Элементарные конформні отображения

ЕЛЕЦ

ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ ИНСТИТУТ.

КУРСОВА РАБОТА.

ПО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛИЗУ.

Тема: «Елементарні конфортные отображения».

Виконала: студентка групи М-31 фізико-математичного факультета.

О.Г. Петренко.

Науковий руководитель:

О.А. Саввина.

1998 г.

ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ПЕРЕМЕННОЙ Краткая довідка. Нехай є безлічі комплексних точок [pic]и [pic]. Якщо заданий закон [pic], ставить у відповідність кожному [pic] точку (чи крапки) [pic], то кажуть, що у безлічі [pic]задана функція комплексної перемінної зі значеннями в безлічі [pic]. Позначають це так: [pic]. (Часто кажуть також, що [pic]отображает безліч [pic]в безліч [pic].) Завдання функції [pic] еквівалентно завданням двох дійсних функцій [pic] і тоді [pic], де [pic], [pic]. Як і звичайному аналізі, теоретично функцій комплексної перемінної дуже важливе значення мають елементарні функції. Розглянемо що з них.

1. [pic] [pic] - лінійна функція. Визначено попри всі [pic]. Відображає повну комплексну площину [pic]на повну комплексну площину [pic]. Функція [pic]и зворотна їй [pic]- однозначні. Функція [pic]поворачивает площину [pic]на кут, рівний [pic], розтягує (стискує) їх у [pic] разів, і після цього здійснює паралельний зрушення на величину [pic]. Безупинна на комплексної плоскости.

2. [pic]. Визначено на комплексної площині, причому [pic], [pic]. Однозначна, безупинна скрізь, крім точки [pic]. Відображає повну комплексну площину [pic]на повну комплексну площину [pic], причому точки, що лежать на одиничної окружності, переходить до точки тієї ж окружності. Крапки, що лежать всередині окружності одиничного радіуса, переходять в точки, що лежать за її межами, і наоборот.

3. [pic] - показова функція. За визначенням [pic], тобто. [pic], [pic], [pic]. З визначення випливають формули Эйлера:

[pic]; [pic]; [pic]; Визначено на комплексної площини і безупинна у ньому. [pic]периодична з періодом [pic]. Відображає кожну смугу, паралельну осі [pic], шириною [pic] [pic]в площині [pic]в повну комплексну площину [pic]. З властивостей [pic]отметим найпростіші: [pic], [pic].

4. [pic]- логарифмічна функція (натуральний логарифм). По визначенню: [pic]. [pic]Выражение [pic] називається головним значенням [pic], отже [pic]. Визначено всім комплексних чисел, крім [pic]. [pic] - бесконечно-значная функція, зворотна до [pic]. [pic], [pic].

5. [pic] [pic]- загальна показова функція. За визначенням, [pic]. Визначено всім [pic], її головне, значення [pic], бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функції [pic]; [pic];[pic];[pic] За визначенням, [pic]; [pic];

[pic]; [pic].

7. Гіперболічні функції. Визначаються за аналогією із функціями дійсною перемінної, а именно:

[pic], [pic] Визначено також і безупинні на комплексної плоскости.

Завдання з рішенням. 1) Знайти модулі і головні значення аргументів комплексних чисел: [pic], [pic], [pic], [pic], Рішення. За визначенням, [pic],[pic], [pic]; якщо [pic], то, очевидно, [pic], [pic],.

[pic], [pic], [pic].

[pic], [pic], [pic], [pic].

[pic], [pic], [pic], [pic] Знайти суммы:

1) [pic].

2) [pic] Рішення. Нехай: [pic], а.

[pic]. Помножимо друге місце на [pic], сплюсуємо з першої, скориставшись формулою Эйлера, одержимо: [pic] [pic]; Перетворюючи, получим:

[pic], [pic] 3. Довести, що: 1) [pic] 2)[pic].

3)[pic] 4)[pic] Доказ: 1) За визначенням, [pic] 2) [pic] 3) [pic]; [pic] Висловити через тригонометрические і гіперболічні функції дійсного аргументу справжні й удавані частини, і навіть модулі наступних функцій: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; Рішення: [pic] та враховуючи результати попереднього прикладу, одержимо: [pic], [pic], [pic], [pic] Нагадаємо, що [pic] 2) [pic] [pic], [pic], [pic] 3) [pic] [pic], [pic] ,.

[pic], [pic]. Знайти справжні й удавані частини наступних значень функцій: [pic]; [pic]; [pic] Рішення. Дотримуючись рішенню прикладу 4, матимемо: [pic]; [pic]; [pic]; [pic];

[pic]; [pic] Обчислити: 1) [pic]; 3) [pic]; 5) [pic];

2) [pic]; 4) [pic]; 6) [pic]; Рішення. За визначенням, [pic], [pic] 1)[pic], [pic], [pic],.

[pic] 2) [pic], [pic], [pic],.

[pic] 3) [pic], [pic], [pic], [pic] 4)[pic], [pic], [pic],.

[pic] 5)[pic], [pic], [pic],.

[pic] 6)[pic], [pic], [pic], [pic] Знайти все значення наступних степеней:

1) [pic]; 2) [pic]; 3)[pic]; 4)[pic]; Рішення. Вислів [pic] для будь-яких комплексних [pic] і [pic]определяются формулою [pic] 1) [pic] 2)[pic] 3) [pic] 4) [pic]. 8. Довести такі равенства:

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic] Доказ: 1) [pic], якщо [pic], чи [pic], звідки [pic], чи [pic]. Вирішивши це рівняння, одержимо [pic], тобто. [pic] і [pic] 2) [pic], якщо [pic], звідки [pic], чи [pic], следовательно,.

[pic], [pic] 3) [pic], якщо [pic], звідки [pic], или.

[pic]. Звідси [pic], отже, [pic].