (x), r (x) що f (x)=g (x)q (x)+r (x), при чому степінь r (x) менше степеня g (x) або r (x)=0. Многочлени g (x), r (x)визначаються однозначно. Властивості ділення многочленів:

1.Якщо f (x) ділиться на g (x), а g (x)ділиться на h (x), то f (x) ділиться на h (x).

2.Якщо f (x) i g (x) діляться на h (x), то їх сума і різниця теж ділиться на h (x).

3.Якщо f (x) ділиться на g (x), то добуток f (x) на інший многочлен теж ділиться на g (x).

4.Якщо кожен з многочленів $$f_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},f_n(x)$$ ділиться на g (x), то на g (x) буде ділитися многочлен $$f_1(x)h_1(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+f_n(x)h_n(x)$$ .

5,Всякий многочлен ділиться на будь-який многочлен нульового степеня.

6,Якщо f (x) ділиться на g (x), то він ділиться і на сg (x).

7.Многочлени cf (x) і тільки вони будуть дільниками f (x), які мають такий же степінь, що й f (x).

8.Многочлени f (x) i g (x) тоді і тільки тоді діляться один на другий, коли f (x)=cg (x).

Якщо f (c)=0, то с називається коренем многочленна f (x).

8.Лінійні оператори. Характеристичне рівняння, спектр, слід, мінімальний многочлен, власні значення і власні вектори лінійного оператора.

Оператор, який діє з в $$W$$ називається лінійним, якщо для будь-яких векторів, $${\stackrel{}{x}}_2$$ $$V$$, виконується :

1. (+)=+ $$$$.

2. () =.

Дії над лін. операторами:

Нехай і 2 лінійні оператори, що діють з в .Сума лінійних операторів і назив. Оператор+, який визначається рівністю (+)= $$A$$ +y.Добутком лін. оператора на число назив. оператор, який діє за законом $$$$ () =(). Нульовим лін. оператором назив. оператор 0, який переводить всі елементи простору $$V$$ в нульовий елемент простору () $$$$ $$\stackrel{}{x}$$ $$V$$ [0 $$\stackrel{}{x}$$ ]=0. Тотожним або одиничним оператором назив. лін.операторE, який діє за правиломДобутком операторів $$A$$, $$B$$ назив. оператор $$A$$ $$B$$, який діє за правиломНульовий і тотожний оператори є лінійними.

Вектор $$\stackrel{}{a}$$, який задовольняє співвідношення $$A$$ $$\stackrel{}{a}$$ = $$$$ $$P$$ назив. власним вектором оператора $$A$$, а число $$$$ власним значенням опер. $$A$$, який відповідає даному власному вектору. Вектор назив. власним, якщо оператором $$A$$ він перетворюється в колінеарний йому вектор.

Теорема: Власні вектори, яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення: 1) Нехай — деяка система власних векторів, яким відповідають попарно різні власні значення.2)Нехай k=1за означенням 0 і система {} лінійно незалежна. 3) припустимо, що дов. система з (k-1) — власного вектора є лін.незалежна.4) доведемо, що лін. незалежною буде і система з k-власних векторів. Припустимо супротивне, тобто, що система власних векторів, яким відповідають попарно різні є лін. залежною, тобто, що оператор $$A$$ (…) = $$A$$, Віднімемо від останньої рівності (1)-ку помножену на.

$$$$ Оскільки вектори системи утворюють лін. незалежну систему, то всі коефіцієнти останньої лін. комбінації =0 Розглянемо зокрема перший з них, Отримана суперечність і доводить теорему.Із теореми випливає, що якщо всі власні значення лін. оператора є попарно різними, то система відповідних цим значенням власних векторів утворюють базу простору $$V_k$$ цю базу назив. власною базою лін.оператора $$A$$.

(-E)=.

Визначник матриціE є многочленом n-го степеня від цей многочлен назив. характеристичним многочленом матриці $$A$$ (оператора $$A$$) і позначають.

Теорема: Характеристичний многочлен матриці не залежить від вибору бази.

Слід матриці це сума її діагональних елементів $$A$$ = $$a_{\text{11}}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}}$$. Сума власних значень лінійного оператора = сліду матриці цього оператора. Множина всіх власних значень лін. оператора (характеристичних коренів) назив. спектром оператора. Спектр назив. простим, якщо всі власні значення різні.

13. Морфізми груп. Теорема про гомоморфізм груп. Ізоморфізм груп. Теорема Келі.

Означення. Ізоморфізмом $$$$ групи $$G$$ на групу $$G^{\text{'}}(\mathrm{:}G->G^{\text{'}})$$ наз. взаємнооднозначне відображ. $$G$$ на $$G^{\text{'}}$$, яке не порушує операції $$a,bG\left[\left(ab\right)=\left(a\right)\mathit{o}\left(b\right)\right]$$. Тобто, якщо з того, що довільним елементам $$a,bG$$ відповідають відповідно елем. $$a^{\text{'}},b^{\text{'}}{G}^{\text{'}}$$, то результатові операції між $$a,b$$ в групі $$G$$ відповідатиме результат між $$a^{\text{'}},b^{\text{'}}$$ групи $$G^{\text{'}}$$. І навпаки.

