Контрольна робота

МИНИСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

Томський державний університет системам управління і радіоелектроніки (ТУСУР).

Кафедра Экономики.

Контрольна робота з дисципліни «Математичні моделі у Економіці «.

Варіант № 18.

Выполнил:

Студент грн. з822.

________ Васенин П.К.

Проверила:

________ Сидоренко М.Г.

р. Томськ 2003.

Задание № 1.

Объём випуску продукції Y залежить кількості вкладеного праці x як функція [pic]. Ціна продукції v, зарплата p. Інші витрати не враховуються. Знайти оптимальне кількість вкладеного труда.

Решение:

Оптимальное кількість вкладеного праці позначимо через X* Визначимо прибуток [pic] Скористаємося співвідношенням [pic] - тобто. приватні похідні прирівняємо до нулю, знайдемо оптимальне кількість вкладеного праці [pic].

Завдання № 2.

Даны залежності попиту D=200−2p і товарної пропозиції S=100+3p від ціни. Знайдіть рівноважну ціну, ціну коли він виручка максимальна і цю максимальну выручку.

Решение:

Равновесная ціна перебуває шляхом приравиевания попиту й пропозиції, тобто. 200−2p=100+3p; p*=20 — рівноважна ціна. Знайдемо прибуток при рівноважної ціні: [pic] Знайдемо ціну, визначальну максимум виручки: [pic] При p*(200−2p) максимум буває у точці p'=50 (визначили через похідну) W (50)=50*(200−2*50)=5000 Отже, максимальна виручка W (p')=5000 досягається не при рівноважної цене.

Задание № 3 Знайти рішення матричної гри (оптимальні стратегії і ціну гри) [pic]. Решение:

1- спосіб. Перевіримо на наявність седловой точки. Седловая точка є одночасно найменшим елементом рядки — і найбільшим елементом шпальти. У матриці седловой точки немає. [pic] Виграш першого, є випадкова величина із низкою распределения:

[pic] Знайдемо середній виграш за партію Першого — це математичне очікування випадкової величини W (x, y): [pic] Оптимальні стратегії гравців: [pic] 2 — спосіб. Якщо розв’язати гру як матричні гри двох гравців з травня нульової сумою, то тут для ігри робилися із матрицею [pic] оптимальні змішані для 1 і 2 гравців і гри виходять з рішення рівнянь: [pic] [pic] [pic] Звідки, Оптимальні стратегії гравців: [pic].

Задание № 4.

Для трехотраслевой економічної системи задано матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат [pic] і вектор кінцевої продукції [pic]. Знайти коефіцієнти повних матеріальних витрат двома шляхами (з допомогою формул звернення невиражених матриць і приближённо), заповнити схему міжгалузевого баланса.

Решение:

Определим матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат приближённо, враховуючи непрямі витрати до 2-го порядку включно. Матриця непрямих витрат першого порядку: [pic] Матриця непрямих витрат другого порядку: [pic] Отримуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат (приближённо): [pic] Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат з допомогою формул звернення невиражених матриць: Знаходимо матрицю (E-A): [pic] Обчислюємо визначник цієї матриці: [pic] Транспонируем матрицю (E-A): [pic] Знаходимо алгебраїчні доповнення для елемента матриці (E-A)': [pic] Отже: [pic].

Находим матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат: [pic].

Отже, розрахунки перших вражень і другим способом вийшли різні - це сталося внаслідок те, що другий спосіб найточнішим (розрахований за точним формулам), а перший шлях розрахований приближённо, без обліку непрямих витрат вище другого порядка.

Для заповнення міжгалузевого балансу необхідно знайти величину валової продукції: [pic].

Схема міжгалузевого баланса.

|Производящие |Споживають галузі | |галузі | | | |1 |2 |3 |Кінцева |Валова | | | | | |продукція |продукція | |1 |2574,67 |464,32 |0 |640 |3678,1 | |2 |1839,05 |232,16 |0 |250 |2321,6 | |3 |0 |232,16 |3328,64 |600 |4160,8 | |Умовно | | | | | | |чиста |-735,62 |1392,96 |832,16 |1490 | | |продукція | | | | | | |Валова |3678,1 |2321,6 |4160,8 | |10 160,5 | |продукція | | | | | |.

Задание № 5.

