Рациональные рівняння і неравенства

Рациональные рівняння і нерівності Зміст

I. Раціональні уравнения.

Лінійні рівняння. Системи лінійних рівнянь. Квадратні рівняння і рівняння, що зводяться до них. Поворотні рівняння. Формула Виета для багаточленів вищих ступенів. Системи рівнянь другого ступеня. Метод запровадження нових невідомих під час вирішення рівнянь і систем рівнянь. Однорідні рівняння. Рішення симетричних систем рівнянь. Рівняння і системи рівнянь з параметрами. Графічний метод рішення систем нелінійних рівнянь. Рівняння, містять знак модуля. Основні на методи вирішення раціональних рівнянь

II. Раціональні неравенства.

Властивості рівносильних нерівностей. Алгебраїчні нерівності. Метод інтервалів. Дробно-рациональные нерівності. Нерівності, містять невідоме під знаком абсолютної величини. Нерівності з параметрами. Системи раціональних нерівностей. Графічне рішення нерівностей.

III. Перевірочний тест.

Раціональні рівняння

Функция вида.

P (x) = a0xn + a1xn — 1 + a2xn — 2 + … + an — 1x + an,.

где n — натуральне, a0, a1,…, an — деякі справжні числа, називається цілої раціональної функцией.

Уравнение виду P (x) = 0, де P (x) — ціла раціональна функція, називається цілим раціональним уравнением.

Уравнение вида.

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm (x) / Qm (x) = 0,.

где P1(x), P2(x), …, Pm (x), Q1(x), Q2(x), …, Qm (x) — цілі раціональні функції, називається раціональним уравнением.

Решение раціонального рівняння P (x) / Q (x) = 0, де P (x) і Q (x) — багаточлени (Q (x)? 0), зводиться до вирішення рівняння P (x) = 0 і перевірці те, що коріння задовольняють умові Q (x)? 0.

Лінійні рівняння.

Уравнения виду ax+b=0, де a і b — деякі постійні, називається лінійним уравнением.

Если a? 0, то лінійне рівняння має єдиний корінь: x = -b /a.

Если a=0; b? 0, то лінійне рівняння рішень не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписавши вихідне рівняння як ax = -b, то зрозуміло, що будь-який x розв’язує лінійного уравнения.

Уравнение прямий має вигляд: y = ax + b.

Если пряма проходить через точку з координатами X0 і Y0, то ці координати задовольняють рівнянню прямий, т. е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1. Вирішити рівняння.

2x — 3 + 4(x — 1) = 5.

Решение. Послідовно відкриємо дужки, наведемо подібні члени уряду й знайдемо x: 2x — 3 + 4x — 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,.

6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2. Вирішити рівняння.

2x — 3 + 2(x — 1) = 4(x — 1) — 7.

Решение. 2x + 2x — 4x = 3 +2 — 4 — 7, 0x = - 6.

Ответ:? .

Пример 1.3. Вирішити уравнение.

2x + 3 — 6(x — 1) = 4(x — 1) + 5.

Решение. 2x — 6x + 3 + 6 = 4 — 4x + 5,.

— 4x + 9 = 9 — 4x,.

— 4x + 4x = 9 — 9,.

0x = 0.

Ответ: Будь-яке число.

Системи лінійних рівнянь.

Уравнение виду.

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,.

где a1, b1, …, an, b —деякі постійні, називається лінійним рівнянням з n невідомими x1, x2, …, xn.

Система рівнянь називається лінійної, коли всі рівняння, що входять до систему, є лінійними. Якщо цю систему з n невідомих, можливі такі три случая:

система має не має рішень; система має одне правильне рішення; система має нескінченно багато рішень.

Пример 2.4. вирішити систему уравнений.

.

Решение. Вирішити систему лінійних рівнянь можна способом підстановки, який у тому, що будь-якого рівняння системи висловлюють одне невідоме через інші невідомі, та був підставляють значення цієї невідомого в інші уравнения.

Из першого рівняння висловлюємо: x= (8 — 3y) / 2. Підставляємо цей вислів на друге рівняння й одержуємо систему рівнянь.

.

Из другого рівняння отримуємо y = 2. З урахуванням цього з першого рівняння x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример 2.5. Вирішити систему уравнений.

.

Решение. Система немає рішень, оскільки два рівняння системи що неспроможні задовольнятися одночасно (з першого рівняння x + y = 3, та якщо з другого x + y = 3,5).

Ответ: Рішень нет.

Приклад 2.6. вирішити систему уравнений.

.

Решение. Система має нескінченно багато рішень, оскільки друге рівняння виходить з першого шляхом множення на 2 (тобто. фактично є лише одне рівняння з цими двома неизвестными).

Ответ: Нескінченно багато решений.

Приклад 2.7. вирішити систему уравнений.

.

Решение. За позитивного рішення систем лінійних рівнянь зручно користуватися методом Гаусса, яка полягає у перетворенні цієї системи до трикутникове виду.

Умножаем перше рівняння системи на — 2 і, складаючи отриманого результату з іншим рівнянням, отримуємо — 3y + 6z = - 3. Це рівняння можна переписати як y — 2z = 1. Складаючи перше рівняння з третім, отримуємо 7y = 7, чи y = 1.

Таким чином, система придбала трикутний вид.

.

Подставляя y = 1 на друге рівняння, знаходимо z = 0. Підставляючи y =1 і z = 0 до першого рівняння, знаходимо x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2.8. яких значеннях параметра a система уравнений.

.

имеет нескінченно багато решений?

Решение. З першого рівняння висловлюємо x:

x = - (a / 2) y + a / 2 +1.

Подставляя цей вислів на друге рівняння, отримуємо.

(a + 1)(- (a / 2) y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее помножимо обидві частини рівняння на 2 і спростимо его:

(a + 1)(a + 2 — ay) + 4ay = 4a + 8,.

4ay — a (a + 1) y = 4(a + 2) — (a + 1)(a + 2),.

ya (4 — a — 1) = (a + 2)(4 — a — 1),.

ya (3 — a) = (a + 2)(3 — a).

Анализируя останнє рівняння, відзначимо, що з a = 3 він має вид 0y = 0, тобто. воно задовольняється за будь-яких значеннях y.

Ответ: 3.

Квадратні рівняння і рівняння, які зводяться до них.

Уравнение виду ax2 + bx + з = 0, де a, b і з — деякі числа (a? 0);

x — змінна, називається квадратним рівнянням.

Формула рішення квадратного рівняння.

Сначала розділимо обидві частини рівняння ax2 + bx + з = 0 на a — від імені цієї коріння не зміняться. Аби вирішити получившегося уравнения.

x2 + (b / a) x + (з / a) = 0.

выделим у частині повний квадрат.

x2 + (b / a) + (з / a) = (x2 + 2(b / 2a) x + (b / 2a)2) — (b / 2a)2 + (з / a) =.

= (x + (b / 2a))2 — (b2) / (4a2) + (з / a) = (x + (b / 2a))2 — ((b2 — 4ac) / (4a2)).

Для стислості позначимо вираз (b2 — 4ac) через D. Тоді отримане тотожність прийме вид.

x2 + (b / a) x + (з / a) = (x + (b / 2a))2 — (D / (4a2)).

Возможны три случая:

якщо число D позитивно (D > 0), то цьому випадку можна з D квадратний корінь та не записати D як D = (? D)2. Тоді

D / (4a2) = (? D)2 / (2a)2 = (? D / 2a)2, тому тотожність приймає вид.

x2 + (b / a) x + (з / a) = (x + (b / 2a))2 — (? D / 2a)2.

По формулі різниці квадратів виводимо отсюда:

x2 + (b / a) x + (з / a) = (x + (b / 2a) — (? D / 2a))(x + (b / 2a) + (? D / 2a)) =.

= (x — ((-b +? D) / 2a)) (x — ((- b —? D) / 2a)).

Теорема: Якщо виконується тождество.

ax2 + bx + з = a (x — x1)(x — x2),.

то квадратне рівняння ax2 + bx + з = 0 при X1? X2 має дві кореня X1 і X2, а при X1 = X2 — лише одне корінь X1.

В силу цієї теореми з, виведеного вище, тотожності слід, що рівняння.

x2 + (b / a) x + (з / a) = 0,.

а тим самим рівняння ax2 + bx + з = 0, має дві корня:

X1=(-b +? D) / 2a; X2= (-b —? D) / 2a.

Таким чином x2 + (b / a) x + (з / a) = (x — x1)(x — x2).

Обычно ці коріння записують однієї формулой:

где b2 — 4ac = D.

если число D одно нулю (D = 0), то тотожність

x2 + (b / a) x + (з / a) = (x + (b / 2a))2 — (D / (4a2)).

принимает вид x2 + (b / a) x + (з / a) = (x + (b / 2a))2.

Отсюда слід, що з D = 0 рівняння ax2 + bx + з = 0 має один корінь кратності 2: X1 = - b / 2a.

3) Якщо D негативно (D < 0), то — D > 0, і тому вираз.

x2 + (b / a) x + (з / a) = (x + (b / 2a))2 — (D / (4a2)).

является сумою двох доданків, одна з яких неотрицательно, а інше позитивно. Таку суму неспроможна рівнятися нулю, тому рівняння.

x2 + (b / a) x + (з / a) = 0.

не має дійсних коренів. Немає їх і рівняння ax2 + bx + з = 0.

Таким чином, на вирішення квадратного рівняння слід обчислити дискриминант.

D = b2 — 4ac.

Если D = 0, то квадратне рівняння має єдине решение:

X=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратне рівняння має дві корня:

X1=(-b +? D) / (2a); X2= (-b —? D) / (2a).

Если D < 0, то квадратне рівняння немає корней.

Если одне із коефіцієнтів b чи з нульовий, то квадратне рівняння можна вирішити, не вираховуючи дискриминанта:

b = 0; з? 0; з / a 0;

X1 = (- 5 +? 33) / 4; X2 = (- 5 -? 33) / 4.

Ответ: X1 = (- 5 +? 33) / 4; X2 = (- 5 -? 33) / 4.

Пример 3.10. Вирішити рівняння x3 — 5×2 + 6x = 0.

Решение. Розкладемо ліву частина рівняння на множники x (x2 — 5x + 6) = 0,.

отсюда x = 0 чи x2 — 5x + 6 = 0.

Решая квадратне рівняння, отримуємо X1 = 2, X2 = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x3 — 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишемо рівняння, записавши -3x = - x — 2x, x3 — x — 2x + 2 = 0, тепер группируем.

x (x2 — 1) — 2(x — 1) = 0,.

(x — 1)(x (x + 1) — 2) = 0,.

x — 1 = 0, x1 = 1,.

x2 + x — 2 = 0, x2 = - 2, x3 = 1.

Ответ: x1 = x3 = 1, x2 = - 2.

Приклад 3.12. Вирішити рівняння.

.

Решение. Знайдемо область допустимих значень x:

X + 2? 0; x — 6? 0; 2x — 7? 0 чи x? — 2; x? 6; x? 3,5.

Приводим рівняння до виду (7x — 14)(x2 — 7x + 12) = (14 — 4x)(x2 — 4x — 12), розкриваємо скобки.

7x3 — 49×2 + 84x — 14×2 + 98x — 168 + 4×3 — 16×2 — 48x — 14×2 + 56x + 168 = 0,.

11×3 — 93×2 + 190x = 0,.

x (11×2 — 93x + 190) = 0,.

x1 = 0.

11×2 — 93x + 190 = 0,.

.

т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.

Найденные значення задовольняють ОДЗ.

Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.

Приклад 3.13. Вирішити рівняння x6 — 5×3 + 4 = 0.

Решение. Означимо y = x3, тоді вихідне рівняння набирає вигляду.

y2 — 5y + 4 = 0, вирішивши яке отримуємо Y1 = 1; Y2 = 4.

Таким чином, вихідне рівняння еквівалентно сукупності.

