Метод кінцевих разностей чи метод сеток

Значительнаое число завдань фізики та техніки призводять до диференційним рівнянням у приватних прозводных (рівняння математичної фізики). Що Встановилися процеси різної фізичної природи описуються рівняннями еліптичного типа.

Точні рішення крайових завдань для еліптичних рівнянь вдається отримати лише приватних випадках. Ці завдання вирішують переважно приближённо. Однією з найбільш універсальних і найефективніших методів, які отримали час стала вельми поширеною для приближённого рішення рівнянь математичної фізики, є метод кінцевих разностей чи метод сеток.

Суть методу ось у чому. Область безперервного зміни аргументів, замінюється дискретним безліччю точок (вузлів), яке називається сіткою чи гратами. Замість функції безперервного аргументу розглядаються функції дискретного аргументу, певні в вузлах сітки і звані сеточными функціями. Похідні, що входять до диференціальний рівняння і граничні умови, замінюються разностными похідними, при цьому крайова мета диференціального рівняння замінюється системою лінійних чи нелінійних алгебраїчних рівнянь (сіткових чи разностных рівнянь). Такі системи часто називають разностными схемами. Після цього схеми вирішуються щодо невідомої сеточной функции.

Далі ми розглядати застосування итерационного методу Зейделя для обчислення невідомої сеточной функції в крайової завданню з неоднорідним бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Нехай ми маємо бигармоническое рівняння :

U = f.

Заданий на області G={ (x, y): 0.