Деякі Теоремі Штурму

Быков В.В. [email protected].

Введение

…3.

§ 1. Попередні сведения…5.

§ 2. Основні факты…8.

§ 3. Теореми Штурма…18.

Використана литература…27.

Тема дипломної роботи «Теорему Штурму», пов’язана з ім'ям французького математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. — правильне вимова: Стюрм), народився 29 вересня 1803 року у Женеві. Був членом Паризької Академії Наук з 1836, і навіть іноземним членом — кореспондентом Петербургській академії наук з цього самого року. З 1840 року був професором Політехнічної школи Париже.

Штурм (1824/25) і Раабе (1827) запровадили головні формули сферичної тригонометрії з допомогою просторових координат.

Теорему Фур'є (Теорему про кількість дійсних коренів між двома даними межами), математика Жозефа Фур'є (Joseph Fourier, 1768−1830), затьмарила більш загальна теорема, опублікована Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказ сам Штурм надав лише лише у премійованої роботі 1835 г. Коші Огюстен (Cauchy Augustin, 1789−1857) поширив теорему Штурму на комплексні коріння (1831). Доповнення до неї надав також Сільвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814−1897) в 1839 року і позже.

Основні праці Жана Шарля Штурму ставляться до вирішення крайових завдань рівнянь математичної фізики та що з цим завданням про разыскивании власних значень і власних функцій для звичайних диференційних рівнянь. (Завдання Штурма-Лиувилля, про перебування відмінних від нуля рішень диференційних рівнянь :

-(p (t)u ()(+q (t)u=(u, які відповідають граничним умовам вида:

А1u (a)+B1u ((a)=0,.

A2u (b)+B2u ((b)=0, (про власних функцій), і навіть про перебування значень параметра ((власних значень), у яких є такі рішення. У певних умовах на коефіцієнти p (t), q (t) завдання Штурма-Лиувилля полягала в розгляду аналогічної завдання для рівняння виду: -u ((+q (x)u=(u).

Це було вперше досліджували Штурмом і Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809−1882) в 1837 г. і завершено в 1841 г.

Також Жак Штурм дав загальний метод визначення числа коренів алгебраїчних рівнянь, лежачих на заданому відрізку, під назвою правилом Штурму, що дозволяє знаходити непересічні інтервали, містять кожен за одним дійсному корені даного алгебраического багаточлена з дійсними коефіцієнтами (згадувалося выше).

Йому належать низку робіт з і механике.

Штурм Жак Шарль Франсуа помер 18 грудня 1855 года.

§ 1. Попередні сведения.

Серед диференційних рівнянь, найчастіше які у математики й фізиці, слід виділити лінійне рівняння другого порядку, має вид u «+ g (t)u «+ f (t)u=h (t) (1.1) или.

(р (t) і «) «+ q (f) і = h (t). (1.2) Зазвичай, а то й обумовлено гидке, передбачається, що функції (t), g (f), h (f) і р (f) ?0, q (t), що входять до ці рівняння, є безперервними (речовими чи комплексними) на деякому t-интервале J, що може бути як обмеженим, і необмеженим. Причина, по якої передбачається, що р (t)? 0, незабаром стане ясной.

Із двох висловів (1.1) і (1.2) останнє є загальним, оскільки рівняння (1.1) то, можливо записано в виде.

(p (t) і «) «+ р (t) f (t)u= р (t) h (t), (1.3) якщо визначити p (t) наступним образом:

[pic] (1.4).

при деякому a? J. Часткове звернення цього твердження також вірно, бо якщо функція р (t) безупинно дифференцируема, рівняння (1.2) можна записати в виде.

[pic], але це рівняння має вигляд (1.1).

Що стосується, якщо функція р (t) безупинна, але з має безупинної похідною, рівняння (1.2) може бути записано як (1.1). Тоді рівняння (1.2) можна інтерпретувати як лінійну систему з цих двох рівнянь першого порядку невідомого двумерного вектора [pic]:

[pic], [pic]. (1.5) Інакше кажучи, рішення і = і (t) рівняння (1.2) має бути такою безупинно дифференцируемой функцією, що функція р (t) u «(t) має безперервну похідну, що б (1.2). Якщо р (t)? 0 і q (t), h (t) безупинні, до системи (1.5), тож і до рівнянню (1.2) застосовні стандартні теореми існування й одиничності для лінійних систем (Ми можемо розглядати зустрічалися з більш загальні (т. е. менш гладкі) типи рішень, якщо припускати, наприклад, лише, що функції 1/p (t), q (t), h (t) локально интегрируемы.) Приватному випадку рівняння (1.2) при [pic] відповідає рівняння і «+ q (t) u = h (t). (1.6) Якщо функція [pic] приймає речові значення, рівняння (1.2) може бути наведено до такого виду з допомогою заміни незалежних переменных.

