Диференціальні рівняння. 
Задача Коші (реферат)

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння.

Задача Коші.

ПЛАН.

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними.

змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння.

3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними.

змінними Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків:

F (x, y, y…)=0.

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.

Приклади.

1. Диференціальне рівняння другого порядку y=x2+1 .

2. Диференціальне рівняння третього порядку y=cos (x).

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.

Приклади.

1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3−3.5,…

Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C, де C — довільна стала.

2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку yn (x) є сім'я функцій (кривих) y= -sin (x)+C1x+C2, де C1 та C2 — довільні сталі. Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin (x)+10, y= - sin (x)+2x+1 тощо.

Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад:

u, y)+u, y)=2u (x, y)+x+y.

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y:

F (x, y, y (8.1).

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.

Означення. Диференціальне рівняння вигляду.

f1(x)2(y)dx+f2(x)1(y)dy=0 (8.2).

називається рівнянням з розділеними змінними.

Приклади.

1. Розв’язати диференціальне рівняння $$x\sqrt{1-y^2}\text{dx}+y\sqrt{1-x^2}\text{dy}=0$$ .

Виконуємо ділення на вираз $$\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$$, розділивши тим самим змінні:

$$\frac{\text{xdx}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\text{ydy}}{\sqrt{1-y^2}}=0$$.

Почленно інтегруємо:

$$\frac{\text{xdx}}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{\text{ydy}}{\sqrt{1-y^2}}$$ ,.

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dtxdx=(-dt)/2) та.

1-y2=u (звідки -2ydy=duydy=(-du)/2):

$$-\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}\text{dt}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}\text{du}$$ ;

$$-t^{-\frac{1}{2}}\text{dt}=u^{-\frac{1}{2}}\text{du}$$ ;

$$C-t^{1/2}=u^{1/2}$$ ;

$$C-\sqrt{1-x^2}=\sqrt[]{1-y^2}$$ ;

$$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=C$$ .

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв’язати диференціальне рівняння y+y .

Розділяємо змінні:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=7^x{7}^y$$ ;

$$7^{-y}\text{dy}=7^x\text{dx}$$ .

Інтегруємо праву та ліву частини:

$$-\frac{7^y}{\text{ln}7}=\frac{7^x}{\text{ln}7}+C$$ .

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:

— 7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C).

7y+7x=C .

1. 3.Розв'язати диференціальне рівняння.

$$y^{\text{'}}=\frac{1+y^2}{1+x^2}$$ ;

$$\frac{\text{dy}}{1+y^2}=\frac{\text{dx}}{1+x^2}$$ ;

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC, може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:

$$y=\frac{x+C}{1-\text{Cx}}$$ .

(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).

8.2. Лінійні диференціальні рівняння Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд.

yx) (8.3).

Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=-a(x)y$$ ;

$$\frac{\text{dy}}{y}=-a(x)\text{dx}$$ ;

$$\text{ln}y=\text{ln}C+-a(x)\text{dx}$$ ;

$$\text{ln}y=\text{ln}C+\text{ln}(e^{-\underset{}{\overset{}{}}a(x)\text{dx}})$$ ;

$$y=C{e}^{-a(x)\text{dx}}$$ — загальний розв’язок.

Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд.

yx)(x) (8.4).

Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді.

$$y=C(x)e^{-a(x)\text{dx}}$$ .

Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння.

$$y^{\text{'}}+2\text{xy}=2{\text{xe}}^{-x^2}$$ .

Розв’язок однорідного рівняння yy=0 має вигляд.

$$y=C{e}^{-2\text{xdx}}=C{e}^{-x^2}$$ .

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді.

$$y=C(x)e^{-2\text{xdx}}=C(x)e^{-x^2}$$ ,.

де C (x) функція від x .

Знайдемо похідну від цього виразу: $$y^{\text{'}}=C^{\text{'}}(x)e^{-x^2}-2xC(x)e^{-x^2}$$ ,.

і підставимо відшукані значення y та yв початкове рівняння:

$$(C^{\text{'}}(x)e^{-x^2}-2xC(x)e^{-x^2})+2xC(x)e^{-x^2}=2x{e}^{-x^2}$$ ;

С=2x ;

dC (x)=2xdx ;

C (x)=x2+C .

Отримуємо загальний розв’язок.

$$y=(x^2+C)e^{-x^2}$$ .

Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy3x2.

$$y^{\text{'}}+\left(\frac{-1}{2x}\right)y=\frac{3}{2}x$$.