уравнений: x3 = 1 чи x3 = 4, т. е. X1 = 1 чи X2 = 3? 4.

Ответ: 1; 3? 4.

Приклад 3.14. Вирішити рівняння (x3 — 27) / (x — 3) = 27.

Решение. Розкладемо чисельник на множники (за такою формулою різниці кубов):

(x — 3)(x2 + 3x + 9) / (x — 3) = 27. Отсюда:

.

Квадратное рівняння x2 + 3 x — 18 = 0 має X1 = 3; X2 = -6.

(X1 не входить у область допустимих значений).

Ответ: -6.

Приклад 3.15. Вирішити рівняння.

(x2 + x -5) / x + (3x) / (x2 + x — 5) = 4.

Решение. Означимо y= (x2 + x — 5) / x, тоді отримуємо рівняння y + 3 / y = 4.

Преобразуем його: y + 3 / y — 4 = 0, (y2 — 4y + 3) / y = 0, звідси.

.

.

Квадратное рівняння y2 — 4y + 3 = 0 має Y1 = 1; Y2 = 3 (обидва кореня входить у область допустимих значень).

Таким чином коріння, вихідне рівняння еквівалентно (рівносильне) сукупності рівнянь.

(x2 + x — 5) / x = 1 чи (x2 + x — 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x2 + x — 5) / x — 1 = 0 чи (x2 + x — 5) / x — 3 = 0;

.

X1 =? 5; X2 = -? 5 чи X3 = 1 +? 6; X4 = 1 —? 6.

(все знайдені коріння рівняння входить у область допустимих значений).

Ответ:? 5; -? 5; 1 +? 6; 1 —? 6 .

Пример 3.16. Вирішити рівняння x (x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение. Перегруппируем сомножители і перетворимо отримане уравнение.

(x + 2)(x + 3)(x + 5) x = 72, (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.

Обозначим y = x2 + 5x, тоді одержимо рівняння (y + 6) y = 72, чи.

y2 + 6y — 72 = 0.

Корни цього рівняння: Y1 = 6; Y2 = - 12.

Таким чином, вихідне рівняння еквівалентно сукупності рівнянь.

x2 + 5x = 6 чи x2 + 5x = - 12.

Первое рівняння має X1 = 1; X2 = - 6. Друге рівняння коренів немає, оскільки D = 26 — 48 = - 23 < 0.

Ответ: — 6; 1.

Пример 3.17. Вирішити рівняння 4×2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.

Решение. Згрупуємо складові: 4(x2 + 1 / (x2)) + 12(x + 1 / x) = 47.

Обозначим y = x + 1 / x, у своїй зауважимо, що.

y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2),.

отсюда x2 + 1 / (x2) = y2 — 2. З урахуванням цього отримуємо рівняння.

4(y2 — 2) + 12y = 47, чи 4y2 + 12y — 55 = 0.

Это квадратне рівняння має Y1 = 5 / 2; Y2 = - 11 / 2.

Исходное рівняння еквівалентно сукупності рівнянь.

x + 1 / x = 5 / 2 чи x + 1 / x = - 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x — 5 /2 = 0 чи x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

.

X1 = 2; X2 = 1 / 2 чи X3 = (- 11 +? 105) / 4; X4 = (-11 —? 105) / 4.

(все знайдені коріння рівняння входить у область допустимих значений).

Ответ: 2; 0,5; (- 11 +? 105) / 4; (-11 —? 105) / 4.

Пример 3.18. Вирішити уравнениеx3 — x2 — 9x — 6 = 0.

Решение. Угадаємо хоча б тільки корінь даного рівняння. «Кандидатами» в целочисленные коріння (лише їх є якась надія відгадати) є числа.

± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Подстановкой у початковий рівняння переконуємося, що X = -2 є його корнем.

.

Разделим багаточлен x3 — x2 — 9x — 6 на двочлен x + 2.

x3 — x2 — 9x — 6 = (x + 2)(x2 — 3x — 3) = 0.

Решив тепер рівняння x2 — 3x — 3 = 0,.

получаем X2 = (3 —? 21) / 2, X3 = (3 +? 21) / 2.

Ответ: x? {-2; (3 —? 21) / 2; (3 +? 21) / 2}.

Пример 3.19.

x3 — x2 — 8x + 6 = 0.

Решение. Тут an = 1, a0 = 6. Тому, якщо це рівняння має раціональні коріння, їх слід шукати серед делителей числа 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Перевіркою переконуємося, що x = 3, т.к. 27 — 9 — 24 + 6 = 0.

Делим (x3 — x2 — 8x + 6) на (x — 3).

Получаем: x3 — x2 — 8x + 6 = (x — 3)(x2 + 2x — 2), тобто. дане рівняння можна як (x — 3)(x2 + 2x — 2) = 0. Звідси знаходимо, що x1 = 3 — рішення, знайдене добором, x2,3 = - 1 ±? 3 — з рівняння x2 + 2x — 2 = 0.

Ответ: x1 = 3; x2,3 = - 1 ±? 3.

Пример 3.20.

4x4 + 8×3 + x2 — 3x — 1 = 0.

Решение. Тут an = 4, a0 = -1. Тому раціональні коріння рівняння слід шукати серед чисел: ± 1; ± 0,5; ± 0,25 (делители 4 є ± 1; ± 2; ± 4, делители (- 1) є ± 1). Якщо x = +1, то 4 + 8 + 1 — 3 — 1? 0; якщо x = - 0,5, то.

4 / 16 — 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 — 1 = 0, тобто. x = - 0,5 корінь рівняння. Ділимо.

(4×4 + 8×3 + x2 — 3x — 1) на (x + 0,5):

Данное рівняння можна як: (x + 0,5)(4×3 + 6×2 — 2x — 2) = 0.

Отсюда x1 = - 0,5 (рішення, знайдене добором) і 4×3 + 6×2 — 2x — 2 = 0, тобто. 2×3 + 3×2 — x — 1 = 0. Аналогічно знаходимо коріння цієї рівняння: x = - 0,5. Знову делим.

Имеем: (x + 0,5)(2×2 + 2x — 2) = 0. Звідси x2 = - 0,5 і x3,4 = (- 1 ±? 5) / 2.

Ответ: x1 = x2 = - 0,5; x3,4 = (- 1 ±? 5) / 2.

Замечание: знаючи, що x = - 0,5, годі й займатися розподілом, а й просто виділити за дужки множник (x + 0,5). З 2×3 + 3×2 — x — 1 = 0 следует:

2x3 + 3×2 — x — 1 = 2×3 + x2 +2×2 + x — 2x — 1 = 2×2(x + 0,5) + 2x (x + 0,5) — 2(x+0,5) =.

= (x +2)(2×2 + 2x — 2) = 0.

x1 = - 0,5; x3,4 = (- 1 ±? 5) / 2.

Поворотні рівняння.

Уравнение виду.

anxn + an — 1 xn — 1 + … +a1x + a0 = 0.

называется поворотним, якщо його коефіцієнти, які стоять на симетричних позиціях, рівні, тобто коли.

an — 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим ще одне рівняння четвертої ступеня вида.

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,.

где a, b і з — деякі числа, причому a? 0. Його зручно розв’язувати з допомогою наступного алгоритма:

розділити ліву праву частини рівняння на x2. У цьому немає втрати рішення, оскільки x = 0 перестав бути коренем вихідного рівняння при a? 0; угрупованням привести отримане рівняння до виду

a (x2 + 1 / x2) + b (x + 1 / x) + з = 0;

запровадити нову зміну t = x + 1 / x, тоді выполнено

t2 = x2 + 2 + 1 / x2, тобто x2 + 1 / x2 = t2 — 2;

в нових змінних аналізованих рівняння є квадратным:

at2 + bt + з — 2a = 0;

вирішити його щодо t, повернутися до початкової переменной.

Для зворотних рівнянь вищих ступенів вірні такі утверждения.

Возвратное рівняння чётной ступеня зводиться до рівнянню вдвічі меншою мірою подстановкой.

x + 1 / x = t.

Возвратное рівняння нечётной ступеня обов’язково має корінь x= -1 і після розподілу багаточлена, який стояв у лівої частини цієї рівняння, на двочлен x + 1, наводиться до возвратному рівнянню чётной степени.

Пример 4.21. Розглянемо, наприклад, ще одне рівняння п’ятої степени.

ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0.

Легко бачити, що x = - 1 є коренем цього рівняння, тому по теоремі Безу багаточлен у частині рівняння ділиться на x + 1. Таке розподілу вийде ще одне рівняння четвертої степени.

Довольно часто у процесі вирішення завдань вступних іспитів виникають раціональні рівняння ступеня вище другий, які вдається вирішити з допомогою очевидною заміни перемінної. І тут спробуйте відгадати який-небудь корінь рівняння. Якщо спроба виявиться успішної, то Ви скористаєтеся наслідком 1 теореми Безу і понизите на одиницю ступінь вихідного рівняння. «Кандидатів» в коріння багаточлена з целочисленными коефіцієнтами слід шукати серед делителей вільного члена цього багаточлена. Якщо ж спроба вгадати коріння виявилася цілком невдалою, то, можливо, Ви обрали «інший» метод рішення, і є інший метод, реалізація якого вимагає розв’язання рівняння третьої чи більшої степени.

Формули Виета для багаточленів вищих ступенів.

Пусть багаточлен P (x) = a0xn + a1xn — 1 + … + an.

имеет n різних коренів X1, X2, …, Xn. І тут вона має розкладання на множники вида.

a0xn + a1xn — 1 + … + an = a0(x — x1)(x — x2)…(x — xn).

Разделим обидві частини цієї рівності на a0? 0 і відкриємо дужки. Одержимо равенство.

Xn + (a1 / a0) xn — 1 + … + (an / a0) =.

= xn — (x1 + x2 + … +xn)xn — 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn — 2 +.

+ … + (-1)nx1x2…xn.

Но два багаточлена тотожний рівні тому й в тому разі, коли коефіцієнти при однакових ступенях рівні. Звідси випливає, що виконуються равенства.

x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,.

x1x2 + x1x3 + … + xn — 1xn = a2 / a0,.

…

x1x2* … * xn = (-1)nan / a0.

Пример 5.22. Напишемо кубічне рівняння, коріння якого є квадратами коренів рівняння x3 — 3×2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Означимо коріння заданого рівняння через x1, x2 і x3. Тоді формулам Виета имеем.

s 1 = x1 + x2 +x3 = 3,.

s 2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,.

s 3 = x1x2x3 = - 5.

Корни шуканого рівняння позначимо літерами y1, y2, y3, яке коефіцієнти — літерами b1, b2, b3, поклавши коефіцієнт при y3 рівним 1. За умовою їх необхідно виконувати рівності y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 і поэтому.

b1 = - (y1 + y2 + y3) = - (x12 + x22 + x32),.

b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12×22 + x12×32 + x22×32,.

b3 = - y1y2y3 = - x12×22×32 .

Но имеем.

x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 — 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = p. s 12 — 2s 2 = 32 — 2* 7 = - 5,.

x12×22 + x12×32 + x22×32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 — 2x1x2x3(x1 + x2 +x3)= p. s 22 — 2s 1s 3 = = 72 — 2* 3* (- 5)= 79,.

x12×22×32 = (x1x2x3)2 = p. s 32 = 25.

Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = - 25, і тому дані рівняння має вид.

y3 + 5y2 + 79y — 25 = 0.

Ответ: y3 + 5y2 + 79y — 25 = 0.

Системи рівнянь другого ступеня.

В найпростіших випадках під час вирішення систем рівнянь другого ступеня вдається висловити одне невідоме через інший і підставити цей вислів на друге уравнение.

При рішенні систем рівнянь другого ступеня часто застосовується також спосіб заміни переменных.

Пример 6.23. Серед рішень (x; y) системи знайти те, котрій сума (x + y) максимальна. Обчислити значення цієї суммы.

