Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора

Вживання формули Тейлора для розкладання функцій в степеневий ряд широко використовується і має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути зв’язане із значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити завдання. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних многочленів.

Якщо при розкладанні в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з розумною мірою точності (передбачається, що точність, яка перевищує 10 — 20 знаків після десяткової коми, необхідна дуже рідко) достатньо 4−10 члени розкладання в ряд.

Якщо x₀ = 0 й існує, то.

(2.1).

Знайдемо розкладання функції за формулою Тейлора в околиці точки. Знаходячи послідовно похідні від цієї функції, отримаємо:

.

.

.

.

Знаходимо значення Підставимо отримані значення у формулу Тейлора:

де R_n(x)=.

Якщо дана похибка, то підберемо n таким чином, щоб .

,.

Таким чином, .

Знайдемо розклад функції в околі точки x₀=0 за формулою Тейлора:

.

.

.

.

Таким чином, всі похідні парного порядку у точці ч₀=0 дорівнюють нулю, а похідні не парного порядку дорівнюють 1 або -1. Отже розклад прийме вигляд:, де залишковий член Лагранжа дорівнює.

Використовуючи отриманий розклад, приблизно вичислімо. При розв’язанні обмежуємся першими двома членами розкладу:

.

Приведемо розклад за формулою Тейлора в околі точки х₀=0 деяких елементарних функцій:

(2.2).

(2.3).

(2.4).

(2.5).

(2.6).

Формула Тейлора х₀=0 також називають формулою Маклорена.