Означення. Гомоморфним відображенням групи $$G$$ в групу $$G^{\text{'}}$$ наз. таке відображ., яке зберігає операцію.

Означення. Гомоморфізм групи на свою фактор-групу наз. природнім (канонічним).

Означення. Сукупність К всіх елементів групи $$G$$, які при гомоморфізмі $$\mathrm{:}G->G^{\text{'}}$$ відображ. в нейтральний елем. групи $$G$$, наз. ядром гомоморфізму $$$$ і позначається $$K=\text{Ker}$$ .

Теорема (про гомоморфізм груп). Нехай $$$$ є гомоморфізмом групи $$G$$ на групу $$G^{\text{'}}$$ і $$H=\text{Ker}$$ — ядро цього гомоморфізму. Тоді група $$G^{\text{'}}$$ ізоморфна фактор-групі $$G/H$$, тобто $$G^{\text{'}}G/H$$, причому $$$$ такий ізоморфізм $$$$ фактор-групи $$G/H$$ на групу $$G^{\text{'}}$$, що добуток $$$$ ae ізоморфізму $$$$ на природній гомоморфізм ae є гомоморфізмом $$$$, тобто $$$$ = $$$$ ae.

Терміни сюр'єктивне, ін'єктивне та бієктивне відображ. у випадку груп замінюють відповідно: епіморфізм, мономорфізм, ізоморфізм. Ізоморф. групи самої в себеавтоморфізм.

Теорема Келі. Кожна скінченна група п-го порядку ізоморфна деякій підгрупі симетричної групи $$S_n$$ п-го степеня.

ехай $$G$$ — будь-яка група порядку $$n$$, а $$a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_n$$ — її елем. Помножимо зліва кожен елемент групи $$G$$ на довільний її елемент $$a_i\mathrm{,\; 1}<=i<=n$$. В результаті одержимо п добутків $$a_i{a}_1,a_i{a}_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_i{a}_n$$, кожен з яких є деяким елементом групи $$G$$. Нехай $$a_i{a}_1=a_{i_1},a_i{a}_2=a_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},a_i{a}_n=a_{i_n}$$, де $$i_k(k=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$$ — є одним з чисел 1,2,…, п. Всі елем. $$a_{i_1},a_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},a_{i_n}$$ попарно різні між собою. Дійсно, при $$k/=s$$ $$a_{i_k}/=a_{i_s}$$, бо, якщо $$a_{i_k}=a_{i_s}$$, то $$\left(a_i^{-1}{a}_i\right)a_k=\left(a_i^{-1}{a}_i\right)a_s$$, звідки $$a_k=a_s$$, і, отже, $$k=s$$. Оскільки п різними елем. $$a_{i_1},a_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},a_{i_n}$$ вичерпується група $$G$$, то $$a_{i_1},a_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},a_{i_n}$$ — це ті самі елем. $$a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_n$$, але, можливо, записані в іншому порядку. Звідси випливає, що, коли індексу $$k(k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}n)$$ поставимо у відповідність індекс $$i_k$$, то дістанемо взаємнооднозначне відображ. множини 1,2,…, п самої на себе, тобто дістанемо підстановку $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \text{.}\text{.}\text{.}& n\\ i_1& i_2& \text{.}\text{.}\text{.}& i_n\end{array}\right)$$ .Елем. $$a_i$$ групи $$G$$ поставимо у відповідність підстановку $${}_i=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& & n\\ i_1& i_2& & i_n\end{array}\right)$$. Тоді кожному елем. групи $$G$$ відповідатиме цілком визначена підстановка п-го степеня. Причому двом різним елементам $$a_i$$ і $$a_j$$ відповідатимуть різні підстановки: якщо елем. $$a_i$$ відповідає $${}_i=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& & n\\ i_1& i_2& & i_n\end{array}\right)$$, а елем. $$a_j$$ — підстановка $${}_j=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& & n\\ j_1& j_2& & j_n\end{array}\right)$$, то $${}_i/={}_j$$, оскільки рівність $${}_i={}_j$$ може мати місце тільки тоді, коли $$a_i=a_j$$. Отже, маємо взаємнооднозначне відображ. $$$$ групи $$G$$ на підмножину $$\stackrel{}{G}=\{{}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n\}$$ групи $$S_n$$. Доведемо, що відображ. $$$$ ізоморфне. Для цього покажемо, що $$\left(a_k{a}_j\right)=\left(a_j\right)$$ .Справді, нехай $$a_j{a}_1=a_{j_1},a_j{a}_2=a_{j_2},\text{.}\text{.}\text{.},a_j{a}_n=a_{j_n}$$ — $$a_k{a}_{j_1}=a_{k_1},a_k{a}_{j_2}=a_{k_2},\text{.}\text{.}\text{.},a_k{a}_{j_n}=a_{k_n}$$. Тоді $$\left(a_j\right)={}_j=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& & n\\ j_1& j_2& & j_n\end{array}\right)$$, $$\left(a_k\right)={}_k=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& & n\\ k_1& k_2& & k_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{j}_1& j_2& \text{.}\text{.}\text{.}& j_n\\ k_1& k_2& \text{.}\text{.}\text{.}& k_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \text{.}\text{.}\text{.}& n\\ j_1& j_2& \text{.}\text{.}\text{.}& j_n\end{array}\right)$$ $$\left(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\right)$$ то $${}_k{}_j=\left(a_k\right)\left(a_j\right)$$, тобто $$\left(a_k{a}_j\right)=\left(a_k\right)\left(a_j\right)$$ .Отже, група $$G$$ ізоморфно відображається на множину $$\stackrel{}{G}$$ симетричної групи $$S_n$$. Тому, за теоремою про ядро гомоморфізму, $$\stackrel{}{G}$$ є підгрупою групи $$S_n$$. Отже, група $$G$$ ізоморфна підгрупі $$\stackrel{}{G}$$ групи $$S_n$$. div>