Загальним розв’язком однорідного рівняння $$y^{\text{'}}+\left(\frac{-1}{2x}\right)y=0$$ є сім'я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C).

$$y=C{e}^{-\frac{-\text{dx}}{2x}}={\text{Ce}}^{\frac{1}{2}\text{ln}x}=C(e^{\text{ln}x}{)}^{\frac{1}{2}}=C\sqrt{x}$$ .

Знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння у вигляді $$y=C(x)\sqrt{x}$$. Тоді $$y^{\text{'}}=C^{\text{'}}(x)\sqrt{x}+C(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ .

Підставляючи y та y рівняння, маємо.

$$2x{C}^{\text{'}}(x)\sqrt{x}+2C(x)\frac{\sqrt{x}}{2}-C(x)\sqrt{x}=3x^2$$.

$$2C^{\text{'}}(x)\sqrt{x}=3x$$.

$$2C^{\text{'}}(x)=3x^{1/2}$$.

$$2\text{dC}(x)=3x^{1/2}\text{dx}$$.

$$2C(x)=2x^{3/2}+C$$.

$$C(x)=x\sqrt{x}+C$$.

Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння є таким: $$y=C(x)\sqrt{x}=x^2+C\sqrt{x}$$ .

Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами — це рівняння вигляду.

ypyqy=0, (8.5).

де p та q — сталі величини.

З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння.

Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені та загальний розв’язок диференціального рівняння такий:

$$y=C_1{e}^{{}_{1}x}+C_2{e}^{{}_{2}x}$$ ,.

де C1 та C2 — довільні сталі.

У випадку кратних дійсних коренів характеристичного рівняння загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд.

$$y=C_1{e}^{\mathit{}}+C_{2}x{e}^{\mathit{}}$$.

Приклад. Розв’язати рівняння yy=0.

Будуємо характеристичне рівняння =0, звідки — 5.

Отже, загальний розв’язок є такий: $$y=C_1{e}^{3x}+C_2{e}^{-5x}$$.

Приклад. Розв’язати рівняння y0.

Будуємо характеристичне рівняння 0, звідки 1.

Отже, загальний розв’язок: $$y=C_1{e}^{-x}+C_{2}x{e}^{-x}$$ .

8.3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв’язку диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у знаходженні такої функції, яка.

• -.задовольняє рівнянню F (x, y, y;

• -.проходить через точку (x0-y0).

Приклад. Розв’язати задачу Коші.

$$\{\begin{array}{c}(1+y^2)\text{dx}=\text{xdy}\\ y(1)=0\end{array}$$ .

Знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння з розділеними змінними:

$$\frac{\text{dy}}{1+y^2}=\frac{\text{dx}}{x}$$ ;

arctgy=lnx+lnC ;

y=tg (ln (Cx)) .

На основі початкової умови y (1)=0 визначаємо конкретне значення константи C:

0=tg (ln (C ;

C=1 .

Таким чином, розв’язком задачі Коші є функція y=tg (lnx).

Приклад. Розв’язати задачу Коші.

$$\{\begin{array}{c}(1+y_2)\text{dx}+\text{xydy}\\ y(1)=2\end{array}$$ .

Знаходимо загальний розв’язок:

$$\frac{\text{dx}}{x}=-\frac{y}{1+y^2}\text{dy}$$ (заміна y2=t ydy=dt dy=dt/2);

lnx=(-½)ln (1+y2) + lnC;

$$\text{ln}[x(1+y^2{)}^{\frac{1}{2}}]=\text{ln}C$$ ;

$$x\sqrt{1+y^2}=C$$ ;

x2y2)=C.

Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:

12(1+22)=C, звідки C=5.

Розв’язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.

Ріст при постійному темпі приросту.

Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим (зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від'ємним) і дорівнює величині T.

Нагадавши, що темп приросту функції y=y (t) обчислюється за формулою $$T_y=\frac{y^{\text{'}}}{y}$$, приходимо до такої задачі Коші:

$$\{\begin{array}{c}\frac{y^{\text{'}}}{y}=T\\ y(0)=P_0\end{array}$$.

Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв’язок:

$$\frac{\text{dy}}{y}=\text{ydt}$$ ;

lny=TnC ;

y=C.

Оскільки при t=0 величина y (0)=P0, то P0=CeTC і далі.

y (t)=P0 eTрозв’язок задачі Коші).

Знайдена функція y (t)=P0дозволяє прогнозувати кількість населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість населення становитиме P00,02= P00,5 07P0.

Зазначимо, що ця ж функція y (t)=P0описує динаміку росту цін при постійному темпі інфляції.