.

Решение. З першого рівняння отримуємо y = 7 — 2x. Підставляючи значення y у друге рівняння, отримуємо систему уравнений.

.

Квадратное рівняння — 2×2 + 7x — 6 = 0 має X1 = 2; X2 = 3 / 2. З першого рівняння отримуємо Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения мають вигляд (2; 3) і (1,5; 4). Найбільша сума x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Вирішити систему рівнянь.

.

Решение. Означимо a = x + y; b = xy.

Получаем систему рівнянь.

.

Отсюда.

.

Возвращаясь до змінним x і y, получаем.

.

Решив цю систему:

.

y2 — 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1), (1; 2).

Приклад 6.25. Вирішити систему уравнений.

.

Решение. Розкладемо ліві частини рівнянь на множители:

.

Выразив з другого рівняння (x? 0) x — y = - 3 / x, тобто. y — x = 3 / x, і підставивши їх у перше рівняння, получим.

.

Подставив значення y на друге рівняння останньої системи, маємо.

— 3×2 = - 3, X1 = 1; X2 = - 1, тоді Y1 = 4; Y2 = - 4.

Ответ: (1; 4), (- 1; - 4).

Пример 6.26. Вирішимо задачу.

Задача. Знайдемо довжини сторін прямокутника, якщо його периметр дорівнює 16 м, а площа дорівнює 15 м².

Решение. Означимо довжини сторін прямокутника літерами x і в. За умовою завдання повинні виконуватися рівності 2х + 2у = 16, тобто. x + у = 8 і ху = 15.

Таким чином, завдання звелася до вирішення системи уравнений.

.

т.е. до відшуканню значень x і в, підстановка що у обидва рівняння системи перетворює їх в вірні числові равенства.

Из першого рівняння знаходимо, що у = 8 — у. Підставляючи це значення на друге рівняння, отримуємо х (8 — у) = 15, тобто. 8х — х2 = 15 или х2 — 8х + 15 = 0.

Решим це рівняння: D = (- 8)2 — 4* 1* 15 = 64 — 60 = 4,.

Х1,2 = (8 ±? 4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Значит, х1 = 5, х2 = 3. Оскільки в = 8 — x, то отримуємо у1 = 3, а у2 = 5. У обох випадках отримуємо і той ж прямокутник, довжини сторін якого рівні 3 м і 5 м.

Замечание: рівняння х2 — 8х + 15 = 0 можна вивести швидше, використовуючи теорему, зворотний теоремі Виета: адже суму чисел x і у дорівнює 8, які твір одно 15, то ці числа є корінням рівняння z2 — 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системи, які з двох рівнянь з цими двома невідомими. Якщо одне з яких якенибудь невідоме входить лише першого ступеня, те з цього рівняння можна сформулювати це невідоме через інший і підставити отримане вираз на друге рівняння системи. Вийде рівняння з однією невідомим. Вирішуючи його, знаходимо значення цього невідомого, і потім із них знаходимо значення що залишився неизвестного.

Пример 6.27. Вирішимо систему рівнянь.

.

Решение. З першого рівняння знаходимо, що з = 11 — 2х. Підставляючи це значення на друге рівняння, отримуємо: х2 + (11 — 2х)2 = 53.

Раскроем дужки і наведемо подібні члены:

х2 + 121 — 44х + 4×2 = 53.

и тому 5×2 — 44х + 68 = 0. Отже, перебування x необхідно вирішити уравнение.

5х2 — 44х + 68 = 0.

Решая його, знаходимо D = (- 44)2 — 4* 5* 68 = 1936 — 1360 = 576,.

Х1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х1 = 6,8; х2 = 2,? у1 = 11 — 2* 6,8 = - 2,6; у2 = 11 — 2* 2 = 7.

Ответ: х1 = 6,8; у1 = - 2,6; х2 = 2; у2 = 7.

Метод запровадження нових невідомих під час вирішення рівнянь і систем рівнянь.

При рішенні биквадратных і зворотних рівнянь ми вводили нові невідомі (у = х2 для биквадратных рівнянь і у = x + 1 / x для зворотних рівнянь). Запровадження нових невідомих застосовується також за рішенні рівнянь іншого виду та систем уравнений.

Пример 7.28. Вирішимо рівняння 12 / (х2 + 2х) — 3 / (х2 + 2х — 2) = 1.

Решение. Якщо спробувати привести дріб у частині рівняння одного знаменника, одержимо рівняння четвертої ступеня, яку ми вміємо вирішувати. Аби розв’язати заданий рівняння, зауважимо, що у обидві дробу входить один і той ж вираз х2 + 2х. Тому введём нове невідоме у, поклавши, що у = х2 + 2х. Тоді рівняння набуде вигляду.

12 / у — 3 / (у — 2) = 1 чи (у2 — 11у + 24) / (у (у — 2)) = 0,.

откуда y1 = 3; y2 = 8. Залишилося вирішити рівняння х2 + 2х = 3 (коріння х1 = 1, х2 = - 3) і х2 + 2х = 8 (коріння х3 = 2, х4 = - 4).

Применённый метод називається методом запровадження нових невідомих, та її корисно застосовувати, коли невідоме входить у рівняння скрізь у вигляді одного й тієї комбінації (якщо ця комбінація містить ступеня невідомого вище первой).

Пример 7.29. Вирішимо систему уравнений.

.

Решение. Означимо 1 / x через U, а 1 / у через V. Тоді система прийме вид.

.

т.е. вийде система двох лінійних рівнянь з цими двома невідомими U і V. З першого рівняння висловлюємо U через V: U = 4 — 3V / 2, і підставляючи на друге: 5(4 — 3V / 2) — 2V = 1, звідки V = 2. Тепер знаходимо U = 1 і вирішуємо рівняння 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x — 4)(x — 5)(x — 6)(x — 7) = 1680.

Решение. (x — 4)(x — 7)* (x — 5)(x — 6) = 1680, т. е.

(x2 — 11x + 28)(x2 — 11x + 30) = 1680.

Обозначим x2 — 11x + 28 = t, тоді t (t + 2) = 1680, t2 + 2t — 1680 = 0, t1 = - 42; t2 = 40. Тому.

x2 — 11x + 28 = - 42; x2 — 11x + 70 = 0; D = 121 — 280 < 0? x1,2? ? .

x2 — 11x + 28 = 40; x2 — 11x — 12 = 0; x1 = 12; x2 = - 1.

Ответ: x1 = 12; x2 = - 1.

Пример 7.31.

2x4 + 3×3 — 16×2 + 3x + 2 = 0.

Решение. Це ще одне рівняння. Розділимо обидві частини рівняння на x2? 0, одержимо.

2x2 + 3x — 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т. е.

2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) — 16 = 0,.

обозначим x + 1 / x = t, тоді x2 + 2 + 1 / x2 = t2, тобто. x2 + 1 / x2 = t2 — 2, отримуємо 2(t2 — 2) + 3t — 16=0, тобто. 2t2 + 3t — 20 = 0, t1 = - 4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Отже, имеем.

x + 1 / x = - 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = -2 ±? 3,.

x + 1 / x = 2,5; 2×2 — 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Ответ: x1,2 = -2 ±? 3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.

Решение. Зробимо підстановку x = t — 4. Тоді отримуємо (t — 1)4 + (t + 1)4 = 16, тобто.

t4 — 4t3 + 6t2 — 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,.

т.е. 2t4 + 12t2 — 14 = 0, чи t4 + 6t2 — 7 = 0. Поклавши t2 = z? 0, тоді.

z2 +6z — 7 = 0, z1 = - 7; z2 = 1.

С урахуванням t2 = z? 0 відкидаємо z1. Отже, z = 1, тобто. t2 = 1, звідси t1 = -1; t2 = 1. Отже, x1 = - 1 — 4 = - 5 і x2 = 1 — 4 = - 3.

Ответ: x1 = - 5 і x2 = - 3.

Пример 7.33.

13x / (2×2 + x +3) + 2x / (2×2 — 5x + 3) = 6.

Решение. Розділимо чисельник і знаменник дробів на x? 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x — 5 +3 / x) = 6,.

обозначим 2x + 3 /x = t. Отримуємо 13 / (t + 1) + 2 / (t — 5) = 6, тобто.

13t — 65 + 2t + 2 = 6t2 — 24t — 30, т. е.

6t2 — 39t + 33 = 0, тобто. 2t2 — 13t + 11 = 0,.

t1 = 1; t2 = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2×2 — x + 3 = 0; D = 1 — 24 < 0? x? ? .

2x + 3 / x = 5,5; 4×2 — 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.

Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.

Пример 7.34.

x4 — 2×3 + x — 0,75 = 0.

Решение. Виділимо повний квадрат, додавши і віднявши у частині рівняння x2:

x4 — 2×3 + x2 — x2 + x — 0,75 = 0, т. е.

(x2 — x)2 — (x2 — x) — 0,75 = 0.

Пусть x2 — x = t, тоді t2 — t — 0,75 = 0, x1 = - 0,5; x2 = 1,5.

Возвращаясь до старої перемінної, получаем:

x2 — x = - 0,5; x2 — x + 0,5 = 0; D = 1 — 2 < 0? x? ? .

x2 — x = 1,5; x2 — x — 1,5 = 0; x1,2 = (1 ±? 7) / 2.

Ответ: x1,2 = (1 ±? 7) / 2.

Пример 7.35.

x2 + 81×2 / (9 + x)2 = 40.

Решение. Скористаємося формулою: a2 + b2 = (a — b)2 + 2ab ((a — b)2 = a2 — 2ab + b2?? a2 + b2 = (a — b)2 + 2ab). Получаем:

(x — 9x / (9 + x))2 + 2x* 9x / (9 + x) = 40, или.

(x2 / (9 + x))2 + 18×2 / (9 + x) = 40.

Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тоді t2 + 18t — 40 = 0, t1 = - 20; t2 = 2. Отримуємо два рівняння:

(x2 / (9 + x)) = 2; x2 — 2x — 18 = 0; x1,2 = 1 ±? 19,.

(x2 / (9 + x)) = - 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 — 720 < 0,? x? ? .

Ответ: x1,2 = 1 ±? 19.

Однорідні рівняння.

Пример 8.36. Вирішимо систему уравнений.

.

Решение. зауважимо, що розв’язання системи виконується умова у? 0. У насправді, з першого рівняння слід, що якщо в = 0, те й x = 0, а числа x = 0 і в = 0 не задовольняють другому рівнянню системи. Розділимо перше рівняння на у2. Вийде уравнение.

8х2 / у2 — 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 чи 8×2 / у2 — 6х / у + 1 = 0.

Введём допоміжне невідоме U = x / у. Рівняння набуде вигляду.

8U2 — 6U + 1 = 0.

Это квадратне рівняння, має коріння U1 = 0,5; U2 = 0,25. Отже, з першого рівняння ми маємо або x / y = 1 / 2, або x / y = 1 / 4. Залишилося підставити висловлювання у =2х і у = 4х (розглянувши обидва випадку) на друге рівняння системи. У першому випадку виходить рівняння 5×2 = 5, звідки х1 = 1, х2 = - 1; відповідно у1 = 2, у2 = - 2. У другий випадок виходить уравнение17×2 = 5, звідки х3 =? (5 / 17), x4 = -? (5 / 17); відповідно y3 = 4? (5 / 17), y4 = - 4? (5 /17).

Первое рівняння системи ми змогли уявити, як рівняння щодо x / y тому, що ступінь всіх членів, вхідних складовою частиною до цього рівняння (8×2, 6xy, y2), сама й той самий — вона дорівнює двом. Тому після розподілу на y2 кожне складова виразилося через x / y.

Многочлен від двох змінних x і y такий, що ступінь кожного члена дорівнює одному й тому числу k, називається однорідним многочленом ступеня k.