Проверить ряд [pic] на наявність викидів методом Ірвіна, згладити методом простий скользящеё середньої з інтервалом згладжування 3, методом експоненційного згладжування (а=0,1), уявити результати графічно, визначити для низки трендовую модель як полинома першого ступеня (лінійну модель), дайте точковий і интервальный прогноз втричі кроку вперёд.

Решение:

a) Перевіримо ряд на наявність викидів методом Ірвіна. Метод Ірвіна Служить для виявлення аномальних рівнів, тобто. — це окремий значення тимчасового низки яке відповідає потенційним можливостям досліджуваної економічної системи та яке, залишаючись як значення рівня низки, надає значний вплив на значення основних характеристик тимчасового низки, і на трендовую модель.

Для виявлення аномальних рівнів скористаємося формулою: [pic] [pic]Расчётные значення: |[pic] |2,8 |2,3 |1,5 |1,3 |1,2 |1,1 |1 |.

Таким чином, при порівнянні значень, виявляємо, що аномальних рівнів немає, тобто. [pic].

b) Згладимо методом простий ковзної середньої з інтервалом згладжування m=3: [pic].

|t |[pi|Метод простий ковзної середньої,| | |з] |[pic] | |1 |53 |— | |2 |51 |— | |3 |52 |52 | |4 |54 |52,3 | |5 |55 |53,6 | |6 |56 |55 | |7 |55 |55,3 | |8 |54 |55 | |9 |56 |55 | |10 |57 |55,6 |.

з) Згладимо експонентним методом з а=0,1 — параметр згладжування: [pic].

|t |[pi|Экспоненциальный метод, [pic] | | |з] | | |1 |53 |52,1 | |2 |51 |51,99 | |3 |52 |51,99 | |4 |54 |52,19 | |5 |55 |52,47 | |6 |56 |52,82 | |7 |55 |53,04 | |8 |54 |53,14 | |9 |56 |53,42 | |10 |57 |53,78 |.

d) Уявімо результати графічно: [pic].

e) Визначимо для низки трендовую модель як полинома першого ступеня (лінійну модель): [pic].

Необхідно оцінити адекватність і точність побудови моделі, тобто. необхідним є дотримання наступних умов: a) Перевірка випадковості коливань рівнів залишкової послідовності: [pic] Перевірку випадковості рівнів низки проведемо критерієм піків, має выполняться:[pic] [pic].

|t |Фактичне |Расчётное |Відхилення |Крапки піків| | |[pic] |[pic] |[pic] | | |1 |53 |51,97 |1,03 |— | |2 |51 |52,49 |-1,49 |1 | |3 |52 |53 |-1 |0 | |4 |54 |53,52 |0,48 |0 | |5 |55 |54,03 |0,97 |0 | |6 |56 |54,55 |1,45 |1 | |7 |55 |55,06 |-0,06 |0 | |8 |54 |55,58 |-1,58 |1 | |9 |56 |56,09 |-0,09 |0 | |10|57 |56,61 |0,39 |— | |55|543 |542,9 |0,1 |3 |.

b) Перевірка відповідності розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу: [pic].

[pic] Необхідні умови: [pic].

Якщо такі умови виконуються одночасно, то гіпотеза — про характері розподілу випадкової компоненти приймається, якщо виконується хоча б один з наступних неравенств:

[pic] то гіпотеза — про нормальному розподілі відхиляється, трендовая модель визнається неадекватною. 1)[pic] 2)[pic].

Отже, одна з нерівностей не виконується, трендовая модель неадекватна, отже, подальше дослідження немає смысла.

Задание № 6.

Пункт по прийому квартир працює у режимі відмови і і двох бригад. Інтенсивність потоку [pic], продуктивність пункту [pic]. Визначити можливість, що обидві каналу вільні, один канал зайнятий, обидва каналу зайняті, ймовірність відмови, відносну і абсолютну пропускну здібності, середня кількість зайнятих бригад.

Решение:

Коэффициент використання (кількість заявок, вступників під час використання однієї заявки) [pic] a) Можливість те, що обидва каналу вільні: [pic] b) Можливість те, що один каналу зайнятий: [pic] з) Можливість те, що обидва каналу зайняті: [pic] d) Можливість відмови від заявці: [pic] e) Відносна пропускну здатність: [pic] f) Абсолютна пропускну здатність: [pic] g) Середнє число зайнятих бригад: [pic].