[pic], тобто. [pic] (1.7).

при деякому a? J. Функція p. s = p. s (t) має похідну [pic] і тому суворо монотонна. Отже, функція p. s = p. s (t) має зворотний t= t (p.s), певну на деякому s-интервале. Після запровадження нового незалежної перемінної p. s рівняння (1.2) перетворюється на уравнение.

[pic] (1.8).

где аргумент t висловів p (f)q (t) і p (t) h (f)должен бути замінений функцією t = t (s). Рівняння (1.8) є рівнянням типу (1.6). Якщо функція g (t) має безперервну похідну, то рівняння (1.1) може бути до виду (1.6) з допомогою заміни невідомої функції і z:

[pic] (1.9) попри деякий a? J. У насправді, підстановка (1.9) в (1.1) призводить до уравнению.

[pic] (1.10) що має вид (1.6).

З огляду на сказаного вище, ми можемо вважати, що аналізовані рівняння другого ладу у загальному випадку мають вид (1.2) чи (1.6). Твердження, які у наступних вправах, будуть часто використовуватися в дальнейшем.

§ 2. Основні факты.

Перш ніж можливість перейти до розгляду спеціальних питань, ми матимемо слідства, що стосуються однорідної і неоднорідного уравнений.

[pic] (2.1).

[pic] (2.2) І тому перепишемо скалярні рівняння (2.1) чи (2.2) як системи двох уравнений.

[pic] (2.3).

[pic] (2.4).

где вектори x= (х1, х2), у == (у1, y2) збігаються з векторами [pic], [pic], A (t) — матриця другого порядка:

[pic] (2.5) Не обумовлено гидке, то передбачається, що [pic], q (t), h (t) і інші коефіцієнти є безперервними комплексними функціями на tінтервалі J (що може бути замкнутим чи незамкнутым, обмеженим чи неограниченным).

(і) Якщо [pic] і [pic], [pic] - довільні комплексні числа, то завдання Коші для рівняння (2.2).

[pic], [pic] (2.6) має єдине рішення, існуюче попри всі [pic][pic], див. лемму IV. 1.1.

(ii) У приватному разі (2.1) рівняння (2.2) і за [pic] відповідним єдиним рішенням служить функція [pic]. Тому, якщо [pic] є рішення рівняння (2.1), то нулі функції і (t) що неспроможні мати граничною точки в J.

(iii) Принцип суперпозиции. Якщо [pic], [pic]-решения рівняння (2.1), a [pic], [pic]-постоянные, то функція [pic] розв’язує рівняння (2.1). Якщо [pic]-решение рівняння (2.2), то функція [pic] є також рішенням рівняння (2.2) тоді й тільки тоді, коли функція [pic] задовольняє рівнянню (2.1).

(iv) Якщо [pic], [pic]-решения рівняння (2.1), це були відповідні векторні рішення системи (2.3) [pic], [pic] лінійно незалежні (в кожній точці t) тоді й тільки тоді, коли функції [pic], [pic] линейно независимы тому, що рівність [pic], де [pic] і [pic]- постійні, тягне у себе [pic].

(v) Якщо [pic], [pic] - рішення рівняння (2.1), що існує стала з, що залежить від і (t) і v (t) і такі, що їх вронскиана W (t) = W (t; і, v) виконується тождество.

[pic]. (2.7) Оскільки матричним рішенням системи (2.3) является.

[pic], detX (t)=p (t)W (t) і trA (t)=0. (vi) Тотожність Лагранжа. Розглянемо пару уравнений.

[pic], [pic], (2.8) де f=f (t), g=g (t) — безперервні функції на J. Якщо помножити друге рівняння на і, первое-на v і вивести результати відняти, ми матимемо, что.