Уравнение виду P (x, y) = 0 називається однорідним рівнянням ступеня k щодо x і y, якщо P (x, y) — однорідний багаточлен ступеня k. Однорідне рівняння щодо x і y розподілом на yk (якщо y = 0 перестав бути коренем рівняння) перетворюється на рівняння щодо невідомого x / y. Це властивість однорідної рівняння допомагає вирішувати багато задачи.

Пример 8.37. Вирішити систему уравнений.

.

Решение. Жоден з рівнянь системи перестав бути однорідним. Але якщо помножити перше рівняння на майже 7 і додати щодо нього почленно друге рівняння, помножена на 3, вийде рівняння 7y2 — 10xy + 3×2 = 0, що є наслідком вихідної системи. Розділимо обидві частини рівняння на x2 і вирішимо рівняння 7U2 — 10U + 3 = 0 (тут U = y / x, причому з другого рівняння системи слід, що x? 0). Знаходимо, що y = x чи y = 3x / 7. Підставляючи цей вислів на друге рівняння і, розглянувши обидва випадку, знайдемо рішення:

x1 = 7, y1 = 3; x2 = - 7, y2 = - 3.

Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = - 7, y2 = - 3.

Мы отримали рішення системи шляхом виведення з заданих рівнянь допоміжного слідства. Такий спосіб розв’язання систем деяких випадках призводить до появи «сторонніх» коренів — значень x і y, які задовольняють вихідної системі. Тому знайдені коріння треба перевірити, підставивши їх вихідну систему і лише переконавшись, що рівняння системи звертаються до вірні числові равенства.

Пример 8.38. Вирішимо рівняння (x — 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 — 1)2.

Решение. Якщо розкрити все дужки та привезти подібні члени, вийде рівняння четвертої ступеня. Спробуємо інший шлях: введём нові невідомі U і V:

U = (x — 1)2, V = (x + 1)2.

Уравнение набуде вигляду U2 + 9V2 = 10UV.

Это рівняння однорідне, і після розподілу на V2 вона стає рівнянням щодо невідомого W:

W = U / V = (x — 1)2 / (x + 1)2.

Решим допоміжне рівняння.

W2 — 10W + 9 = 0.

Его коріння W1 = 1, W2 = 9. Залишилося вирішити рівняння.

(x — 1)2 / (x + 1)2 = 1 і (x — 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Из першого рівняння слід, або (x — 1) / (x + 1) = 1, або (x — 1) / (x + 1) = - 1.

Из другого отримуємо, або (x — 1) / (x + 1) = 3, або (x — 1) / (x + 1) = - 3. Вирішуючи утворені рівняння, бачимо, перше їх немає коренів, та якщо з трьох інших отримуємо x1 = 0, x2 = - 2, x3 = - 0,5.

Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = - 0,5.

Пример 8.39.

3(x2 — x + 1)2 — 5(x + 1)(x2 — x + 1) — 2(x + 1)2 = 0.

Решение. Це правда зване однорідне рівняння, тобто. рівняння виду.

ay2a + bya za + cz2a = 0,.

где a, b, з, a — задані числа, які від нуля; y = y (x), z = z (x) — деякі функції від x. Розділимо обидві частини рівняння на (x2 — x + 1)2? 0:

3 — 5(x + 1) / (x2 — x + 1) — 2((x + 1) / (x2 — x + 1))2 = 0.

Пусть (x + 1) / (x2 — x + 1) = t, тоді 3 — 5t — 2t2 = 0, тобто. t1 = - 3; t2 = 0,5. Следовательно:

(x + 1) / (x2 — x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 — x + 1; x2 — 3x — 1 = 0; x1,2 = (3 ±? 13) / 2,.

(x + 1) / (x2 — x + 1) = - 3; x + 1 = - 3×2 + 3x — 3; 3×2 — 2x + 4 = 0; D = 4 — 48 < 0,? x? ? .

Ответ: x1,2 = (3 ±? 13) / 2.

Рішення симетричних систем рівнянь.

Напомним, що багаточлен P (x, y) називається симметрическим, якщо P (x, y) = P (y, x).

При рішенні систем рівнянь виду.

.

где P1 (x, y) і P2 (x, y) — симметрические багаточлени, корисною виявляється така заміна невідомих: x + y = U, xy = V. Нагадаємо, що кожен симметрический багаточлен P (x, y) можна видати за вираз від U і V.

Пример 9.40. Вирішити систему рівнянь.

.

Решение. Зауважимо, что:

x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 — xy = (x + y)2 — xy.

Сделаем заміну невідомих: x + y = U, xy =V. Система прийме вид:

.

Сложив ці рівняння, одержимо рівняння U2 + U — 72 = 0 з українським корінням U1 = 8, U2 = - 9. Відповідно V1 = 15, V2 = 32. Залишається вирішити системи уравнений:

.

.

Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

Пример 9.41. Вирішити систему.

.

Решение. Спочатку введём невідомі X і Y:

X = 1 / x, Y = 1 / y,.

а потім U і V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.

Получается система:

.

из якої U = 5, V = 6. Далі вирішуючи систему.

.

находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, звідки отримуємо x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можна відразу запровадити невідомі U = x + y, V = xy, вийде система.

.

Приводящая до тих ж рішенням вихідної системы.

Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.

Рівняння і системи рівнянь з параметрами.

Иногда в рівняннях деякі коефіцієнти задано не конкретними числовими значеннями, а є такі літерами. Такі літери називаються параметрами. Передбачається, що це параметри можуть приймати відвідувачів будь-які числові значення, тобто. одне рівняння з параметрами задає безліч рівнянь (всім можливих значень параметров).

Например, лінійне рівняння ax + b = з з невідомим x можна як рівняння з параметрами a, b, і з. Його рішенням при a? 0 є x = (з — b) / a. Якщо a = 0, виходить «рівняння» b = з, і якщо справді b = з, то корінням даного рівняння є всі справжні числа. Якщо ж b? з, у своїй a = 0, ця рівняння коренів не имеет.

Так, з параметрами учні зустрічаються під час введення деяких понять. Не наводячи докладних визначень, розглянемо випадок у ролі прикладів такі объекты:

функція пряма пропорційність: y = kx (x і y — перемінні; k — параметр, k? 0); лінійна функція: y = kx + b (x і в — перемінні, k і b —параметри); лінійне рівняння: ax + b = 0 (x — змінна; a і b —параметри); рівняння першого ступеня: ax + b = 0 (x — змінна; a і b — параметри, a? 0); квадратне рівняння: ax2 + bx + з = 0 (x — змінна; a, b і з — параметри, a? 0).

Решить рівняння з параметрами означає следующее:

досліджувати, яких значеннях параметрів рівняння має і їх в різних значеннях параметрів. Знайти все висловлювання для коренів і зазначити кожного з них ті значення параметрів, у яких цей вислів справді визначає корінь уравнения.

Ответ до завданню «вирішити рівняння з параметрами» повинен бути так: рівняння при такихто значеннях параметрів має …, при такихто значеннях параметрів — коріння …, при інших значеннях параметрів рівняння коренів не имеет.

Пример 10.42. Вирішимо рівняння px = 6 з невідомим x і параметром p. Якщо p? 0, можна розділити обидві частини рівняння на p, і тоді ми бачимо корінь рівняння x = 6 /p. Якщо p = 0, то рівняння коренів немає, оскільки 0* x = 0 нічого для будь-якого x.

Ответ: при p? 0 рівняння має єдиний корінь x = 6 / p; при p = 0 рівняння коренів не имеет.

Пример 10.43. Порівняти: — a і 3a.

Решение. Природно розглянути три случая:

Если a < 0, то — a > 3a;

Если a = 0, то — a = 3a;

Если a > 0, то — a < 3a.

Пример 10.44. Вирішити рівняння ax = 1.

Решение. На погляд можна відразу з відповіддю: x = 1 / a. Проте за a = 0 дане рівняння рішень немає, і вірний відповідь виглядає так:

Ответ: Якщо a = 0, то немає рішень; якщо a? 0, то x = 1 / a.

Пример 10.45. Вирішити рівняння (a2 — 1) x = a + 1.

Решение. Неважко зметикувати, що з вирішенні цієї рівняння достачно розглянути такі случаи:

a = 1; тоді рівняння приймає вив 0x = 2 і немає рішень; a = - 1; отримуємо 0x = 0, й вочевидь x — будь-яке. a? ± 1; маємо x = 1 / (a — 1).

Сделаем одне зауваження. Істотним етапом вирішення завдань з параметрами є запис відповіді. Особливо це стосується тим прикладів, де рішення хіба що «гілкується» залежно від значень параметра. У разі складання відповіді — це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповідь все етапи решения.

В хіба що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, ми вважаємо целесобразным привести Ответ: Якщо a = - 1, то x — будь-яке число; a = 1, то немає рішень; якщо a? ± 1, то x = 1 / (a — 1).

Пример 10.46. При яких a рівняння ax2 — x + 3 = 0 має єдине решение?

Решение. Насамперед звернемо увагу на распространённую помилку: вважати вихідне рівняння квадратним. Насправді це рівняння ступеня, не вище другий. Користуючись цим міркуванням, природно розпочати рішення, розглянувши випадок, коли a = 0, то, очевидно дане рівняння має єдине рішення. Якщо ж a? 0, тут маємо працювати з квадратним рівнянням. Його дискриминант 1 — 12a приймає значення, однакову нулю, при a = 1 / 12.

Ответ: a = 0 чи a = 1 / 12.

Пример 10.47. за яких a рівняння (a — 2) x2 + (4 — 2a) x + 3 = 0 має єдине решение?

Решение. Зрозуміло, що треба розпочинати зі випадку a = 2. Але у a = 2 вихідне рівняння не має рішень. Якщо a? 2, ця рівняння — квадратне, і, начебто, шукані значення параметра — це коріння дискриминанта. Проте дискриминант звертається до нуль при a = 2 чи a = 5. Оскільки ми встановили, що a = 2 не підходить, то Ответ: a = 5.

Вероятно, у двох останніх прикладах нічого немає (тим паче, їли вони вже вирішено). Проте, з погляду, параметр у тих завданнях виявляє своє «підступність», особливо початківців. Тому корисно розглянути ще кілька прикладів, де параметр «розставляє ловушки».

Пример 10.48. При яких значеннях a рівняння ax2 + 4x + a + 3 = 0 має як одного корня?

Решение. При a = 0 рівняння має єдиний корінь, що ні задовольняє умові. При a? 0 вихідне рівняння, будучи квадратним, має дві кореня, якщо його дискриминант 16 — 4a2 — 12a — позитивний. Звідси отримуємо — 4.

Ответ: — 4.

Пример 10.49. При яких a рівняння a (a + 3) x2 + (2a + 6) x — 3a — 9 = 0 має як одного корня?

Решение. Стандартний крок — розпочати з випадків a = 0 і a = - 3. При a = 0 рівняння має єдине рішення. Цікаво, що з a = - 3 рішенням рівняння служить будь-яке дійсне число. При a = - 3 рішенням рівняння служить будь-яке дійсне число. При a? — 3 і a? 0, розділивши обидві частини даного рівняння на a + 3, одержимо квадратне рівняння ax2 + 2x — 3 = 0, дискриминант якого 4(1 + 3a) позитивний при a > - 1 / 3. Досвід попередніх прикладів підказує, що з проміжку (- 1 / 3; ?) треба виключити точку a = 0, у відповідь не забути включити a = - 3.

Ответ: a = - 3 чи — 1 / 3 0.

Пример 10.50. При яких значеннях a рівняння (x2 — ax + 1) / (x + 3) = 0 має єдине решение?

Решение. Дане рівняння рівносильне системе.

.

