Проблема Варинга. 
Представлення натуральних чисел у вигляді суми двох та чотирьох квадратів

Проблема теорії чисел, сформульована Е Варингом (Е, Waring) в 1770 р, в наступному виді: всяке натуральне число є сума чотирьох квадратів, дев’яти кубів, дев’ятнадцяти четвертих степенів. Іншими словами: для будь-кого існує таке, залежне тільки від і, що будь-яке натуральне число є сума Аі-степенів ненегативних цілих чисел. Перше загальне рішення проблеми Варинга з дуже грубою оцінкою величини k залежно від і дано в 1909 р, Д Гільбертом (D. Hilbert), у зв’язку з чим проблема Варинга іноді називається проблемою Гільберта — Варинга. Якщо через позначити число рішень в цілих ненегативних числах рівняння.

то теорема Гільберта затверджує, що існує, для якого при будь-кому .

У 1928 р. Г. X. Харді і Дж. І Літлвуд (G, Н, Hardy, J, Е, Littlewood), застосувавши до проблеми Варинга круговий метод, довели, що при має місце асимптотична формула виду.

де, а і - деякі постійні. Отже, при початкове рівняння має рішення. У зв’язку з цим результатом виникли три проблеми: встановити порядок трьох величин — найменших цілих чисел, для яких, :

• а) початкове рівняння вирішуване при і ;
• б) початкове рівняння вирішуване при і ;
• в) для величини при має місце приведена вище асимптотична формула
• а) Відомо, що

У 1934 р. І. М. Винограду за допомогою створеного їм методу довів, що.

Крім того, є багато результатів відносно G (n) для невеликих значень (X. Давенпорт, 1939), G (3) = 7 (Ю, В, Лінник, 1942).

б) В 1936 р. Л. Діксон і С Піллаі (L, Dickson, S, Pillai), застосувавши метод Виноградова, довели, що для усіх, для яких.

Остання ж умова доведена К. Малером (К. Mahler) в 1957 р, для усіх досить великих n.

в) Найкращий результат належить І. М. Виноградову, який довів, що.

Елементарний доказ проблеми Варинга даний Ю.В. Лінником в 1942 р. Існує багато різних узагальнень проблеми Варинга (змінні пробігають деяку підмножину безлічі натуральних чисел; замість одночленів в представленні числа n розглядаються многочлени, замість рівняння розглядається порівняння і т.д.

Особливе значення проблеми Варинга полягає в тому, що при її рішенні створені потужні методи аналітичної теорії чисел.