Відповідності, функції, відображення (реферат)

Реферат на тему:

Відповідності, функції, відображення

1. Відповідності та композиції відповідностей

1. Визначити R (a), R-1(b), R (X), R-1(Y), де.

1. 1)R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=1, b=2, X={2, 3}, Y={2, 3};

2. 2)R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=2, b=1, X={1, 3}, Y={1, 3};

3. 3)R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=1, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};

4. 4)R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};

5. 5)R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=1, b=1, X={2, 3}, Y={2, 3};

6. 6)R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=2, b=3, X={1, 3}, Y={1, 2};

7. 7)R={(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};

8. 8)R={(1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}, a=3, b=2, X={1, 2}, Y={1, 3};

9. 9)R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}, a=2, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};

2. Побудувати композицію Rвідповідностей R і P, де RP/p>

1. 1)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (y, 1), (z, 1), (z, 2)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,6), (3,7)};

2. 2)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (z, 2)}, P={(1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (3,7)};

3. 3)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 3)}, P={(1,5), (1,6), (1,7), (2,6), (2,7)};

4. 4)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 3), (y, 1), (y, 3), (z, 2)}, P={(1,7), (2,5), (2,6), (3,5), (3,7)};

5. 5)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (x, 3), (z, 2), (z, 3)}, P={(1,5), (1,6), (2,7), (3,6), (3,7)};

6. 6)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}, P={(1,6), (1,7), (2,5), (3,6), (3,7)};

7. 7)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 3), (y, 1), (z, 1), (z, 3)}, P={(2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6)};

8. 8)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (y, 1), (z, 2), (z, 3)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,7)};

9. 9)A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x, 1), (x, 2), (y, 1), (z, 1)}, P={(1,5), (1,6), (2,5), (3,6), (3,7)};

3. Довести, що:

— 1(P);

(P).

4. Нехай RДовести, що R=iA тоді й тільки тоді, коли RR11 при будь-якому R1/p>

5. Довести, що за довільних відповідностей R, P, Q:

1. 1)R (R.

2. 2)(R1=P-1;

3. 3)(R.

4. 4)QQ.

5. 5)(R.

6. 6)Q.

Для завдань (5)-(6) навести приклад R, P, Q, таких, що включення не можна замінити рівністю.

2. Функції та відображення

6. Указати, чи має властивості ін'єктивності, сюр'єктивності та чи є відображенням функція f: Rде R — множина дійсних чисел, а f (x) — це:

1. 1)x;

2. 2)x-1;

3. 3)x2;

4. 4)x2/3;

5. 5)x¾;

6. 6)x/p>

7. 7)ex;

8. 8)log x;

9. 9)|x|;

10. 10)sin x;

11. 11)cos x;

12. 12)tg x;

13. 13)ctg x;

14. 14)arcsin x;

15. 15)arccos x;

16. 16)arctg x;

17. 17)arcctg x.

3.7. Довести, що:

1. 1)об'єднання.

2. 2)перетин.

двох функцій f1 і f2 з A в B є функцією тоді й тільки тоді, коли f1=f2.

7. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області означення, справджується:

1. 1)f (Af (A));

2. 2)f (A));

3. 3)f (A)f (B)B);

4. 4)f (A)).

Для завдань (2)-(4) навести приклади f, A, B, таких, що включення не можна замінити рівністю.

8. Довести, що f є 1−1-функцією тоді й тільки тоді, коли при будь-яких підмножинах A і B області означення функції:

1. 1)f (Af (A));

2. 2)f (A)f (B)=f (AB);

3. 3)f (A))=f (A.

9. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області значень, справджується:

1. 1)f-1(Af-1(A)(B);

2. 2)f-1(Af-1(A)(B);

3. 3)f-1(A)f-1(B)=f-1(AB);

4. 4)f-1(A)(B)=f-1(A.

10. Довести, що при Af, Bf справджується:

1. 1)A (f (A));

2. 2)B-1(B));

3. 3)f (A)(A (B));

4. 4)f (A)(B)=/p>

5. 5)f (A)(B);

3. Бієкції

11. Означити бієкцію між множинами:

1. 1)An і A{1, 2, …, n};

2. 2)AB і CD, де A бієктивно відображається на C, а B — на D;

3. 3)Aі B.

4. 4)(Aі A.

5. 5)(A і AC.

6. 6)(AB)C і AB.

7. 7)ABі AB якщо B/p>

12. Нехай f: A підстановка множини A. Довести, що f-1 — також підстановка множини A.

3.13. Нехай f: A бієкція. Довести, що:

1. 1)f-1 — бієкція;

2. 2)f-1B;

3. 3)f=iA.

4. Характеристичні функції

14. Нехай U — непорожня множина. Для будь-якої її підмножини A означимо функцію, що називається характеристичною функцією множини A:

(x)= $$\begin{array}{c}\mathrm{0,}\text{якщо}xA,\\ \{\begin{array}{c}\\ \mathrm{1,}\text{якщо}xU\end{array}\end{array}$$.

Неважко переконатися, що підмножини множини U та їхні характеристичні функції взаємно однозначно відповідають одне одному. Довести, що при будь-якому x/p>

1. 1)(x)=0;

2. 2)=1;

3. 3)A (x)=1-(x);

4. 4))=(x)U, B (x);

5. 5))=(x)+(x)-(x)U, B (x);

6. 6)B (x)=1-(x)+);

7. 7))=min{(x), (x)};

8. 8))=max{(x), (x)};

9. 9))=min{1-(x)+), 1-(x)+)}.

Характеристичну функцію множини A можна означити інакше:

(x)= $$\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{якщо}xA,\\ \{\begin{array}{c}\\ \mathrm{0,}\text{якщо}xU\end{array}\end{array}$$.

За такого означення довести, що при будь-якому x/p>

1. 10)(x)=1;

2. 11)=0;

3. 12)A (x)=1-(x);

4. 13))=(x)+(x)-(x)U, B (x);

5. 14))=(x)U, B (x);

6. 15)B (x)=(x)(1-(x));

7. 16))=max{(x), (x)};

8. 17))=min{(x), (x)};

9. 18))=max{(x)(1-(x)), (x)(1-(x))}.