Наличие квадратного рівняння і умова одиничності рішення, природно приведуть для пошуку коренів дискриминанта. Разом про те умова x? — 3 має привернути увагу. І «тонкий момент» у тому, що квадратне рівняння системи може мати два кореня! Але тільки них має дорівнювати — 3. Маємо D = a2 — 4, звідси D = 0, якщо a = ± 2; x = - 3 — корінь рівняння x2 — ax + 1 = 0 при a = - 10 / 3, причому в такому значенні a другий корінь квадратного рівняння різниться від — 3.

Ответ: a = ± 2 чи a = - 10 / 3.

Пример 10.51. При яких a рівняння ax2 = a2 рівносильне нерівності.

| x — 3|? a?

Решение. При a? 0 рівняння має єдине рішення, а нерівність — нескінченно багато. Якщо a = 0, то рішенням як рівняння, і нерівності є все безліч дійсних чисел. Отже, вимозі завдання задовольняє лише a = 0.

Ответ: a = 0.

Пример 10.52. Вирішити рівняння з параметрами.

(a2 — 9) x = a2 + 2a — 3.

Решение. Рівняння можна буде за будь-яких значеннях параметра. Запишемо рівняння як:

(a — 3)(a + 3) x = (a + 3)(a — 1).

Если a = - 3, то рівняння набирає вигляду: 0x = 0. Звідси випливає, що з x? R, тобто. рішенням рівняння є будь-яке дійсне число. Якщо a? — 3, то рівняння набуває вигляду: (a — 3) x = a — 1. При a = 3 маємо 0x = 2. Рівняння рішення немає. При a? — 3 маємо x = (a — 1) / (a — 3). Рівняння має єдине рішення (наприклад, x = 3 при a = 4, x = 3 / 5 при a= - 2 і т.д.).

Ответ: a = - 3, x? R; a = 3, x? ?; a? ± 3, x = (a — 1) / (a — 3).

Пример 10.53.

(x — 4) / (x + 1) — 1 / a (x + 1) = - 2 / a.

Решение. Вочевидь, (x + 1) a? 0, тобто. x? — 1, a? 0. Перетворимо дане рівняння, помноживши обидві його частину на a (x + 1)? 0:

(x — 4) a — 1 = - 2(x + 1), тобто. (a + 2) x = 4a — 1.

Если a = - 2, тут маємо 0х = - 9. Отже, x??. Якщо a? — 2, то x = (4a +1) / (a + 2). Але, як ми вже зазначили, x? — 1. Тому потрібно перевірити, чи немає таких значень a у яких знайдене значення x одно — 1.

(4a — 1) / (a + 2) = - 1, тобто. 4a — 1 = - a — 2, тобто. 5a = - 1, a= - 1 / 5.

Значит, при a? 0, a? — 2, a? — 1 / 5 рівняння має єдине рішення (4a — 1) / (a + 2).

Ответ: x? ? при a? {- 2, 0, — 1 / 5}; x = (4a — 1) / (a + 2) при a? {- 2, 0, — 1 / 5}.

Пример 10.54.

(a — 5) x2 + 3ax — (a — 5) = 0.

Решение. При (a — 5) = 0, тобто. a = 5 маємо 15x — 0 = 0, тобто. x = 0. При a — 5? 0, тобто. a? 5 рівняння має.

X1,2 = (- 3a ±? (9a2 + 4(a — 5)2)) / (2(a — 5)).

Ответ: x = 0 при a = 5; x = (- 3a ±? (9a2 + 4(a — 5)2)) / (2(a — 5)) при a? 5.

Пример 10.55.

1 / (x — 1) + 1 / (x — a) = (a + 1) / a.

Решение. Відзначаємо, що a (x — 1)(x — a)? 0, тобто. x? 1, x? a, a? 0. При умовах дане рівняння після спрощень набирає вигляду.

(a + 1) x2 — (a2 + 4a + 1) x + (2a2 + 2a) = 0.

Если a +1 = 0, тобто. a = - 1, маємо, 2x = 0, тобто. x = 0.

Если a + 1? 0, тобто. a? — 1, то знаходимо, що.

x1,2 = (a2 + 4a + 1 ±? (a4 + 2a2 + 1)) / (2(a +1) = (a2 + 4a + 1 ± (a2 + 1)) / (2(a + 1)).

т.е. x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1). Знайдемо значення a, у яких x = 1 і x = a, аби внеможливити их.

a + 1 = 1? a = 0 — неприпустимо по условию;

a + 1 = a? 1 = 0 — невозможно;

2 / (a + 1) = 1? 2a = a + 1, тобто. a = 1;

2 / (a + 1) = a? 2a = a2 + a, a = 1 і a = 0 — недопустимо.

Итак, якщо a? — 1, a? 0, a? 1, то x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1).

Теперь розглянемо, що приміром із рівнянням при a = 1. Знайдемо коріння рівняння: x1 = 1 і x2 = 2, причому x1 = 1 не підходить за умовою. Тепер виписуємо.

Ответ: x1 = a + 1 і x2 = 2 при a? 0, a? ± 1; x = 0 при a = - 1; x = 2 при a = 1.

Пример 10.56. При яких значеннях a система уравнений.

.

Имеет єдине решение?

Решение. Помножимо друге рівняння на a і віднімемо його з першого рівняння. Отримуємо рівносильну систему.

.

Если a = 1, то — 3y + 0,5 = 0, тобто. y = 1 /6. Підставивши це значення на друге рівняння, знаходимо єдине значення x. Система має єдине рішення.

Якщо a = - 0,5, то система має єдине рішення. При інших значеннях a сведём систему до квадратному рівнянню; з першого рівняння системи знаходимо

y = ((1 — a) x + 1,5 — a) / (2a + 1),.

подставляем на друге уравнение:

x + ((2 — 2a) x + 3 — 2a) / (2a + 1) + ((1 — a) x2 + 1,5x — ax) / (2a + 1) +1 = 0, т. е.

2ax + 3x — 2ax + 3 — 2a + x2 — ax2 +1,5x — ax + 2a + 1 = 0,.

(1 — a) x2 + (4,5 — a) x + 4 = 0.

Уравнение має єдине рішення, у тому випадку, коли дискриминант дорівнює нулю:

(9 / 2 — a)2 — 4* 4(1 — a) = 0, тобто. a2 + 7a + 17 / 4 = 0, тобто. a = (- 7 ± 4? 2) / 2.

Ответ: a = 1, a = - 1 / 2, a = (- 7 ± 4? 2) / 2.

Пример 10.57.

x3 — (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x — abc =0.

Решение. x3 — ax2 — bx2 — cx2 + abx + acx +bcx — abc = 0,.

группируем: x2(x — a) — bx (x — a) — cx (x — a) — cx (x — a) + bc (x — a),.

(x — a)(x2 — bc — cx + bc).

(x — a) = 0,.

x1 = a.

x2 — bc — cx + bc = 0,.

x (x — b) — c (x — b) = 0,.

(x — b)(x — з) = 0,.

x — b = 0, x2 = b.

x — з = 0, x3 = c.

Ответ: x1 = a; x2 = b; x3 = c.

Замечание: коріння рівняння можна було легко знайти, користуючись теоремою Виета для кубічного уравнения:

если x3 + px2 + qx + r = 0, то.

x1 + x2 + x3 = - p,.

x1x2 + x1x3 + x2x3 = q,.

x1x2x3 = - r .

В нашому случае:

x1 + x2 + x3 = a + b + c,.

x1x2 + x1x3 + x2x3 = ab + bc +cd,.

x1x2x3 = abc.

Отсюда слід, що x1 = a; x2 = b; x3 = c.

Графічний метод рішення систем нелінійних рівнянь.

Системы нелінійних рівнянь з цими двома невідомими можна вирішити графічно. Треба лише накреслити графіки обох рівнянь і знайти координати точок їх перетину. Нам вже відомі графіки наступних уравнений:

ax + by + з = 0 — є пряма лінія. xy = k — гіпербола. (x — a)2 + (y — b)2 = R2 — рівняння окружності з центром A (a, b) і радіусом R.

До цього виду наводяться з допомогою виділення повних квадратів рівняння вида:

x2 + y2 — 2ax — 2by + з = 0.

ax2 + bx + з = 0 — парабола y = ax2 з вершиною у точці A (m, n), де m = - b / 2a, а n = (4ac — b2) / 4a.

Пример 11.58. Знайдемо графічно коріння системы:

.

Решение. Виокремлюючи повні квадрати, получаем:

x2 + y2 — 2x + 4y — 20 = (x2 — 2x +1) + (y2 + 4y + 4) — 1 — 4 — 20 = (x — 1)2 + (y + 2)2 — 25.

Значит, систему рівнянь можна записати так:

.

Графиком першого рівняння є окружність з центром A (1; - 2) і радіусом 5. А 2x — y = - 1 — рівняння прямий, що проходить через точки B (0; 1) і C (2; 5). Будуємо окружність радіуса 5 з центром у точці A і проводимо пряму через точки B і З. Ці лінії перетинаються у двох точках M (1; 3) і N (- 3; - 5). Отже рішення системи таке: x1 = 1, y1 = 3; x2 = - 3, y2 = - 5.

Рівняння містять знак модуля.

Два числа, модулі яких рівні, або рівні між собою, або відрізняються лише знаком: якщо | a| = | b|, то або a = b, або a = - b. Застосуємо це зауваження до вирішення рівняння.

| 3x — 1| = | 2x + 3| .

В силу сказаного найвище з цього рівняння випливає, або 3х — 1 = 2х + 3, або 3х — 1 = - (2х + 3). Коренем першого рівняння є число 4, а другого — число — 2 / 5. Отже, рішення рівняння має вигляд х1 = 4, х2 = - 2 / 5.

В інших випадках буває корисно спочатку встановити, у яких точках звертаються до нуль висловлювання, які стоять під знаком модуля. Ці точки розбивають числову вісь на проміжки, всередині яких висловлювання зберігають постійний знак (проміжки знакопостоянства). Це дозволяє звільнитися кожному з цих проміжків від знака модуля звести завдання до вирішення кількох рівнянь — за одним кожному промежутке.

При рішенні рівнянь з модулем використовується визначення модуля і метод інтервалів. Нагадаємо, что.

f (x), якщо f (x)? 0,.

| f (x) | =- f (x), якщо f (x) < 0.

Пример 12.59. Вирішимо рівняння.

| x| = | 3 — 2x| - x — 1.

Решение. Вислів x звертається до нуль при x = 0, а вираз 3 — 2x — при x = 3 / 2. Крапки 0 і трьох / 2 розбивають числову вісь на проміжки (-?; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2; ?). При —? < x < 0 маємо x < 0 і 3 — 2x > 0. Тому на згадуваній цьому проміжку | x| = - x, | 3 — 2x| = 3 — 2x і рівняння набуває вигляду — x = 3 — 2x — x — 1. Вирішуючи його, отримуємо, що x = 1. Але це значення x не лежить на жіночих (-?; 0), і тому у цьому проміжку рівняння коренів немає. При 0? x? 3/ 2 маємо x? 0, 3 — 2x? 0, тому | x| = x, | 3 — 2x| = 3 — 2x. І рівняння набуває вигляду x = 3 — 2x — x — 1. Вирішуючи його, знаходимо x = 0,5. Оскільки це значення x належить проміжку [0; 3 / 2], то 1 / 2 є коренем заданого рівняння. Нарешті, на проміжку (3 / 2; +?) маємо x > 0, 3 — 2x < 0, тому | x| = x, | 3 — 2x| = - (3 — 2x) і рівняння набуває вигляду x = - (3 — 2x) — x — 1, тобто. 0 = - 4. Отже, у цьому проміжку немає коренів заданого уравнения.

Мы отримали, в такий спосіб, що рівняння має лише одне корінь, саме x = 0,5.

Ответ: x = 0,5.

В окремих випадках рівняння з знаком модуля має нескінченно багато решений.

Пример 12.60. | 8 — 5x| = | 3 + x| + | 5 — 6x| .

