Независимость подій у прикладі Бернштейна із правильною тетраэдром

Независимость подій у прикладі Бернштейна з правильним тетраэдром

Реферат з дисципліни: «Теорія ймовірності та математична статистика».

Выполнил: Апаз С.В.

Крымский Економічний Інститут Київського Національного Економічного Университета Симферополь — 2002.

Независимость событий

Понятие незалежності, є однією з найважливіших понять теорії вероятностей.

События Проте й У називаються незалежними, якщо.

Р (АВ) = Р (А)Р (В). (1.1).

В разі Р (А) = 0 і Р (В) > 0 еквівалентні будь-якій з рівностей.

Р (А|В) = Р (А), Р (В|А) = Р (В). (1.2).

Определение незалежності формі (1.1) симетрично щодо Проте й У; умова (1.1) трохи ширшим, ніж умови (1.2).

Если математична модель, яка описувала деякі досвід, підібрана досить добре, то незалежним події реального досвіду відповідають подій моделі, незалежні себто визначення (1.1). Нехай, наприклад, досвід залежить від тому, що перший раз кидають дві симетричні монети. У позначеннях між іншим? = {РР, РР, РГ, ГР}; А = {РР, ГР} - перша монета випала гербом вгору, У = {РГ, Р} - друга монета випала гербів вгору. Припускаючи равновероятность елементарних подій, получим.

.

Таким чином, Р (АВ) = Р (А)Р (В). події Проте й У виявилися незалежними себто визначення (1.1).

Условная ймовірність. Незалежність подій і испытаний.

Начнем з прикладів. Нехай експеримент полягає у триразово підкиданні симетричній монети. Можливість те, що герб випаде рівно одного разу, тобто. що буде одна з елементарних подій (грр), (ргр), (ррг), у «класичній схемою одно 3/8. позначимо всі ці події буків А. Припустимо тепер, про результат експерименту додатково відомо, що відбулася подія.

В = {число що випали гербів нечетно}.

Какова ймовірність події При цієї додаткової інформації? Подія У складається з 4 елементарних фіналів. Подія ж, А складається з 3 фіналів події У. у межах класичної схеми природно ухвалити нову ймовірність події А рівної ¾.

Рассмотрим іще одна більш загальний приклад. Нехай задана класична схема з n наслідками. Подія, А складається з r фіналів, подія У з m фіналів, а подія АВ містить k фіналів. Можливість події При умови, що відбулася подія У, по аналогії з попереднім прикладом, природно визначити наступним образом:

.

Полученное ставлення одно , оскільки.

Р (АВ) = k/n.

Р (В) = m/n.

Мы можемо переступити тепер до загальному определению.

Пусть поставлено ймовірнісна простір á?, ?, Рñ і нехай Проте й У — довільні події. Якщо Р (В) > 0, то умовна ймовірність події При умови, що відбулася подія У, з визначення потрібно було рівної.

.

События Проте й У називаються незалежними, если Р (АВ) = Р (А) Некоторые властивості незалежних подій.

Если Р (В) > 0, то незалежність Проте й У еквівалентна равенству Р (А/В) = Р (А) Доказательство очевидно.

Если Проте й У незалежні, від незалежні? і В.

Действительно,.

Р (?В) = Р (В — АВ) = Р (В) — Р (АВ) = Р (В)(1 — Р (А)) = Р (?)Р (В) Пусть подія Проте й В1 незалежні і незалежні як і події Проте й В2, у своїй В1В2 = Ø. Тоді незалежні події Проте й В1+В2.

Следующие рівності доводять це властивість:

Р (А (В1+В2)) = Р (АВ1+АВ2) = Р (АВ2) = =Р (А)(Р (В1))+Р (В2)) = Р (А)Р (В1+В2).

Как побачимо нижче, вимога В1В2 = Ø тут существенно.

Пусть подія, А означає випадання герба у першому з цих двох бросаний симетричній монети, подія У — випадання грати у другому киданні. Можливість кожного з цих подій дорівнює ½. Можливість припинення АВ дорівнюватиме.

.

Таким чином, події Проте й У независимы.

Пусть подія, А у тому, що випадково кинута точка потрапила до області, распложенную правіше абсциссы а1, подія У — у цьому, що вищу точку потрапив у область розташовану вище ординати b.

На малюнку обидві області заштриховані. Подія АВ малюнку заштриховано в клітинку. Вочевидь, Р (АВ) = Р (А)Р (В) і, отже, події Проте й У независимы.

Легко перевірити також, що їли подія У означає, що кинута точка потрапила трикутник FCD, то подія Проте й У будуть вже залежними.

События В1, В2,…Вn незалежні разом, для будь-яких 1? i1<i2<…<ir? in=2,3,…, n.

.

.

Попарной незалежності подій замало незалежності n разом. Це показує наступний пример.

Рассмотрим такий. На площину впадає тетраэдр, три грань якого пофарбовані відповідно червоний, синій і зелений кольору, але в четверту завдані все три кольору подія До означає, що з киданні тетраедра на площину випала грань, що містить червоний колір, подія З — грань, що містить синій колір, й цю подію З — грань, що є зелений колір. Оскільки кожен із трьох квітів міститься двома гранях, то Р (К) = Р© = Р (З) = ½. Можливість перетинання будь-який пари веденных подій дорівнює ¼ = ½ ´ ½, оскільки будь-яка пара квітів присутсвует лише однієї межі. Це означає попарную незалежність всіх трьох подій.

Но:

.

Список литературы

Хеннекен П.О. «Теорія вероятности».

Гурский Є.І. «Теорія ймовірності та математична статистика».

Барковский В.В. «Теорія ймовірності та математична статистика».

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.