Об одному узагальненні логістичній моделі динаміки популяцій з обмеженою часом життя особин

Об одному узагальненні логістичній моделі динаміки популяцій з обмеженою часом життя особей

Н.В. Перців, Омський державний педагогічний університет, кафедра математичного анализа.

1. Введение

Одной з класичних моделей динаміки популяцій є логістична модель чи модель Ферхюльста-Пирла, яка описується диференційним рівнянням.

.

с початковим умовою , де параметри характеризують інтенсивності його й загибелі особин популяції. Рішення рівняння (1), як відомо, має вигляд.

.

а графік x (t) є так звану логистическую криву. Модель (1) і його різні модифікації докладно вивчені у низці робіт, см., например, [1, з. 14], [2, з. 11].

В справжньої роботи розглядається одне із варіантів моделі (1), у якому враховується обмеженість часу життя особин популяції. Будемо припускати, що особини популяції, народжені час t, протягом певного періоду можуть виробляти нових особин популяції (з інтенсивністю ), або можуть гинути (з інтенсивністю ). Особи, які дожили досі часу , гинуть, не залишаючи потомства. Параметр означає граничне тривалість життя особин популяції. Початкова розподіл особин по віку будемо ставити неотрицательной, безупинної функцією . При зроблених припущеннях чисельність x (t) популяції описується интегро-дифференциальным рівнянням [3].

.

.

.

с початковим умовою.

.

Ниже досліджуються властивості рішень рівняння (2) з початковим умовою (3).

2. Основні результаты

В рівнянні (2) при під розуміється правобічна похідна. Зробимо заміну . Тоді x (t) задовольняє співвідношенню.

.

в якому y (t) розв’язує наступного лінійного диференціального рівняння з запізненням:

.

.

.

При під розуміється правобічна похідна. Рівняння (5) то, можливо проинтегрировано по відрізкам виду , n = 0,1,2,…,. Звідси випливає, що рівняння (5) має єдине рішення y (t), визначене . Неважко помітити, що y (t) є неотрицательной функцією, причому, якщо x (0)>0, то y (t)>0, Якщо ж x (0)=0, то y (t)=0 попри всі . Застосовуючи до рівнянню (4) принцип стискають відбиття [4, з. 11], отримуємо, що рівняння (2) з початковим умовою (3) має єдине ненегативне рішення x (t), визначене . З (4) слід, що x (t)>0, якщо x (0)>0 і x (t)=0, якщо x (0)=0, . Досліджуємо далі залежність властивостей рішень x (t) від параметрів моделі (нижче скрізь прийнято, що x (0)>0).

Примем, що параметри такі: , , де — єдиний позитивний корінь рівняння . Тоді функція є рішенням рівняння (5). З нерівності слід, що при . Нехай тепер і , де — єдиний позитивний корінь рівняння . Функція є рішенням рівняння (5). Підставляючи y2(t) в (4) і дифференцируя обидві частини, отримуємо, що x (t) задовольняє рівнянню.

.

которое з точністю до позначень збігаються з рівнянням (1). Маємо, що x (t) — монотонна функція і при , де , причому x* - єдиний позитивний корінь рівняння . Якщо і , то рівняння (5) має рішення . Тоді x (t) задовольняє рівнянню , звідки слід, що при . Зауважимо, що в усіх цих випадках — рішення x (t) моделі (2) то, можливо записано вочевидь.

Для дослідження використовуємо результати своєї роботи [5], у якій вивчені асимптотические властивості рішень диференціального рівняння . Застосовуючи ці результати до рівнянню (5), матимемо: 1) якщо , то при , 2) якщо , то, при функція y (t) еквівалентна экcпоненте , де — деякі константи. Зазначені властивості y (t) не залежить від виду функції . Звідси безпосередньо випливає, що з і y*=0 існує . Для інших випадків використовуємо таке співвідношення.

Зафиксируем h>0. З рівняння (4) маємо, що з всіх вірно.

.

Примем, що і y*>0. Співвідношення (7) то, можливо записано як , де . З огляду на позитивність x (t), з останнього рівності отримуємо, що з досить великих t нічого для будь-якого h>0 вірно нерівність x (t+h)/x (t) < 1 і, отже, існує .

Пусть тепер . Тоді з (7) одержимо, що , де . Останнє рівність можемо переписати як.

.

