Лекції з матану (III семестр) що переходять у шпори

№ 1.

1 Подвійний интеграл Рассмотрим у площині Оху замкнуту область D, обмежену лінією Р, що є замкнутої безупинної кривою. z = l (P) = f (x, y), P= (x, y) (D — довільні ф-ции визначені та обмежені на D. Діаметром області D зв. найбільше відстань між граничними точками. Область D розбивається на n частих областей D1… Dn кінцевим числом произв. кривих. Якщо P. S — площа D, то (Si — площа кожній приватній області. Найбільший з діаметрів областей обозн (. У кожній приватної області Di візьмемо произв. точку Pi ((і, Di) (Di, зв. проміжної. Якщо діаметр розбивки D ((0, то число n областей Di ((. Обчислимо зн-ие ф-ции в проміжних точках і складемо сумму: I = [pic]f ((i, Di)(Si (1), зв. інтегральної сумою ф-ции. Ф-ция f (x, y) зв. интегрируемой у сфері D якщо є кінцевий межа інтегральної суми. Подвійним інтегралом ф-ии f (x, y) областю D зв. межа інтегральної суми при ((0. Обозн: [pic]или[pic].

2 Поняття числового деяких обласних і його суми Нехай задана нескінченна послідовність чисел u1, u2, u3… Вислів u1+ u2+ u3…+ un (1) називається числовим поруч, а числа його складовічленами низки. Сума звісно числа n перших членів низки називається n-ной часткової сумою низки: Sn = u1+.+un Якщо сущ. кінцевий межа: [pic], його називають сумою деяких обласних і кажуть, що кілька сходиться, якщо краю немає, то говорять, що ряд розходиться та незначною сумою не имеет.

№ 2.

1 Умова існування подвійного інтеграла Необхідна, але недостатнє: Ф-ция f (x, y) интегрируема на замкнутої області D, обмежена на D. 1 достатній ознака існування: якщо ф-ция f (x, y) безупинна на замкнутої, огр. області D, вона интегрируема на D. 2 достатній ознака існування: якщо ф-ция f (x, y) обмежена в замкнутої області D з якоюсь кордоном й безупинна у ній крім окремих крапок і гладки=х прямих у кінцевому числі де вона може мати розрив, вона интегрируема на D.

2 Геометричний и.

арифметичний ряды Ряд складається з членів безкінечною геометричній прогресії зв. геометричних: [pic] чи а+ а (q +…+a (qn-1 a (0 перший член q — знаменник. Сума низки: [pic] отже кінцевий межа послідовності приватних сум низки залежить від величини q Можливі випадки: 1 |q|1 [pic] і межа суми як і дорівнює нескінченності т. е. ряд розходиться. 3 при q = 1 виходить ряд: а+а+…+а… Sn = n (a [pic] ряд розходиться 4 при q (1 ряд має вигляд: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n парному, Sn=a при n непарному краю приватних суми немає. ряд розходиться. Розглянемо декотрі з нескінченних членів арифметичній прогрессии:[pic] u — перший член, d — різницю. Сума низки [pic] [pic]при будь-яких u1 і d одночасно (0 і кілька завжди расходится.

№ 3.

1 Основні св-ва 2ного інтеграла 1. Подвійний інтеграл областю D = площі цій галузі. 2. Якщо область G міститься у Д, а ф-ция обмежена і интегрируема в Д, то вона интегрируема й у G. 3. Аддитивное св-во. Якщо область Д з допомогою кривою р розбивають на 2 області Д1 і Д2, які мають загальних внутрішніх точок, то: [pic] 4. константи виносяться за знак інтеграла, а суму ф-ции можна як суми з дитинства інтегралів: [pic] 5. Якщо ф-ции f і g интегрируемы в Д, їх твір також интегрируемо в Д. Якщо g (x, y) (0 те й f/g интегрируема в Д. 6. Якщо f (x, y) і g (x, y) интегрируемы в Д і скрізь у цій галузі f (x, y) =0 те й [pic] 7. Оцінка абсолютної величини інтеграла: якщо f (x, y) интегрируема в Д, те й |f (x, y)| интегрир. в Д причому [pic] зворотне твердження не так, итз интегрируемости |f| годі було интегрируемость f. 8. Теорему про середньому значенні. Якщо ф-ция f (x, y) интегр. в Д., то цій галузі знайдеться така точка ((, () (Д, що: [pic](2), де P. S — площу фігури Д. Значення f ((, () опред по ф-ле (2) зв. середнім значенням ф-ции f областю Д.

2 С-ва збіжних рядів Нехай дано два низки: u1+u2+…un =[pic](1) і v1+v2+…vn = [pic](2) Твором низки (1) на число ((R зв ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3) Сумою рядів (1) і (2) зв ряд: (u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для різниці лишень — появица) Т1 Про спільний множителе Якщо ряд (1) сходиться та її сума = P. S, то тут для будь-якого числа (ряд [pic]=(([pic] теж сходиться та її сума P. S' = P. S ((Якщо ряд (1) розходиться і ((0, те й ряд [pic] теж розходиться. Т. е. загальний множник важить на расходимости низки. Т2 Якщо ряди (1) і (2) сходяться, які суми = соотв P. S і P. S', те й ряд: [pic] теж сходиться і якщо (його сума, то (= S+S'. Т. е. сходящиеся ряди можна почленно складати і вичитати. Якщо ряд (1) сходиться, а ряд (2) розходиться, їх сумма (или різницю) теж розходиться. Та якщо обидва низки розходяться. то ихняя сума (чи разность) может як розходиться (якщо un=vn) і сходитися (якщо un=(vn) Для низки (1) ряд [pic]называется n — ным залишком низки. Якщо нный залишок низки сходиться, його суму будемо позначати: rn = [pic] Т3 Якщо ряд сходиться, те й кожен її залишок сходиться, якщо який або залишок низки сходиться, то сходиться і саме ряд. Причому повна сума = часткова сума низки Sn + rn Зміна, і навіть відкидання чи додавання кінцевого числа членів не впливає відповідність (расходимость) ряда.

№ 4.

1 Сведение.

2ного інтеграла до повторному Нехай у1(х), у2(х) безупинні на відрізку [a, b], у1(х)=1)сия ф-ция задовольняє умовам теореми 1 тому відповідність (расходимости) низки Дирихле рівнозначна збіжності расходимости інтеграла: [pic] Можливі три випадку: 1 (>1, [pic] Інтеграл тож і ряд сходиться. 2 0.