14. Поняття кільця, поля. Види кілець. Кільце квадратних матриць, кільце класів лишків, кільце многочленів.

Означення. Кільцем наз. непорожня множина $$K$$, в якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції - додавання і множення, причому за додаванням $$K$$ є абелева група — адитивна група кільця $$K$$, а операція множення — асоціативна і пов’язана дистрибутивними законами з операцією додавання.

Означення. Комутативне кільце з одиницею, в якому для кожного його ненульового елемента $$$$ обернений елемент наз. полем.

Означення. Підмножина $$K_1$$ кільця $$K$$ наз. підкільцем кільця $$K$$, якщо $$K_1$$ є кільцем відносно операцій додавання та множення, визначених у кільці $$K$$ .

Число $$\sqrt{-1}$$ довгий час вважалося містичним, однак виявилося, що існують аналоги цього числа, які є абсолютно реальними об'єктами. Розглянемо множину квадратних матриць виду:

$$P=\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]|a,bR\}$$.

Покажемо, що ця множина матриць утворює кільце. В цій множині існує матриця Онульовий елемент. Е — одинична матриця.

$$O=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$ $$E=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$.

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ -(b+d)& a+c\end{array}\right]$$ $$P$$.

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\text{ac}-\text{bd}& \text{ad}+\text{bc}\\ -(\text{ad}+\text{bc})& \text{ac}-\text{bd}\end{array}\right]$$ $$P$$.

Асоціативність додавання і множення, комутативність додавання та дистрибутивність множення випливає з виконання даних властивостей квадратних матриць. Отже, Р утворює кільце. Оскільки множення матриць даного типу є комутативним, то кільце Р — комутативне.

Означення. Непорожня підмножина $$I$$ кільця $$K$$ наз. лівим (правим) ідеалом цього кільця, якщо виконуються такі умови:

1) $$a\pm bI$$, де $$a,bI$$ ;

2) $$\text{ka}I(\text{ak}I)$$, де $$aI,kK$$ .

Відношення конгруентності елементів на множині деякого кільця $$K$$ за його ідеалом $$I$$ є бінарним відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності наз. ще класами лишків кільця $$K$$ за ідеалом $$I$$. Множину всіх класів лишків кільця $$K$$ за ідеалом його $$I$$ позначають $$K/I=\stackrel{}{K}$$. У цій множині алгебраїчними є операції додавання і множення класів лишків:

$$\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b}=\stackrel{}{a+b}$$, $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{\text{ab}}$$ .

Відносно цих операцій множина $$\stackrel{}{K}$$ утворює кільце, яке наз. фактор-кільцем кільця $$K$$ за ідеалом $$I$$. Фактор-кільце $$K/I$$ наз. ще кільцем класів лишків.

Нехай $$K$$ — довільна область цілісності з одиницею і $$R$$ — її підкільце з одиницею. Елемент $$xK$$ наз. алгебраїчним над кільцем $$R$$, якщо в $$R$$ існують такі елементи $$a_0,a_1,\text{.}\text{.}\text{.},a_n$$, які не всі дорівнюють нулю, що:

$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}++a_{1}x+a_0=0$$.

Елемент, який не є алгебраїчним над $$R$$ є трансцендентним над $$R$$ .

Означення. Мінімальне розширення кільця $$R$$, яке містить трансцендентний над $$R$$ елемент х, наз. кільцем многочленів від однієї змінної над $$R$$ і позначається $$R$$ [x].

Означення. Кільцем многочленів $$R\left[x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n\right]$$ від п змінних $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ над областю цілісності $$R$$ наз. кільце многочленів від змінної $$x_n$$ над кільцем $$R\left[x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_{n-1}\right]$$ .

.