Формулы складання ймовірностей

Формулы складання вероятностей.

Из пункту 2 аксіоми, через яку вводилося визначення ймовірності події, слід, що якщо A1 і A2 неспільні події, то.

P () = P (A1) + P (A2).

Если A1 і A2 — спільні події, то =(A1 A2), причому очевидно, що A1A2 і A2 — неспільні події. Звідси следует:

P () = P (A1 A2) + P (A2) (*).

Далее очевидно: A1=(A1 A2), причому A1 A2 і — неспільні події, звідки слід: P (A1) = P (A1 A2) + P () Знайдемо з цього формули вираз для P (A1 A2) і підставимо їх у праву частина формули (*). Через війну одержимо формулу складання вероятностей:

P ()= P (A1) + P (A2) — P ().

Из останньої формули легко отримати формулу складання ймовірностей для неспільних подій, поклавши = Æ.

Пример 1. Знайти ймовірність витягти тузи чи червовую масть при випадковому відборі однієї карти з колоди в 32 листа.

Р (ТУЗ) = 4/32 = 1/8; Р (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ) = 8/32 = ¼;

Р (ТУЗЧЕРВЕЙ)=1/32;

Р ((ТУЗ) (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ)) = 1/8 + ¼ — 1/32 =11/32.

Того ж результату можна було досягти з допомогою класичного визначення ймовірності, перелічивши число сприятливих исходов.

Условные вероятности.

Рассмотрим завдання. Студент перед іспитом вивчив із квитків квитки з номерами із першого по 5 і з 26 по 30. Відомо, що студент на іспиті витягнув квиток з номером, не перевищують 20. Яка можливість, що студент витягнув вивчений билет?

Определим простір елементарних фіналів: W=(1,2,3,…, 28,29,30). Нехай подія, А у тому, що студент витягнув вивчений квиток: А=(1,…, 5,25,…, 30,), а подія У — у цьому, що студент витягнув квиток із перших двадцяти: В=(1,2,3,…, 20).

Событие складається з п’ятьох фіналів: (1,2,3,4,5), та її ймовірність дорівнює 5/30. Ця кількість можна як твір дробів 5/20 і 20/30. Кількість 20/30 — це ймовірність події B. Кількість 5/20 можна як ймовірність події При умови, що подія У сталося (позначимо її Р (А/В)). Отже, вирішення завдання визначається формулой.

Р (А/В) = P (АÇВ) /Р (B) (1).

Р (А/В) називається умовної ймовірністю події A за умови, що подія У сталося. Формулу (1) так можна трактувати, як визначення умовної ймовірності. Цю ж формулу можна переписати як.

P (АÇВ)=Р (А/В)Р (B) (2).

Формула (2) називається формулою множення ймовірностей (теоремою множення ймовірностей), а умовна ймовірність Р (А/В) тут повинна сприйматися просто смыслу.

Пример 2. З урни, що містить 7 білих хусток і 3 чорних куль, наудачу одна одною витягають (без повернення) два кулі. Яка можливість те, що перший кулю буде білим, а другий черным?

Пусть X — подія, яке у добуванні першим білого кулі, а Y — подія, яке у добуванні другим чорного кулі. Тоді  — подія, що полягає у цьому, перший кулю буде білим, а другий — чорним. P (Y/X) =3/9 =1/3 — умовна ймовірність вилучення другим чорного кулі, якщо першим було витягнуто білий. З огляду на, що P (X) = 7/10, за такою формулою множення ймовірностей отримуємо: P () = 7/30.

Событие, А називається незалежною від події У (інакше: події Проте й У називаються незалежними), якщо Р (А/В)=Р (А). За визначення незалежних подій можна прийняти слідство останньої формули і формули умножения.

P (АÇВ)= Р (А) Р (B).

Докажите самостійно, що й Проте й У — незалежні події, то і теж є незалежними событиями.

