Контрольная з теорії вероятности

МИНИСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

ВОРОНЕЗЬКИЙ ІНСТИТУТ ВИСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ.

Факультет заочного і послевузовского обучения.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1.

По дисципліни: «Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики «.

Воронеж 2004 г.

Варіант — 9.

Завдання № 1.

№№ 1−20. Технічне пристрій, що складається з трьох вузлів, працювало в протягом певного часу t. Упродовж цього терміну перший вузол виявляється несправним з імовірністю р1, другий — з імовірністю р2, третій — з ймовірністю р3. Знайти можливість, що за роботи: проте вузли залишалися справними; б) все вузли вийшли з експлуатації; у щойно один вузол став несправним; р) хоча б тільки вузол став несправним (див. вихідні дані в таблиці). p1=0,4 p2=0,6 p3=0,9.

Решение:

Нехай подія, А означає, перший вузол виявився несправним, У виявився несправним другий вузол і З — виявився несправним третій вузол, тоді [pic] - перший вузол був все гаразд у проміжок часу t, [pic] - був все гаразд другий вузол, [pic] - був все гаразд третій узел.

а) Нехай подія D означає, що це вузли залишалися справними, тоді [pic]. Тому, враховуючи незалежність подій [pic], [pic] і [pic], по теоремі множення ймовірностей имеем:

[pic].

б) Нехай подія Є - все вузли вийшли з експлуатації, тогда:

[pic].

в) Нехай подія F — лише одне вузол став несправним, тогда:

[pic].

Події [pic] неспільні. Тому, застосовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій, получим:

[pic] [pic] [pic].

р) Нехай подія D1 — хоча б тільки вузол став несправним, тогда:

[pic] [pic].

Завдання № 2.

№ 39. По лінії зв’язку можуть бути символи А, У, З. Можливість передачі символу, А дорівнює 0,5; символу У — 0,3; символу З — 0,2. Ймовірності спотворення під час передачі символів А, У, З рівні відповідно 0,01; 0,03; 0,07. Встановлено, що сигнал з цих двох символів прийнято без спотворення. Чому дорівнює ймовірність, що передавався сигнал АВ?

Решение:

Нехай подія, А — передача символу А, подія У — передача символу У, подія З — передача символу З, подія [pic] - спотворення під час передачі символу А, подія [pic] і [pic] - спотворення під час передачі символів У і З соответственно.

За умовою ймовірності цих подій равны:

[pic], [pic] [pic], [pic], [pic], [pic].

Якщо [pic], [pic] і [pic] - спотворення під час передачі символів, то події [pic], [pic] і [pic] - відсутність спотворень під час передачі. Їх вероятности:

[pic].

Означимо через D подія, яке у тому, хто був передані два символу без искажений.

Можна висунути такі гипотезы:

Н1 — передані символи АА,.

Н2 — символи АВ,.

Н3 — символи ВА,.

Н4 — символи АС,.

Н5 — символи СА,.

Н6 — символи ВВ,.

Н7 — символи ВС,.

Н8 — символи СВ,.

Н9 — символи СС.

Ймовірності цих гипотез:

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Умовні ймовірності події D якщо повинна була одне з гіпотез будут:

[pic].

[pic].

За формулою Бейеса обчислимо умовну ймовірність [pic] з урахуванням появи події Р:

[pic] [pic].

Завдання № 3.

№№ 41−60. Знайти можливість, що у п незалежних випробуваннях подія з’явиться: а) рівно k раз; б) щонайменше k раз; не більш k раз; р) хоча колись, тоді як кожному випробуванні можливість появи цього події дорівнює р (див. вихідні дані в таблиці). |n=5 |k=4 |p=0,8 |.

Решение:

Оскільки число випробувань невелика, то тут для обчислення шуканої ймовірності скористаємося формулою Бернулли:

[pic], где.

[pic] число поєднань з п елементів по k, q=1-p. У означеному случае:

а) можливість появи події рівно 4 десь у 5 испытаниях:

[pic].

б) можливість появи події щонайменше 4 разів у 5 испытаниях:

[pic].

у можливість появи події трохи більше 4 разів у 5 испытаниях:

[pic].

р) можливість появи події хоча колись в розмірі 5 испытаниях:

[pic].

Завдання № 4.

№№ 61−80. Дана щільність розподілу f (x) випадкової величини Х. Знайти параметр а, функцію розподілу випадкової величини, математичне очікування М[Х], дисперсию D[X], ймовірність виконання нерівності х1.