Вступ. 
Елементарні перетворення матриці

При знаходженні визначників матриць, при розв’язувані системи лінійних рівнянь матричним способом, при знаходженні оберненої матриці нам часто приходиться стикатися із складностями. Це може бути велика розмірність матриці, чи елементи матриці великі числа, які важко обчислити без допомоги калькулятора. Для спрощення таких матриць до таких що краще і зручніше буде обчислювати використовують елементарні перетворення матриць, які не змінюють значення її визначника, рангу. За допомогою цих перетворень ми отримуємо матрицю еквівалентну даній.

Означення елементарних перетворень матриці

Елементарні перетворення матриці — перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють множину розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яку представляє ця матриця.

Нехай задана матриця А, що складається з m рядків та n стовпців:

елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:

До них належать:

• 1. Транспонування матриці.
• 2. Множення будь-якого рядка (стовпця) матриці на будь-яке число, відмінне від нуля.
• 3. Прибавлення до будь-якого рядка (стовпця) будь-якого рядка (стовпця), помноженого на будь-яке число.
• 4. Лінійне комбінування рядків (стовпців).
• 5. Перестановка місцями будь-яких рядків (стовпців).

Ранг матриці при елементарних перетвореннях не змінюється.

Доведення. При будь-якому елементарному перетворенні детермінант або не змінює свого значення, або міняє знак. Так що всі нульові мінори матриці будуть залишатися нульовими. Всі ненульові мінори при будь-яких елементарних перетвореннях залишаться ненульовими. Отже ранг не зміниться.