Из (8) видно, поведінка x (t) на деякому кінцевому полуинтервале [0,T), T>0 може мати як монотонний, і коливальний характер. Справді, нехай досить мало, . Якщо попри всі , тут маємо, що і x (t) — зростаюча (убутна) функція, . Якщо враховувати вплив доданка , то, очевидно, можливі випадки, коли x (t) перетинає рівень x = x* при деяких . Покажемо далі, що є . Нехай t дуже багато і x (t) < x*. Може бути, що з всіх h>0 вірно . Тоді x (t+h)/x (t) > 1 і, отже, зазначений межа існує. Припустимо тепер гидке. Означимо через t+h1 момент першого перетину функцією x (t) рівня x = x*, інакше, , де h2 — певна кількість. З (8) отримуємо, що x (t+h2)/x (t+h1) =.

.

откуда дійшли протиріччю: x (t+h2) < x (t+h1)=x*. Аналогічно розглядається випадок x (t) > x*. Отже, якщо досить великих t вірно , то, при всіх . Звідси випливає існування , який, очевидно, дорівнює x*. Якщо навіть за деякому досить великому t виявиться, що x (t) = x*, то або за всіх і , або знайдеться такий t1 > t, що x (t1) < x* чи x (t1) > x*, що зводиться до раніше розглянутим випадків.

3. Заключение

Установленные вище результати показують, що модель (2) природно узагальненням моделі (1) в припущенні, що особини популяції мають обмежений тривалість життя . Для детального порівняння цих моделей виділимо в моделі (1) складова, відповідальна за загибель особин внаслідок процесів старіння. Параметр замінимо на , де під розуміється середнє тривалість життя особин, а як і означає інтенсивність народження особин популяції. Тоді замість (1) будемо розглядати рівняння.

.

с початковим умовою x (0) = x0. Означимо через x2(t) і x9(t) рішення моделей (2) і (9) відповідно.

При рішення обох моделей йдуть до нуля при , інакше кажучи, розглянута популяція вироджується. Якщо і початкова розподіл особин за віком у моделі (2) має вигляд , ця модель перетворюється на модель (6), яка від моделі (9) лише коефіцієнтом при x (t). Рішення x6(t) моделі (6) і x9(t) носять монотонний характері і утворюють логистическую криву. Можна показати, що . Звідси слід, що у аналізованому разі . З іншого боку, при , , причому x* > x*. Якщо як і , але початкова розподіл особин за віком у моделі (2) довільно, те з зростанням t рішення x2(t) наближається до x* або монотонно, або з загасаючими коливаннями. Рішення x9(t) таких коливань немає. Зауважимо, що з досить великих t чисельність популяції підтримуватиметься лише на рівні x* в моделі (2) і рівні x* в моделі (9). Отже, в моделі (2) забезпечується більш високий граничний розмір чисельності популяції, ніж у моделі (9).

Таким чином, за певних співвідношеннях на параметри моделі (2) її вирішення якісно збігаються з рішеннями класичної моделі (9). Разом про те є й істотні розбіжності рішення цих моделей, зумовлені урахуванням обмеженості часу життя особин популяції.

В завершення відзначимо, що співвідношення (7) можна використовувати для чисельного рішення рівняння (4). Як зазначалося вище, рівняння (5) то, можливо вирішено аналітично або може бути проинтегрировать чисельно. Тож у (7) y (t), y (t+h) вважатимуться відомими. Аппроксимируя інтеграл з допомогою одній з стандартних формул (наприклад, за такою формулою трапецій), одержимо (неявний) рекуррентное співвідношення перебування чисельного рішення xn (t) рівняння (4), що є численным рішенням аналізованої моделі (2). Проведений обчислювальний експеримент засвідчив у частковості, що форму для затухали коливань в моделі (2) визначається, переважно, виглядом функції .

Список литературы

Свирежев Ю. М. Нелинейные хвилі, диссипативные структури та катастрофи в екології. М.: Наука, 1987.

Динамическая теорія біологічних популяцій / Під ред. Р. А. Полуектова. М.: Наука, 1974.

Перцев Н. В. Застосування одного диференціального рівняння з последействием в моделях динаміки популяцій // Фундаментальна і прикладна математика / Під ред. О. К. Гуца: Рб. наук. тр. Омськ, 1994. З. 119 — 129.

Красносельский М.А. та інших. Близьке рішення операторных рівнянь. М.: Наука, 1969.

Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 — 101.

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.