[pic], (2.9) оскільки [pic]. Співвідношення (2.9) називається тотожністю Лагранжа. Його інтегральна форма.

[pic] (2.10) де [pic], називається формулою Грина.

(vii) Зокрема, з (v) слід, що и (t) і v (t) — лінійно незалежні рішення рівняння (2.1) тоді й тільки тоді, як у (2.7) [pic]. У цьому вся разі всяке рішення рівняння (2.1) є лінійної комбінацією [pic] функцій и (t) і v (t) з постійними коэффициентами.

(viii) Якщо [pic] (наприклад, [pic]), то вронскиан будь-який пари рішень и (t), v (t) рівняння (2.1) дорівнює постійної .

(ix) Відповідно до результатами загальної теорії, у разі, коли відомо одне правильне рішення [pic] рівняння (2.1), пошук інших рішень v (t) цього рівняння (по крайнього заходу локально) зводиться до вирішення деякого скалярного диференціального рівняння першого порядку. Якщо [pic] на подинтервале [pic], цим рівнянням служить рівняння (2.7), що й — відома функція, а v — бажана. Якщо поділити (2.7) на [pic], це рівняння запишеться в виде.

[pic], (2.11).

а після інтегрування ми иметь.

[pic], (2.12) де а, [pic]. Легко перевірити, що й [pic],[pic] - довільні постійні й а, [pic], то функція (2.12) розв’язує рівняння (2.1), що задовольняє (2.7) будь-якою інтервалі J ", де [pic] .

(x) Нехай и (t), v (t) — рішення рівняння (2.1), задовольняють (2.7) з [pic]. При фіксованому [pic] рішенням рівняння (2.1), що задовольняє початкових умов і (p.s) = 0, p (s)u «(p.s) = 1, є [pic]. Тому рішенням рівняння (2.2), що задовольняє умовам [pic], служить функция.

[pic]; (2.13) (простіше перевірити це безпосередньо). Загальне рішення рівняння (2.2) виходить додатком до (2.13) загального сценічного рішення [pic] рівняння (2.1), що дает.

[pic]. (2.14).

Якщо замкнутий обмежений інтервал [a, b] міститься у J, то, полагая.

[pic], [pic], [pic].

мы отримуємо з (2.14) приватне решение.

[pic]. (2.15).

Оно то, можливо записано в виде.

[pic], (2.16) где.

[pic] (2.17).

матрица З (t) залежить від [pic], але з залежить від своїх похідних. У цьому вся разі рівняння (2.1) і еквівалентна йому система (2.3) зводяться до системе.

[pic]. (2.28).

(xii) Якщо відомо приватне рішення [pic] рівняння (2.27), нерівний нулю на J, ми можемо визначити лінійно незалежні рішення з допомогою квадратур (див. (ix)) і далі знайти матрицю, входить у (2.28). У дійсності, хоча б результат можна було одержати більш прямим шляхом. Нехай рівняння (2.27) має рішення [pic] на інтервалі J. Замінимо невідому функцію й у (2.1) на z, так что.

[pic]. (2.29) Функція z задовольняє диференціальному рівнянню [pic].

Умножая його за [pic], ми маємо, что.

[pic] (2.30) чи, з (2.27), что.

[pic], (2.31) т. е. підстановка (2.29) наводить рівняння (2.1) до (2.30) або до (2.31). Ми могли також починати ні з рішення [pic] диференціального рівняння (2.27), і з функції [pic], має безперервну похідну [pic] і такий, що [pic] безупинно дифференцируема. У цьому [pic] визначається рівністю (2.27), отже [pic]. Підстановка (2.29) називатиметься також варіацією постоянных.

(xiii) Підстановка Лиувилля. Як окремого випадку розглянемо (2.1) з р (t) = 1: і «+ q (t) і = 0. (2.32) Припустимо, що функція q (t) має безперервну похідну другого порядку, речовинна і дорівнює нулю, так что.

±q (t) > 0, де ± = sgn q (t) (2.33).

не залежить від t. Розглянемо варіацію постоянных.

[pic]. (2.34).

Тогда (2.32) зводиться до (2.30), де [pic], т. е. до уравнению.

[pic] (2.35).

Замена незалежних змінних [pic], певна соотношением.