Пример 3. Знайти можливість, що з трьох кидках гральною кістки тричі випаде шестёрка. Вочевидь, що з кожному кидку результат досягнуто не залежить від результатів попередніх кидків, і бажана ймовірність дорівнює (1/6)3=1/216.

Определим в умовах це завдання можливість, що з трьох кидках у сумі випало 4 очки. Випишемо сприятливі результати: «1,1,2», «1,2,1», «2,1,1». Можливість кожного з цих фіналів дорівнює 1/216. Оскільки ці результати несумісні, яка цікавить нас ймовірність дорівнюватиме 3/216=1/72.

Пример 4. З колоди карток у 32 аркуша витягається одна карта. Нехай, А — подія, яке у тому, що извлечённая карта — дама. Подія У у тому, що извлечённая карта пікової масті. Вочевидь, що Р (А)=4/32=1/8. Обчислимо величину ймовірність те, що извлечённая карта -дама за умови, що ця карта пікової масті, то є Р (А/В). Вочевидь, що Р (АÇВ)=1/32, і Р (В)=8/32. Тоді Р (А/В)=Р (АÇВ)/ Р (В)=1/8, тобто Р (А)=Р (А/В). Звідси випливає, що події Проте й У независимы.

Пусть подія З у тому, що извлечённая карта не туз. Покажемо, що події Проте й З залежні. Вочевидь, що Р (АÇС)=Р (А)=1/8. Р (С)=28/32=7/8. Звідси отримуємо Р (А/С)=1/7, і це одно величині Р (А), отже, події Проте й З зависимы.

Пример 5. Розглянемо завдання, аналогічну завданню з прикладу 2, але з однією додатковим умовою: витягнувши перший кулю, запам’ятовуємо його колір і повертаємо кулю до урни, після чого все кулі перемешиваем. У разі результат другого вилучення не залежить від цього, який кулю — чорний чи білий з’явився з першого добуванні. Можливість появи першим білого кулі (подія А) дорівнює 7/10. Можливість події У — появи другим чорного кулі - дорівнює 3/10. Тепер формула множення ймовірностей дає: P (АÇВ)=21/100.

Извлечение куль способом, описаним у цьому прикладі, називається вибіркою з поверненням чи поворотній выборкой.

Следует відзначити, що у двох останніх прикладах покласти найперші кількості білих хусток і чорних куль рівними відповідно 7000 і 3000, то результати розрахунків тієї ж ймовірностей різнитимуться пренебрежимо мало для поворотній і безповоротної выборок..

Рассмотрим деякі завдання застосування теорем складання і множення вероятностей.

1. Три стрілка стріляють в мішень. Кожен потрапляє у мішень або потрапляє у мішень незалежно від результатів пострілів інших стрілків. Перший стрілок потрапляє у мішень з ймовірністю 0,9, другий — з імовірністю 0,8, а третій — з імовірністю 0,7. Знайти можливість, що мішень буде поражена?

Вопрос можна поставити інакше: наскільки ймовірним є те, що хоча б тільки стрілок потрапить в мішень? Вочевидь, що мішень буде вражена, коли всі троє потраплять в мішень, тоді як мішень потраплять будь-які двоє стрілків, а третій не потрапить тощо. буд. Нехай подія, А у тому, що тільки одне із стрілків потрапив у мішень. Тоді протилежне подія у тому, що це троє не потрапили до мішень. Якщо Сталін перший не потрапляє у мішень з ймовірністю 0,1, другий — з імовірністю 0,2, а третій — з імовірністю 0,3, то теоремі множення ймовірностей Р ()=0,1×0,2×0,3=0,006. Тоді Р (А)=1-Р ()=0,994.

2. При включенні двигун починає працювати з імовірністю р. а) Знайти ймовірність те, що двигун почне працювати з другого включення. б) Знайти ймовірність те, що для запуску двигуна знадобиться трохи більше двох включений.