Ріст при спадному темпі приросту.

Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y (t0)=y (0)=y0 одиниць товару. Позначимо через y (t) кількість проданого товару в довільний момент часу t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y (t).

В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару. Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною функцією: Ty = b-ay.

Отже, для для знаходження функції y=y (t) потрібно розв’язати задачу Коші:

$$\{\begin{array}{c}\frac{y^{\text{'}}}{y}=b-\text{ay}\\ y(0)=y_0\end{array}$$ .

Розв’язуємо дифренціальне рівняння.

$$\frac{\text{dy}}{y(b-\text{ay})}=\text{dt}$$ ;

$$\frac{\text{dy}}{\text{by}}+\frac{\text{ady}}{b(b-\text{ay})}=\text{dt}$$ (дріб $$\frac{1}{y(b-\text{ay})}$$ розкладено на суму.

дробів $$\frac{1}{\text{by}}$$ та $$\frac{a}{b(b-\text{ay})}$$) ;

$$\frac{1}{b}\text{ln}y-\frac{1}{b}\text{ln}(b-\text{ay})=t+C$$ ;

$$\text{ln}\frac{y}{b-\text{ay}}=\text{bt}+C$$ ;

$$\frac{y}{b-\text{ay}}=C{e}^{\text{bt}}$$ ;

$$y=\frac{\text{Cb}}{e^{\text{bt}}+\text{Ca}}$$ (отримано загальний розв’язок) .

При конкретному значенні y (0)=y0 отримуємо конкретну криву (функцію) вигляду $$y(t)=\frac{1}{{\mathit{}}^{\mathit{}}+}$$. Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4. Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t. Відщукання конкретних параметрів, а завдання дисципліни «Економетрія» .

y.

b/a.

y0=Cb/(1+Ca).

x.

Рис. 8.1.

Попит при постійній еластичності.

Нехай Q — розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай Q (p0)=Q0. Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q (p) зі сталою еластичністю розв’язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за допомогою похідної: EQp=Q (p/Q)):

$$\{\begin{array}{c}{Q}^{\text{'}}\frac{p}{Q}=E\\ Q(p_0)=Q_0\end{array}$$ ;

$$\frac{\text{dQ}}{Q}=E\frac{\text{dp}}{p}$$ ;

$$\text{ln}Q=\text{ln}C+E\text{ln}p$$ ;

Q=C.

З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту.

$$Q(p)=\frac{Q(p_0)}{p_0}{p}^E$$ .

Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція.

$$Q(p)=\frac{Q(p_0)}{p_0}{p}^{-1}$$, тобто обернена функція.

Корисність при постійній схильності до ризику.

Схильність особи до ризику (дисципліна «Економічний ризик») r (x) залежно від кількості багатства x обчислюють за формулою $$r(x)=\frac{U^{\text{'}\text{'}}(x)}{U^{\text{'}}(x)}$$, де U (x) — функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію корисності для особи зі сталою (незалежною від x) схильністю до ризику r (x)=r (як звичайно, r<0).

Потрібно розв’язати диференціальне рівняння r (x)= $$\frac{U^{\text{'}\text{'}}(x)}{U^{\text{'}}(x)}=r$$ за умов U (0)=0, U=k.

Маємо задачу Коші.

$$\{\begin{array}{c}\frac{U^{\text{'}\text{'}}(x)}{U^{\text{'}}(x)}=r\\ U(0)=0\\ U^{\text{'}}(0)=k\end{array}$$ ,.

тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U.

Будуємо характеристичне рівняння коренями якого є числа 0 та r.

Отримуємо загальний розв’язок:

U (x)=C1e02erC1+C2 er.

Враховуючи першу початкову умову U (0)=0, маємо C1= -C2, отже.

U (x)=C-C erx .

Друга початкова умова U=k дає.

— Ck, звідки C=(-k)/r .

Отже, функція корисності клієнта має вигляд $$U(x)=\frac{k}{r}{e}^{\text{rx}}-\frac{k}{r}$$.

Зокрема, при r = -0,2 та k=1.

$$U(x)=\frac{1}{-\mathrm{0,2}}{e}^{-\mathrm{0,2}x}-\frac{1}{-\mathrm{0,2}}$$ = 5−5e-0,2x .

U (x).

5.

x.

Рис. 8.2.

Отже, у разі сталої схильності до ризику r = -0,2 (незалежно від кількості багатства x) функція корисності клієнта має вигляд U (x)=5−5e-0,2x (рис. 8.2).