[pic], (2.36).

переводит (2.35) в уравнение.

[pic] (2.37) где.

[pic] (2.38).

а аргументом функції q і його похідних служить функція t = t (p.s), зворотна до функції p. s = p. s (f), обумовленою з (2.36) з допомогою квадратури; див. (1.7). У цих формулах штрих означає диференціювання по t, отже q «= dqldt.

Заміна змінних (2.34), (2.36) називається підстановкою Лиувилля. Ця підстановка, чи повторне застосування її, часто призводить до диференціальному рівнянню типу (2.37), у якому функція f (p.s) «близька» до постійної. Простий граничний випадок такий підстановки див. в упр. 1.1©.

(xiv) Рівняння Риккати. У п. (xi), (xii) і (xiii) розглядалися перетворення рівняння (2.1) у різні лінійні рівняння другого порядку чи відповідні лінійні системи двох рівнянь першого порядку. Іноді зручно перетворити (2.1) до відповідного нелінійне рівняння чи систему. І тому найчастіше використовується наступний метод. Пусть.

[pic], (2.39).

так що [pic]. Тоді після розподілу (2.1) на і результати можна записати в виде.

[pic]. (2.40) Це рівняння називається рівнянням Риккати, відповідним (2.1). (У загальному разі рівняння виду [pic], де права частина є квадратичным полиномом від р, називається диференційним рівнянням Риккати.).

Читачеві надається перевірка той факт, що й (t) — рішення рівняння (2.1), нерівний нулю на t — інтервалі [pic], то функція (2.39) розв’язує рівняння (2.40) на J "; назад, якщо [pic] - рішення рівняння (2.40) на t-интервале [pic], то, інтегруючи (2.39), ми маємо решение.

[pic] (2.41) рівняння (2.1), нерівний нулю в жодній точці з J " .

(xv) Перетворення Прюфера. Що стосується, коли рівняння (2.1) має речові коефіцієнти, часто використовується таке перетворення. Нехай [pic]-вещественное рішення рівняння 2.1, і пусть.

[pic].

Поскольку й і «що неспроможні звернутися у нуль одночасно, то, фіксуючи відповідне значення функції [pic] у певній точці [pic], ми визначаємо з допомогою другого з рівностей (2.42) безупинно дифференцируемую функцію [pic]. Співвідношення (2.42) переводять рівняння (2.1) в систему.

[pic], (2.43).

[pic] (2.44) У рівняння (2.43) входить один із невідомих функцій [pic]. Якщо рішення [pic] рівняння (2.43) відомо, то відповідне рішення рівняння (2.44) то, можливо знайдено з допомогою квадратуры.

Перевага рівняння (2.43) проти (2.40) у тому, що всяке рішення рівняння (2.43) існує по всьому інтервалі J, де безупинні р і q. Це з співвідношення, який зв’язує рішення рівнянь (2.1) і (2.43).

Вправа 2.1. Перевірте, що й функція [pic] безупинна на J і має локально обмежену варіацію (т. е. має обмежену варіацію усім замкнутих обмежених подин-тервалах з J) і якщо — речовинне рішення рівняння (2.1), то равенства.

[pic] (2.45).

при фіксованому значенні [pic] для деякого [pic] однозначно визначають безперервні функції [pic], мають локально обмежену варіацію и.

[pic].

Соотношения (2.46) і (2.47) слід розуміти отже інтеграли Рімана — Стильтьеса від обох їх частин рівні. Назад, (безперервні) рішення системи рівнянь (2.46), (2.47) визначають рішення рівняння (2.1) з допомогою співвідношень (2.45). Зауважимо, що й q (t) > 0, р (t) > 0 й третя функція q (t) р (t) має локально обмежену варіацію, то, вважаючи [pic], ми маємо q/[pic], а співвідношення (2.45), (2.46) і (2.47) переходить до равенства.

[pic][pic] (2.48).

[pic] (2.49).

[pic]. (2.50).

§ 3. Теореми Штурма.

У цьому вся параграфі ми розглядати лише рівняння виду (2.1) з речовими безперервними коефіцієнтами р (t) > 0, q (t). Під «рішенням» ми розуміти «речовинне, нетривиальное (т. е. [pic]) рішення». Нас цікавитиме безліч нулів рішення u (t). Для вивчення цих нулів часто виявляється корисним перетворення Прюфера (2.42), оскільки [pic] тоді й тільки тоді, коли [pic].