Выражения (8 — 5x), (3 + x) і (5 — 6x) звертаються до нуль відповідно точках 8 /5, — 3, 5 / 6. Ці точки розбивають числову вісь на 4 проміжку. У цьому, працюючи над, встановлюємо, що у проміжках (-?; - 3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +?) рівняння коренів немає, але в проміжку [- 3; 5 / 6] воно звертається до тотожність 8 — 5x = 3 + x + 5 — 6x. Тому відповідь має вигляд [- 3; 5 / 6].

Ответ: [- 3; 5/ 6].

Несколько складніше вирішуються рівняння, у яких зустрічається знак модуля під знаком модуля. Проте й цьому випадку метод розбивки осі на проміжки знакопостоянства дозволяє вирішити уравнение.

Пример 12.61. Вирішимо рівняння | 2x — 3 — | x + 2| | = 8x + 12.

Решение. Вислів (x + 2) звертається до нуль при x = - 2. Якщо x < - 2, то (x + 2) < 0 і тому | x + 2| = - (x + 2). Отже, на проміжку (-?; - 2) заданий рівняння набирає вигляду | 2x — 3 + (x + 2)| = 8x + 12, тобто. | 3x — 1| = 8x + 12. Але у x < - 2 маємо 3x — 1 < 0 і тому | 3x — 1| = - (3x — 1). Отримуємо рівняння — (3x — 1) = 8x + 12, має корінь x = - 1. Оскільки їх кількість не лежить проміжку (-?; - 2), то заданий рівняння немає цього проміжку корней.

Пусть тепер x? — 2. Тоді | x + 2| = x + 2, і ми маємо рівняння | 2x — 3 — (x + 2)| =8x + 12, тобто. | x — 5| = 8x + 12. Тут слід розглянути два випадку: x < 5 і x? 5. У першому випадку? x — 5| = - (x — 5), і тому отримуємо рівняння — (x — 5) = 8x + 12. Його корінь дорівнює - 7 / 9. Оскільки — 2? (- 7 / 9)? 5, то — 7 / 9 є коренем заданого рівняння. Якщо ж x? 5, то | x — 5| = x — 5 і рівняння набирає вигляду x — 5 = 8x + 12. Коренем отриманого рівняння є число — 17 / 7. Оскільки вона не лежить промені [5; +?), воно є коренем заданого рівняння. Отже, рішення має вигляд x = - 7 / 9.

Ответ: x = - 7 / 9.

Пример 12.62.

| 1 — 2x| + | 3x + 2| + | x| = 5.

Решение. Прирівнюємо нанівець висловлювання, які стоять під знаком модуля, відзначаємо на числової осі отримані значення, досліджуємо рівняння у кожному з отриманих интервалов:

А) якщо x < - 2 / 3, то 1 — 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 і рівняння листується так:

1 — 2x — 3x — 2 — x = 5, тобто. — 6x = 6, x = - 1? (-?; - 2 / 3).

Б) якщо — 2 / 3? x < 0, то 1 — 2x > 0, 3x + 2? 0, x < 0 і тому имеем:

1 — 2x + 3x + 2 — x = 5, і т.к. 3? 5, то проміжку [- 2 / 3; 0) коренів нет.

В) якщо 0? x < 0,5, то отримуємо: 1 — 2x + 3x + 2 + x = 5, тобто. 2x = 2; x = 1? [0; 0,5).

Г) якщо 0,5? x, то — 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3? (0,5; ?).

Ответ: x1 = - 1; x2 = 2 / 3.

Пример 12.63.

| x | + | x — 1 | = 1.

Решение. (x — 1) = 0, x = 1;? отримуємо интервалы:

A) x? (-?; 0), тоді - x — x +1 = 1; - 2x = 0; x = 0? (-?; 0).

Б) x? [0; 1), тоді x — x +1 = 1; 1 = 1? x — будь-яке число з [0; 1).

В) x? [1; ?), тоді x + x — 1 = 1; 2x = 2; x = 1? [1; ?).

Ответ: x? [0; 1].

Основні на методи вирішення раціональних рівнянь.

1) Найпростіші: вирішуються шляхом звичайних спрощень — приведення до спільного знаменника, приведення подібних членів тощо. Квадратні рівняння ax2 + bx + з = 0 вирішуються по виведеної нами формулі.

.

Также використовується теорема Виета: x1 + x2 = - b / a; x1x2 = з / a.

2) Угруповання: шляхом угруповання доданків, застосування формул сокращённого множення привести (якщо вдасться) рівняння до виду, коли зліва записано твір кількох сомножителей, а справа — нуль. Потім прирівнюємо нанівець кожен із сомножителей.

3) Підстановка: шукаємо в рівнянні деяке повторювана вираз, яке позначимо нової перемінної, цим спрощуючи вид рівняння. У окремих випадках очевидно що зручно позначити. Наприклад, рівняння.

(x2 + x — 5) / x + 3x / (x2 + x — 5) + 4 = 0,.

легко вирішується питання з допомогою підстановки (x2 + x — 5) / x = t, отримуємо t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x2 — 4x + 10) — x2 + 4x = 6. Тут можна зробити підстановку x2 — 4 = t. Тоді 21 / (t + 10) — t = 6 і т.д.

В складніших випадках підстановка видно лише після кількох перетворень. Наприклад, дано уравнение.

(x2 + 2x)2 — (x +1)2 = 55.

Переписав його інакше, саме (x2 + 2x)2 — (x2 + 2x + 1) = 55, відразу побачимо підстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 — t — 56 = 0, t1 = - 7, t2 = 8. Залишилося вирішити x2 + 2x = - 7 і x2 + 2x = 8.

В деяких випадках зручну підстановку бажано знати «заздалегідь». Наприклад.

Рівняння (x + a)4 + (x + b)4 = з зводиться до биквадратному, коли зробити підстановку

x = t — (a + b) / 2.

Симетрична рівняння (ще одне) a0xn + a1xn — 1 + … + a1x + a0 = 0 (коефіцієнти членів, равностоящих від кінців, рівні) вирішується питання з допомогою підстановки x + 1 / x = t, якщо n —чётное; якщо n — нечётное, то рівняння має корінь x = - 1. Рівняння виду (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l зводиться до квадратному, якщо a + b = з + d і т.д.

4) Підбір: під час вирішення рівнянь вищих ступенів раціональні коріння рівняння anxn + an — 1xn — 1 + … + a1x + a0 = 0 шукаємо як p / q, де p — дільник a0, q — дільник an, p і q взаємно прості, p? Z, q? N.

5) «Мистецтво», тобто. вирішувати приклад нестандартно, придумати «свій метод», здогадатися щось додати й забрати, виділити повний квадрат, чогось розділити і помножити тощо.

6) Рівняння з модулем: під час вирішення рівнянь з модулем використовується визначення модуля і метод інтервалів. Нагадаємо, что.

f (x), якщо f (x)? 0,.

| f (x) | =- f (x), якщо f (x) < 0.

Раціональні нерівності.

Пусть ¦ (з)? числова функція однієї чи кількох змінних (аргументів). Вирішити нерівність.

¦ (з) < 0 (¦ (з) > 0) (1).

? це що означає знайти значення аргументу (аргументів) функції ¦, у яких нерівність (1) справедливо. Безліч всіх значенні аргументу (аргументів) функції ¦, у яких нерівність (1) справедливо, називається безліччю рішенні нерівності чи навіть рішенням неравенства.

Множество рішенні нестрого нерівності.

¦ (з)? 0(¦ (з)? 0) (2).

представляет собою об'єднання безлічі рішенні нерівності (1) і багатьох рішенні рівняння ¦ (з) = 0.

Два нерівності вважаються еквівалентними, якщо безлічі розв’язанні совпадают.

Под безліччю допустимих значенні невідомих, які входять у нерівність, розуміють область визначення функції ¦ (з).

Неравенства виду (1) чи (2), складені щодо різноманітних функції ¦ i (c), може бути зведені до системи нерівностей. Вирішити систему нерівностей? це що означає знайти безліч всіх значенні аргументів функції ¦ i (c), у яких справедливі все нерівності системи одночасно.

Говорят, що системи нерівностей еквівалентні, якщо безлічі розв’язанні совпадают.

Властивості рівносильних нерівностей.

При рішенні нерівностей використовують властивості равносильности.

Неравенства з одного перемінної називаються рівносильними, якщо безлічі розв’язанні совпадают.

Например, нерівності 3х > 6 і x — 2 > 0 мають однакові безлічі рішенні х? [2; +? ]. Ці нерівності - равносильные.

Неравенства x > 0 і х2 > 0 — неравносильные, оскільки вирішення першого нерівності є чимало х? [0; +? ], а рішення другого нерівності є чимало х? [-?; 0]? [0; +? ]. Ці безлічі не совпадают.

При рішенні нерівностей виконуються лише перетворення, у яких виходять простіші рівносильні нерівності. Ці перетворення можливі і під час наступних властивостей рівносильних неравенств.

Свойство 1. Якщо до обох частин нерівності додати один і той самого числа чи один і той ж вираз, що має сенс попри всі значеннях перемінної, одержимо нерівність, равносильное данному.

Дано. Р (х) > Q (x) — нерівність, Т (х) — вираз, що має сенс попри всі дійсних значеннях x, х? R.

Доказать. Нерівності Р (х) > Q (x) і Р (х) + Т (х) > Q (x) + T (x) — равносильные.

Доказательство. а) Нехай при x = а нерівність Р (а) > Q (a) — правильне числове рівність, тобто. x =а — одна з рішенні нерівності Р (х) > Q (x), Т (а) — значення Т (х) при x =а.

По властивості числових нерівностей Р (а) + Т (а) > Q (a) + T (a) — правильне числове неравенство.

Следовательно, x = а — одна з рішень нерівності Р (х) + Т (х) > Q (x) + T (x). Тому, якщо x =а є рішення першого нерівності, це значення є й рішення другого неравенства.

б) Нехай x = b — одна з рішень нерівності Р (х) + Т (х) > Q (x) + T (x), тобто. P (b) + T (b) > Q (b) + T (b) -правильне числове нерівність. По властивості числових нерівностей P (b) > Q (b) — теж правильне числове нерівність. Отже, x = b — рішення нерівності P (x) > Q (x).

Так як безлічі рішень нерівності P (x) > Q (x) і P (x) + T (x) > > Q (x) + T (x) збігаються, то ці нерівності равносильные.

Властивість 2. Якщо нерівності будь-яке складова, що має сенс при віх х? R, перенести з одне частини вчених у іншу з протилежним знаком, одержимо нерівність, рівносильне данному.

Дано. P (x) + T (x) > Q (x) — нерівність, Т (х) — складова, що має сенс попри всі х? R.

Доказать. Нерівності P (x) + T (x) > Q (x) і P (x) > Q (x) — T (x) — равносильные.

Доказательство. По властивості 1 можна до обох частин нерівності P (x) + T (x) > Q (x) додати складова (-Т (х)), оскільки це складова можна буде попри всі х? R; одержимо равносильное неравенство:

P (x) + T (x) — T (x) > Q (x) — T (x), звідси P (x) > Q (x) — T (x).

Властивість 3. Якщо обидві частини нерівності помножити одне і те позитивне число чи один і той ж вираз, позитивне попри всі значеннях перемінної, одержимо нерівність, равносильное данному.

Дано. P (x) > Q (x) — нерівність (1),.

T (x) > 0, x? R,.

P (x)* T (x) > Q (x)* T (x) — нерівність (2).

Доказать. Нерівності (1) і (2) равносильные.

Доказательство. Нехай при x = а P (a) > Q (a) — правильне числове нерівність, тобто. x = а — одна з рішенні першого нерівності. T (a) — значення Т (х) при x = а Т (а) > 0.

По властивості числових нерівностей P (a)* T (a) > Q (a)* T (a) — теж правильне числове нерівність, тобто. x = а -одна з рішенні першого нерівності. Отже, якщо x= а — рішення першого нерівності, то x = а — також рішення другого неравенства.