а) А, щоб двигун почав діяти з другого включення, потрібно, по-перше, що він не запустився з першого включенні (подія А). Це приміром із ймовірністю 1-р. При другому включенні двигун запустится (подія У) з імовірністю р. Нас цікавить ймовірність події АÇВ. З умови завдання можна було зрозуміти, що події Проте й У незалежні. Звідси P (АÇВ)=р (1-р).

б) Нас цікавить ймовірність події, який перебуває у цьому, що двигун запустится при першому включенні або за другому включенні. Протилежне подія полягає у цьому, що двигун не запустится ні за першому, зв другий — коли включенні. Така ймовірність протилежного події дорівнює (1-р)2. Звідси ймовірність даного нас події дорівнює 1-(1-р)2.

3. У сім'ї Іванових 4 дитини. Відомо, що з дітей — хлопчик. Знайти ймовірність те, що діти -хлопчики. Прийняти можливість народження хлопчики й можливість народження дівчинки рівними ½ і залежними від цього, якого статі діти вже є у семье.

Пусть подія У у тому, що у ній — хлопчики, подія, А у тому, що у в сім'ї є хоча б тільки хлопчик (саме так повинні розуміти умова завдання). Нас цікавить величина Р (В/А). А, щоб скористатися формулою умовної ймовірності, треба, по-перше, обчислити P (АÇВ). У нашому випадку подія, А є наслідком події У, тому P (АÇВ)=Р (В) (дивися пояснення до цієї теми 2). За умовою завдання Р (В)=(½)4=1/16. Щоб обчислити Р (А), зауважимо, що подія у тому, що діти у ній -дівчинки. Вочевидь, що Р ()=(½)4=1/16. Тоді Р (А)=1-Р ()=15/16. Нині можна скористатися формулою для визначення умовної ймовірності Р (В/А) = P (АÇВ)/Р (А). У результаті виходить Р (В/А)=(1/16)/(15/16)=1/15.

Если в умови це завдання було порушене питання «чому дорівнює можливість, що це діти хлопчики, за умови, що другий дитина — хлопчик?», то відповідь було б 1/8.

4. У урні 7 білих хусток і три чорних кулі. Без повернення беруться 3 кулі. Відомо, що у тому числі чорний кулю. Знайти можливість, що інші два кулі белые.

Пусть подія, А у тому, що у вибірці є дві білих кулі, подія У — у цьому, що у вибірці є чорний кулю. Загалом у умови завдання існує можливих фіналів. Звідси Р (АÇВ)=. Щоб обчислити ймовірність Р (В), зауважимо, що у тому, що все витягнуті кулі білі, і Р ()=. Бажана ймовірність дорівнює ()/(1-)=63/85.

5. Знайти можливість, що з киданні трьох гральних кісток хоча на однієї випаде 6 очок за умови, що у всіх кістках випали межі з чётным числом очков.

Пусть подія, А у тому, що тільки в одній кістки випало 6 очок, а подія В-в тому, що у всіх кістках випало чётное число очок. Обчислимо ймовірність події АÇВ. Загальна кількість фіналів, очевидно одно 63=216. Однією з сприятливих фіналів є випадання шести очок усім трьох кістках. Є 6 фіналів, які у випадання шестёрок двома кістках і випадання чётного числа очок, але з шестёрки цього разу третьої кістки. Можна нарахувати 12 фіналів, коли в одній кістки випадає шестёрка, але в двох других-чётные числа очок, але з шестёрки. Отже, події АÇВ сприяють 19 фіналів, звідки Р (АÇВ)=19/216. Вочевидь, що Р (В)=(½)3=1/8. Бажана ймовірність дорівнює (19/216)/(1/8)=19/27.

6. Студент знає 20 з 24 питань програми. Зачёт здано, якщо студент відповість щонайменше ніж 3 з 4-х питань у квитку. Подивившись перше запитання, студент виявив, що знає його. Яка можливість, що студент здасть зачёт?