Лема 3.1. Нехай [pic] - речовинне рішення рівняння (2.1) при [pic], де [pic] і [pic] речовинні і безупинні. Нехай функція і (t) має у точності [pic] нулів [pic] при [pic]. Припустимо, що [pic] - безперервна функція, певна рівністю (2.42), і [pic]. Тоді [pic]и [pic] при [pic] .

Доказ. Зауважимо, що тією точці t, де u=0, т. е. де [pic], похідна [pic] з (2.43). Отже, функція [pic] зростає у околиці точок, де [pic] для деякого цілого j. Звідси випливає, що якщо [pic] і [pic], то [pic] при [pic], і навіть що й [pic], то [pic] при [pic]. Тим самим було лема доказана.

У теоремах цього параграфа розглядатимуться два уравнения.

[pic] [pic] де функції [pic] речовинні і безупинні на інтервалі J. и.

[pic]. (3.2) І тут рівняння (3.1) називається мажорантой Штурму для (3.1) на J, а рівняння (3.1)-минорантой Штурму для (3.1). Якщо додатково відомо, що соотношения.

[pic] (3.32) или.

[pic] і [pic] (3.31) виконуються у певній точці [pic], то рівняння (3.32) називається суворої мажорантой Штурму для (3.31) на J.

Теорему 3.1 (перша теорема порівняння Штурму). Нехай коефіцієнти рівняння [pic] безупинні на інтервалі J: [pic], і нехай рівняння (3.32) є мажорантой Штурму для (3.11). Припустимо, що функція [pic] розв’язує рівняння (3.11) і має точно [pic] нулів [pic] при [pic], а функція [pic] задовольняє рівнянню (3.12) и.

[pic] (3.4) при [pic]. [Вислів у правій (відповідно лівої) частини нерівності (3.4) при [pic] потрібно було рівним [pic], якщо [pic] (відповідно якщо [pic]); зокрема, співвідношення (3.4) справедливо при [pic], якщо [pic]. ] Тоді [pic] має за [pic] пo крайнього заходу n нулів. Понад те, [pic] має по крайнього заходу n нулів при [pic], якщо [pic] в (3.4) має місце суворе нерівність або якщо рівняння (3.1 р) є суворої мажорантой Штурму для (3.11) при [pic].

Доказ. З огляду на (3.4) можна визначити при [pic] пару безперервних функцій [pic] з допомогою соотношений.

[pic] (3.5) Тоді справедливі аналоги співвідношення (2.43):

[pic] (3.6j).

Оскільки безперервні функції [pic], гладким чином залежні від [pic], рішення системи (3.6) однозначно визначаються своїми початковими умовами. З (3.2) слід, що [pic] при [pic] і занепаду всіх [pic]. Саме тому останній частина (3.5) та досудове слідство III.4.2 означають, що [pic] для [pic]В частковості, з [pic] слід, що [pic], й перша частина теореми випливає з леми 3.1.

Щоб довести останню частина теореми, припустимо спочатку, що з [pic] в (3.4) має місце суворе нерівність. Тоді [pic]. Означимо через [pic] рішення рівняння (3.62), що задовольнить початковому умові [pic], отже [pic]. Оскільки рішення рівняння (3.62) однозначно визначається початковими умовами, [pic] при [pic]. Нерівність, аналогічне (3.7), означає, що [pic] тому [pic]. Отже, [pic] має n нулів при [pic].

Розглянемо тепер випадок, як у (3.4) має місце рівність, але у деякою точці з [pic] виконується або (3.31), або (3.32). Запишемо (3.62) в виде.

[pic], где.

[pic] Якщо доказуване твердження не так, те з вже розглянутої випадку слід, що [pic] при [pic]. Поэтому [pic] і [pic]при [pic]. Оскільки [pic] лише у нулях функції [pic], то це означає, що [pic] при [pic] і [pic]. Отже, якщо [pic] попри деякий t, то [pic], т. е. [pic]. Якщо (3.31) не виконується ні за якому t з відрізка [pic], то, при деякому t має місце (3.32), і тому (3.32) справедливо на деякому подинтервале з [pic]. Але тоді у цьому інтервалі [pic] і тому [pic]. Але це суперечить умові [pic]. Доказ закончено.