Пусть при x = b нерівність P (b)* T (b) > Q (b)* T (b) — правильне числове нерівність, тобто. x = b — одна з рішенні другого неравенства.

По властивості числових нерівностей P (b) > Q (b) — теж правильне числове нерівність, оскільки T (b) > 0. Отже, x = b — одна з рішенні першого неравенства.

Поскольку безлічі рішенні першого і другого нерівностей збігаються, всі вони равносильные.

Свойство 4. Якщо обидві частини нерівності помножити одне і те негативне число чи один і той ж вираз, негативне попри всі значеннях перемінної, й змінити знак нерівності на протилежний, одержимо нерівність, равносильное данному.

Это властивість доводиться аналогічно 3 свойству.

Алгебраїчні нерівності.

Линейными (суворими й нестрогими) називаються нерівності вида.

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b? 0, ax + b? 0, a? 0,.

решениями яких будут:

при a > 0.

x? (-b/a; ?), x? (-?; -b/a), x? [ -b/a; ?), x? (-?; -b/a],.

при, а < 0.

x? (-?; -b/a), x? (-b/a; ?), x? (-?; -b/a], x? [ -b/a; ?).

Квадратными (суворими й нестрогими) називаються нерівності виду.

ax2 + bx + з > 0, ax2 + bx + з < 0,.

ax2 + bx + з? 0, ax2 + bx + з? 0,.

где a, b, з? деякі справжні числа і а? 0.

Квадратное нерівність ax2 + bx + з > 0 залежно від значенні своїх коефіцієнтів a, b і з має решения:

при, а > 0 і D = b2 — 4ac? 0.

x? (-?; )? (; ?);

при, а > 0 і D < 0 x? будь-яке дійсне число;

при, а < 0 і D? 0.

x? (; );

при, а < 0 і D < 0.

x =? (т. е. рішенні немає).

Решение нерівності ax2 + bx + з < 0 зводиться до вирішення розглянутої нерівності, якщо обидві частини нерівності помножити на (-1).

Метод інтервалів.

Пусть Рn (x)? багаточлен енну кількість ступеня зі справжніми коефіцієнтами, а c1, c2,? , ci? все справжні коріння багаточлена з кратностями k1, k2,? , ki відповідно, причому с1 > c2 >? > ci. Багаточлен Pn (x) можна в виде Рn (x) = (x — c1) k1(x — c2) k2? (x — ci) ki Qm (x); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (3).

где багаточлен Qm (x) дійсних коренів і або позитивний, або негативний попри всі х? R. Поклавши для визначеності, що Qm (x) > 0. Тоді при x > c1 все сомножители в розкладанні (3) позитивні і Рn (х) > 0. Якщо с1? корінь нечетной кратності (k1? парне), то, при х? (с2; с1) все сомножители в розкладанні (3), крім першого, позитивні і Рn (х) 0 при х? (c2; с1). І тут кажуть, що багаточлен Рn (х) не змінює знак під час переходу через корінь с1.

Аналогичным способом, використовуючи розкладання (3), неважко переконається, що з переході через корінь с2 багаточлен Рn (х) змінює знак, якщо k2? парне, і змінює знака, якщо k2? парне. Розглянуте властивість багаточленів використовується на вирішення нерівностей методом інтервалів. Щоб знайти рішення.

Рn (х) > 0,(4).

достаточно знати все справжні коріння багаточлена Рn (х) їх кратності і це ознака багаточлена Рn (х) в довільно обраної точці, не яка відповідає коренем многочлена.

Пример: Вирішити неравенство.

х4 + 3×3 — 4х > 0.(*).

Решение. Розкладемо на множники багаточлен Р4(х), котрий у лівої частини нерівності (*). Виносячи множник x за скобку, получаем Р4(х) = х (х3 + 3×2 — 4).

Второй множене, являє собою кубічний багаточлен, має корінь x = 1. Отже, може бути представлено виде х3 + 3×2 — 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.

Таким чином, Р4(х) = х (х — 1)(х + 2) 2 і нерівність (*) то, можливо записано як.

х (х -1)(х + 2)2 > 0. (**).

Решим нерівність (**) методом інтервалів. При x > 1 все сомножители, які у лівої частини нерівності, позитивні.

Будем іти у осі Ой справа-наліво. При переході через точку x = 1 багаточлен Р4(х) змінює знак та приймає негативні значення, оскільки x = 1? простий корінь (корінь кратності 1); під час переходу через точку x = 0 багаточлен також змінює знак та приймає позитивні значення, оскільки x = 0? також простий корінь; під час переходу через точку x = -2 багаточлен знака не змінює, оскільки x = -2? корінь кратності 2. Проміжки знакопостоянства багаточлена Р4 (x) схематично представлені на рис. 1. Використовуючи цей малюнок, легко виписати безліч рішень вихідного неравенства.

Ответ. x? (-?; -2)? (-2; 0)? (1; ?).

Пример: Вирішити неравенство.

(х2 — 3х — 2)(х2 — 3х + 1) < 10.

Решение: Нехай х2 — 3х — 2 = y. Тоді нерівність набуде вигляду y (y +3) < 10, чи y2 + 3y — 10 < 0, звідки (y + 5)(y — 2) < 0. Рішенням цього нерівності служить інтервал -5 стоять знаки? x +1?. Останнє своє чергу, еквівалентно системі нерівностей -(2х + 5) < x + 1 < 2х + 5,.

откуда.

Наименьшим цілим числом x задовольняє в цій системі буде нерівностей, є 0. Зауважимо, що x? -1, інакше вираження у лівої частини даного нерівності немає смысла.

Ответ: 0.

Пример: Вирішити неравенство:

.

Решение: Нехай? х? = y. Зауважимо далі, що? х? + 1 > 0. Тому дане нерівність еквівалентно наступному: -2? (y -2)(y + 1), чи y2 — y? 0, чи 0? y? 1, чи 0? ? х?? 1. Звідси -1? x? 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Вирішити неравенство.

? х2 — 3х + 2? +? 2х + 1?? 5.

Решение. х2 — 3х + 2 негативний при 1 < x < 2 і неотрицателен при інших x, 2х + 1 змінює знак при x = -Ѕ. Отже, потрібно розглянути чотири случая.

x < -Ѕ. І тут х2 — 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Отримуємо нерівність х2 — 3х + 2 — 2х — 1? 5, х2 — 5х — 4? 0. Її рішення? x?. З урахуванням умови x < -Ѕ знаходимо ? x? -Ѕ. — Ѕ? x? 1. Маємо нерівність х2 — x — 2? 0. Її рішення -1? x? 2. Отже, весь відрізок -Ѕ? x? 1удовлетворяет нерівності. 1 < x < 2. Отримуємо х2 — 5х + 6? 0; x? 2 чи x? 3. Знову підходить весь інтервал. x? 2. Нерівність те, що у разі 2. Підходить лише x = 2.

Ответ:? x? 2.

Пример: Вирішити неравенство.

?? х3 + x — 3? — 5?? х3 — x + 8.

Решение. Вирішимо це нерівність не стандартним образом.

.

Нерівності з параметрами.

Неравенства з параметрами є важкими завданнями курсу елементарної математики. Це тим, що й рішення слід отримувати попри всі допустимих значеннях які входять у них параметров.

Пример: Всім значень, а вирішити неравенство.

aх > 1/x.

Решение: Запишемо нерівність в виде.

.

тогда вихідне нерівність еквівалентно двом системам неравенств:

ax2 — 1 > 0, ax2 — 1 < 0,.

x > 0; x < 0.

Рассмотрим першу систему. Перше нерівність запишемо в виде:

ax2 > 1.

При, а > 0 воно еквівалентно нерівності х2 > 1/a, безліч рішень якого x < -1/ і x > 1/. І тут рішення першої системи: х? (1/; ?). При, а? 0 ліва частина нерівності ах2 -1 > 0 негативною незалежно від x і нерівність рішень немає, отже, немає прийняття рішень та всю систему неравенств.

Рассмотрим другу систему. При, а > 0 рішеннями нерівності ах2 — 1 0 і а? 0 й у кожного їх побудуємо графіки функцій, котрі стоять у лівої і правої частинах вихідного нерівності. Заштриховані проміжки осі Ой є рішення нерівності в случаях.

Графическая ілюстрація полегшує рішення рівнянь і нерівностей з параметрами.

Ответ: Якщо, а? 0, то х? (-?; 0); якщо, а > 0, то х? (-1/; 0)? (1/; ?).

Пример: Вирішити неравенство:

.

Решение: Перетворимо дане нерівність: 3m2х + 3 — 2mx2 — 6 < m + 9x; mx2 — 9x < m + 3; (m — 3)(m + 3) x < m + 3. Далі знаходимо рішення нерівності що за різних значення параметра m:

Нехай (m — 3)(m + 3) > 0, тобто. m < -3 чи m > 3. Тоді нерівність має рішення x < 1/(m — 3). Нехай (m — 3)(m + 3) < 0, тобто. -3 < m < 3. Тоді нерівність має рішення x > 1/(m — 3). Нехай (m — 3)(m + 3) = 0, тобто. m = 3 чи m = -3. Тоді якщо m = 3, то нерівність набуде вигляду 0* x < 6 і, отже виконується незалежно від х? R. Якщо ж m = -3, то нерівність набуде вигляду 0* x < 0 і, отже, немає рішенні.

Пример: До кожного неотрицательного значення параметра, а вирішити неравенство.

4а3×4 + 4а2×2 + 32х + а + 8? 0.

Решение. Ліва частина нерівності є багаточлен як щодо x, і щодо параметра а. Ступені відповідно рівні 4 і трьох. Але якщо помножити багаточлен на а, та був зробити заміну y = ax, то новому многочлене максимальна ступінь параметра, а дорівнюватиме 2. Випадок, а = 0 дає відповідь x? — ј. Будемо тепер вважати, що, а > 0. Помноживши обидві частини нерівності на чи зробивши заміну y = ax, получим.

4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a? 0.

Левая частина є квадратний тричлен щодо а:

a2 + (4y2 + 8) a + 4y2 + 32y? 0,.

јD = (2y2 + 4) 2 — 4y2 — 32y = 16(y — 1) 2.

Раскладывая ліву частина нерівності на множники, получим.

(а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 — 4y + 8)? 0,.

или.

(2y2 + 4y + a)(2y2 — 4y + 8 + a)? 0.

Второй множник позитивний попри всі y, якщо, а > 0. Приходимо до нерівності 2y2 + 4y + a? 0, звідки, якщо 0.

Ответ: Якщо, а = 0, то x? — ј; якщо 0.

Пример: Вирішити систему неравенств.

.

Рішення: Оскільки рішенням першого нерівності є 1? x? 2, то завдання зводиться (при, а? 0) до з’ясування розташування коренів квадратного трехчлена f (x) = ах2 — 2(а + 1) х + а -1 щодо відрізка [1; 2]. Имеем.

јD = (а + 1) 2 — а (а — 1) = За + 1, f (1) = -3, f (2) = а — 5.

Область зміни параметра, а виявилося розділеної на виборах 4 частини (беручи до уваги граничних точек).

Якщо, а < - 1/3, друге нерівність, отже й дана система має не мають рішення. І це має місце і за, а = -1/3. Якщо -1/3 немає рішення. І це має місце і за, а = 0. Якщо 0 Відповідь: Якщо, а < 5, система має не має розв’язання; якщо, а? 5, то 1/а (а + 1 +)? x? 2.

Пример: Вирішити неравенство.

? 2×2 + x — а — 8?? х2 + 2х — 2а — 4.

Решить: Нагадаємо, що нерівність? а?? b еквівалентно подвійному нерівності -b? a? b. У нашому випадку після перетворення дійшли системі неравенств, а? -х2 + x + 4,.

а? х2 + x — 4.