Пусть, А — подія, що полягає у цьому, що студент здав экзамен;

В — подія, що полягає у цьому, що студент знає перше запитання в билете.

Очевидно, що Р (В) =20/25=4/5. Тепер потрібно визначити ймовірність Р (АÇВ). З 25-ти питань всього можна скласти різних квитків, містять 4 питання. Усі квитки, вибір яких задовольняв ще й події Проте й події У, має бути складено так: або студент знає все питання квитка (можна скласти всього таких квитків), або студент знає перший, другий і третій питання, але з знає четвертого (можна скласти всього 5 таких квитків), або студент знає перший, другого продажу та четвертий питання, але з знає третього (теж 5 квитків), або студент знає перший, третій і четвертий питання, але з знає другого (теж 5 квитків). Звідси отримуємо, что.

Р (АÇВ) = .

Осталось лише знайти потрібну ймовірність р (А/В):

Р (А/В) = .

Задачи для самостійного решения.

1) Довести формулу.

Р (АÈВÈС)=Р (А)+ Р (В)+Р (С)-Р (АÇВ)-Р (АÇС)-Р (ВÇС)+Р (АÇВÇС).

2) Можливість потрапити до літак дорівнює 0,4, ймовірність його збити дорівнює 0,1. Знайти ймовірність те, що потрапляючи в літак він сбит.

3) З урни, що містить 6 білих хусток і 4 чорних кулі, наудачу витягають за одним кулі до появи чорного кулі. Знайти можливість, що доведеться виробляти четверте вилучення, якщо вибірка виробляється а) с поверненням; б) без возвращения.

4) а) У умовах завдання 1 знайти можливість, що у мішень потрапили двоє стрілків. б) У разі завдання 1 знайти можливість, що у мішень потрапили щонайменше двох стрелков.

5) По самолёту виробляється три пострілу. Можливість влучення з першого пострілі дорівнює 0,5, другий — коли — 0,6, при третьем-0,8. При одному потраплянні літак буде збито з ймовірністю 0,3, при двух-с ймовірністю 0,6, при трьох літак буде збито напевно. Яка можливість те, що літак буде сбит?

6) У разі завдання 4 знайти можливість, що у всіх кістках випала шестёрка, якщо відомо, що а, по крайнього заходу, двома кістках випало однакове число очок; б) усім кістках випало однакове число очков.

7) Впадають три гральних кістки. Яка можливість те, що одній із них випаде одиниця, якби всіх трьох кістках випали різні грани?

8) Можливість те, що випадково обраний з студентської групи студент знає англійська мова, дорівнює 5/6. Можливість те, що студент знає французький мову, дорівнює 7/12. Можливість те, що студент знає і англійська і французьку мови, дорівнює ½. а) Знайти можливість, що студент не знає французької за умови, що не знає англійську. б) Знайти можливість, що студент знає французьку мову за умови, що він знає английский.

9) Відомо, що з киданні десяти гральних кісток випала хоча тільки одиниця. Яка можливість, що випало два чи більш единиц?

10) Цех виготовляє кінескопи для телевізорів, причому 70% всіх кінескопів призначені для кольорових телевізорів і 30% - для моніторів. Відомо, що 50% всієї продукції вирушає експорту, причому від кількості кінескопів, виділені на кольорових телевізорів, 40% вирушає експорту. Знайти можливість, що наудачу узятий контролю кінескоп призначений для монітора, якщо відомо, що він відправлений на экспорт.

11) У ящику лежать 12 червоних, 8 зелених і десяти синіх куль. Наудачу виймають два кулі. Знайти можливість, що буде вийняті кулі різного кольору за умови, що ні вийнято синій шар.

Ответы. 2)¼; 3) а) 0,216; б) 1/6; 4) а) 0,398; б) 0,902; 5) 0,594; 6) а) 1/96; б) 1/6; 7) 0,5; 8) а) 0,5; б) 0,3; 9)1−10×59/(610−510); 10) 0,44; 11) 48/95.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.