Слідство 3.1 (теорема Штурму про розмежування нулів). Нехай рівняння (3.12) є мажорантой Штурму для (3.11) на інтервалі J, і нехай [pic] - речові рішення рівнянь, (3.3j). Нехай [pic] звертається до нуль в двох точках [pic] інтервалу J. Тоді [pic] має по крайнього заходу один нуль на [pic]. Зокрема, якщо [pic] і [pic]вещественные лінійно незалежні рішення рівняння (3.11)[pic] (3.12). Те нулі функції [pic] поділяють нулі функції [pic] і поділяються ими.

Зауважимо, що, останнє твердження цієї теореми можна буде, оскільки нулі функцій [pic] і [pic] немає на J граничних точок. З іншого боку, [pic], [pic] що неспроможні мати загального нуля [pic], позаяк у іншому разі в силу те, що рішення рівняння (3.11) єдині, [pic], де [pic] (так що [pic] і [pic] є лінійно независимыми).

Вправа 3.1. (Інше доказ теореми Штурму про розмежування нулів, коли p1(t)(p2(t)>0, q2(t)(q1(t).).

Припустимо, що u1(t)>0 при t10 при t10 чого не может.

Решение:

(p1(t)u ()(+q1(t)u=0, u=u1.

(p1(t)u1()(+q1(t)u1=0.

Помножимо ліву частина рівності на u2, одержимо: u2(p1(t)u1()(+q1(t)u1u2=0.

У другому рівнянні проробимо відповідні операции:

(p2(t)u ()(+q2(t)u=0, u2=u.

(p2(t)u2()(+q2(t)u2=0.

Помножимо ліву частина рівності на u1, одержимо: u1(p2(t)u2()(+q2(t)u1u2=0.

Віднімаємо з першого рівняння друге, одержимо: u2(p1u1()(+q1u1u2-u1(p2u2()(-q2u1u2=0, p=p1=p2 u2(pu1()(+q1u1u2-u1(pu2()(-q2u1u2=0.

(u2(pu1()(-u1(pu2()()+u1u2(q1-q2)=0.

Спростимо це рівняння, u2(p (u1(+pu1(()-u1(p (u2(+pu2(()+u1u2(q1-q2)=0.

Розкриємо дужки, одержимо: p (u1(u2+ pu1((u2- p (u1u2(-pu1u2((+u1u2(q1-q2)=0.

Порівнюючи з формулою (2.2), получаем:

(p (u1(u2-u1u2())(+u1u2(q1-q2)=0.

(p (u1(u2-u1u2())(-u1u2(q2-q1)=0.

(p (u1(u2-u1u2())(=u1u2(q2-q1)=0.

Проинтегрируем це рівняння по [t1,t], получим:

[pic][p (u1(u2-u2(u1)](dt = [pic]u1u2(q2-q1)dt, де u1u2>0, q2-q1(0. Отже p (u1(u2-u1u2()(0. Т.а. (u1/u2)((0 (u1/u2>0.

Вправа 3.2. з) Перевірте, що речові рішення u (t) (0 рівняння u ((+(/t2u=0 (1/17) має більше нуля при t>0, якщо (([pic], і рішення мають нескінченно багато нулів при t>0, якщо (>[pic]. У разі безліч нулів має дві граничні точки t=0 і t=(.

Рішення: в § 1 було розглянуто вправу 1.1 з), де показали, що функція u=t (розв’язує рівняння u ((+(/t2u=0 тоді й тільки тоді, коли (задовольняє рівнянню (((-1)+ (=0. Вирішуючи його отримали: (=[pic]([pic](.

Якщо (>¼, то коріння (1 і (2 — комплексні, тобто. u=t½[cos ([pic](-¼ ln t) c1+c2sin ([pic](-¼ ln t)] мають незліченну кількість нулів. Зокрема, якщо покласти: c1=sinu, c2=cosu, одержимо: u= t½[sin u co ([pic](-¼ ln t)+cos u sin ([pic](-¼ ln t)]= t½ [sin (u+[pic](-¼ ln t)].

Якщо (0 таку послідовність t1.