Изобразим на площині (x; а) безліч точок, координати яких задовольняють отриманої системі. При конкретному значенні параметра, а = a рішенням нашого нерівності будуть абциссы тих точок горизонтальній прямий, а = a, що у заштрихованої області. Знайдемо точки перетину А (2; 2), В (-2; -2) наших точок парабол і вершину С (-0,5; -4,25) параболи, а = х2 +x — 4.

Далее отримуємо: якщо, а > 2, то відповідна пряма перетинається з заштрихованої областью.

Если -2 (більший корінь рівняння, а = х2 + x — 4 чи х2 — x — 4 + а= 0).

Если -4ј? a? -2, то горизонтальна пряма, відповідна таким а, перетинається з заштрихованої областю з двох відрізкам. Рішенням нерівності будет.

.

Системи раціональних нерівностей.

Пусть треба знайти числові значення x, у яких перетворюються на вірні числові нерівності одночасно кілька раціональних нерівностей. У разі кажуть, що необхідно вирішити систему раціональних нерівностей з однією невідомим х.

Чтобы вирішити систему раціональних нерівностей, треба знайти рішення кожного нерівності системи. Тоді загальна частина всіх знайдених прийняття рішень та буде рішенням системи.

Пример: Вирішити систему неравенств.

.

Сначала вирішуємо неравенство.

(x — 1)(х — 5)(х — 7) < 0.

Применяя метод інтервалу (рис. 1), знаходимо, що багато всіх рішенні нерівності (2) і двох інтервалів: (-?, 1) і (5, 7).

Теперь вирішимо неравенство.

.

Применяя метод інтервалів (рис. 2), знаходимо, що багато всіх рішенні нерівності (3) також складається із двох інтервалів: (2, 3) і (4, +?).

Теперь треба знайти спільну частина рішенні нерівностей (2) і (3). Намалюємо координатну вісь x і відзначимо у ньому знайдені рішення. Тепер зрозуміло, що в частиною рішенні нерівностей (2) і (3) є інтервал (5, 7) (рис. 3).

Следовательно, безліч всіх рішенні системи нерівностей (1) становить інтервал (5, 7).

Пример: Вирішити систему неравенств.

.

Решим спочатку неравенство х2 — 6х + 10 < 0.

Применяя метод виділення повного квадрата, написати, что х2 — 6х + 10 = х2 — 2* х* 3 + 32 — 32 + 10 = (x — 3) 2 +1.

Поэтому нерівність (2) можна записати в виде.

(x — 3) 2+ 1 < 0,.

откуда видно, що його немає решении.

Теперь годі й вирішувати неравенство.

.

так як вже ясний: система (1) немає решении.

Пример: Вирішити систему неравенств.

.

Розглянемо спочатку перше нерівність; маємо.

.

С допомогою кривою знаків (рис. 4) знаходимо вирішення цього нерівності: x < -2; 0 < x < 2.

Решим тепер друга нерівність заданої системи. Маємо x2 — 64 < 0, чи (x — 8)(х + 8) < 0. З допомогою кривою знаків (рис. 5) знаходимо рішення нерівності: -8 < x < 8.

Отметив знайдені рішення першого і другого нерівності на загальної числової прямий (рис. 6), знайдемо такі проміжки, де ті рішення збігаються (припинення рішенні): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Це і рішення системы.

Пример: Вирішити систему неравенств.

.

Преобразуем перше нерівність системы:

х3(х — 10)(х + 10)? 0, чи х (х — 10)(х + 10)? 0.

(т.к. множники в непарних ступенях можна заміняти відповідними множителями першого ступеня); з допомогою методу інтервалів (рис. 7) знайдемо рішення останнього нерівності: -10? x? 0, x? 10.

Рассмотрим друге нерівність системи; маємо.

.

Находим (рис. 8) x? -9; 3 < x < 15.

Объединив знайдені рішення, одержимо (рис. 9) x? 0; x > 3.

Пример: Знайти целочисленные рішення системи неравенств:

.

Решение: Наведемо систему до виду.

.

Складаючи перше і друге нерівності, маємо y < 2, 75, а враховуючи третє нерівність, знайдемо 1 < y < 2,75. У цьому вся інтервалі міститься лише одна ціла кількість 2. При y = 2 з цієї системи нерівностей получим.

.

откуда -1 < x < 0,5. У цьому вся інтервалі міститься лише одна ціла кількість 0.

Ответ: x = 0, y =2.

ГРАФІЧНЕ РІШЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ

Неравенства з одного чи двома перемінними можна вирішити графически.

Неравенство з одного зміною можна записати так: f (x) > g (x), де f (x) і g (x) — висловлювання, містять переменную.

Построим лише у системі координат графіки функцій y = f (x) і у = g (x).

Рішення нерівності є чимало значень зміною x, у яких графік функцій у=g (x), оскільки f (x)>g (x).Это показано на малюнках 1 і 2.

Рішення нерівності з цими двома перемінними f (x, y)>0 є чимало.

точек площині, координати яких задовольняють цьому нерівності. Розглянемо на прикладах рішення деяких нерівностей з цими двома переменными.

Пример 1. Вирішити графічно неравенство.

x + у > 0.

Решение. Запишемо нерівність як у> -x. Побудуємо пряму у= -x. Координати точок площині, що лежать вище цієї прямий, є рішення нерівності (малюнку 3 — заштрихованная область).

Пример 2. Вирішити графічно нерівність.

х2 — у > 0.

Решение. Запишемо нерівність як у < x2 .

Построим криву у = х2 (парабола) (малюнок 4).

Решение нерівності є координати точок площині, які у заштрихованої області (нижче побудованої параболы).

При рішенні систем нерівностей з цими двома перемінними знаходять те що областей рішень цих неравенств.

Приклад 3. Решить графічно систему неравенств.

.

Решение. Рішення першого нерівності системи є координати точок площині (малюнок 5), що лежать поза окружності х+у=4; рішення другого нерівності є координати точок верхньої напівплощини; рішення третього нерівності є координати точок правої полуплоскости.

Рішенням системи є координати точок, які у заштрихованої области.

ТЕСТ

1) Вирішити рівняння: .

А) 0,.

Б) 1,.

В) Ні решений, Г) x? (-?; 1)? (1; ?).

2) Вирішити рівняння: .

А) Ні решений, Б) — 1,.

В) — 5,.

Г) — 1; - 5.

3) Вирішити рівняння: s.

А) — 2;; 5,.

Б) Ні решений, В) x? (-?; 3)? (3; ?),.

Г) x? R.

4) Вирішити рівняння: ax = 1.

А) Якщо a? 0, то x? R; якщо a = 0, то немає решений, Б) Якщо a = 0, то немає рішень; якщо a? 0, то x =1/a ,.

В) Якщо a = 0, то x? R; якщо a? 0, то x =1/a .

Г) Ні решений.

5) При яких a рівняння ax2 — 4x + a + 3 = 0 має як одного кореня?

А) — 4.

Б) 0.

В) a? (-?; 0)? (0; ?),.

Г) — 4.

6) При яких a рівняння (a — 2) x2.

+ (4 — 2a) x + 3 = 0 має єдине рішення?

А) 2,.

Б) а? (-?; 2)? (2; ?),.

В) 5,.

Г) — 4.

7) Вирішити рівняння: | x2 — 1| + | a (x — 1)| = 0.

А) Якщо a? 0, то x =1; якщо a = 0, то x = ± 1,.

Б) Якщо, а? 0, то немає рішень; якщо a = 0, то x = 1.

В) x = ± 1,.

Г) Ні решений.

8) Вирішити систему:

.

y2 — x — 5 = 0.

А) (4; 3), (4; - 3),.

Б) (1; 2),.

В) Ні решений, Г) x? R, y = ± 3.

9) Вирішити систему:

.

А) (1; - 1), (5; 5).

Б) Ні решений, В) (1;1),.

Г) (- 2; 3), (3; - 2).

10) При яких a нерівність 2x + a > 0 є наслідком нерівності x + 1 — 3a > 0?

А)2/7 ,.

Б) а ?2/7 ,.

В) за будь-яких a,.

Г) а ?2/7 .

11) Знайти найбільше ціле x, задовольняють неравенству:

.

а) х? (-?; -3,5),.

б) -3,.

в) -4,.

г) немає решений.

12) Знайти найбільше ціле x, задовольняють нерівності:

.

а)5,.

б) -3,.

в) 4,.

г)нет решений.

13)Найти целочисленные рішення нерівностей:

.

а) 0, 1, 2,.

б) 4, 5,.

в) 7,.

г)нет решений.

14) Знайти целочисленные рішення нерівностей:

.

а)5,.

б) -3, -4, -5,.

в) 5,6,.

г)нет решений.

15) Вирішити неравенство:

.

а) (-?; -3)? (0; 3,.

б) (-3, 0)? (0; ?),.

в) (5; 7),.

р) немає решений.

16) Вирішити неравенство:

.

а) (-?; -3/25)? (0; ?),.

б) (-12, 0)? (7;9),.

в) (-? ;)? (; 5),.

р) немає решений.

Вирішити нерівність:

.

а) (-9; -5)? (0; 8),.

б) (-8, -7)? (1;3),.

в) (-?; -7)? (1; 3),.

р) немає решений.

18) Вирішити неравенство:

.

а) [-4; -2)? (0;5],.

б) (-1, 0]? [1;7),.

в) (-4; -3)? [5; 7],.

г) немає решений.

19) Вирішити неравенство.

? 1,5 — 3х? < 3.

а) (-2,5; -2)? (0; 3,5],.

б) (-0,5; 1,5),.

в) (-4,5; -3,5),.

г) немає решений.

20) Вирішити неравенство:

.

а) (-3; -1),.

б) (0; 1),.

в) (-7; -10),.

р) немає решений.

Ответы: 1 — Р; 2 — У; 3 — У; 4 — Б; 5 — Р; 6 — У; 7 — А; 8 — А; 9 — В;10 — Б;

11 — У; 12 — А; 13 — А; 14 — У; 15 — А; 16 — У; 17 — Б; 18 — У; 19 — Б; 20 — А.

Список використаної літератури: Математика. Інтенсивний курс підготовки до іспитів. Про. Ю. Черкасов, А. Р. Якушев. Москва, вид. «Айріс», 1997. Тисяча і тільки приклад. Рівності і нерівності. А. М. Назаренко, Л. Д. Назаренко. Суми, вид. «Слобожанщина», 1994. Система тренувальних завдань і вправ з математики. А. Я. Симонов. Москва, вид. «Просвітництво» 1991. Алгебра 8 клас. М. Я. Віленкін. Москва, вид. «Просвітництво», 1995. Завдання з математики для вступників у ВТУЗы. Р. Б. Райхмист. Москва, вид. «Вищу школу», 1994. Алгебраїчний тренажёр. А. Р. Мерзляк. Москва — Харків, вид. «Илекса», вид. «Гімназія», 1998. Готуємося до іспитів з математики. Д. Т. Письмовий. Москва, вид. «Айріс», 1996. Завдання з математики. Рівняння і нерівності. Вавілов У. У., Мельников І. І. Москва, вид. «Наука», 1987. Алгебра й конкуренції початку аналізу. Видання друге, перероблене і доповнене. А. Р. Мордкович. Москва, вид. «Вищу школу», 1987. Алгебра. Посібник самоосвіту. З. М. Микільський. Москва, вид. «Наука», 1985. Довідник методами вирішення завдань з математики. А. Р. Цыпкин. Москва, вид. «Наука», 1989. Рішення завдань. І. Ф. Шарыгин. Москва, вид. «Просвітництво», 1994. Алгебра і математичний аналіз. 10 клас. М. Я. Віленкін. Москва, вид. «Просвітництво», 1997. Математика. Алгебра і формального початку аналізу. А. І. Лобанова. Київ, вид. «Вища школа», 1987. Алгебра. 9 клас. М. Я. Віленкін. Москва, вид. «Просвітництво», 1996.