Розміщення коренів квадратного рівняння

З’ясуємо, як розміщуються на дійсній осі корені квадратного рівняння.

. (1).

З цією метою скористаємося тим, що графіком функції є парабола, опукла вниз при і опукла вгору при .

Наведемо прості теореми стосовно розміщення коренів квадратного рівняння (1) на дійсній осі.

Теорема 1. Якщо, то на інтервалі мі-ститься один корінь рівняння (1).

Теорема 2. Якщо, то точка лежить між коренями рівняння (1).

Теорема 3. Якщо, то відрізок лежить між коренями рівняння (1).

Теорема 4. Якщо, то корені рівняння (1) лежать на півосі .

Теорема 5. Якщо, то корені рівняння (1) лежать на півосі .

Теорема 6. Якщо, то корені рівняння (1) лежать на інтервалі .

Приклад. Знайти значення параметра, при яких два корені рівняння.

існують і належать інтервалу (0; 3).

Графік функції має перетинати вісь Ох або дотикатися до неї в точках, розміщених праворуч від точки. Тому дістаємо нерівності, ,, які мають розв’язки .

Ще один спосіб розв’язування полягає у відшуканні найменшого кореня квадратного рівняння та розв’язуванні нерівності, що також приводить до нерівності .

Приклад. Знайти значення параметра, при яких рівняння має розв’язок.

Позначивши, дістанемо квадратне рівняння.

. (2).

Вихідні рівняння мають розв’язки, якщо рівняння (2) має корінь. Застосуємо загальний метод розв’язування. Дискримінант рівняння (2).

.

Тому рівняння (2) при довільних значеннях параметра має дійсні розв’язки. Функція досягає найменшого значення при .

Рівняння (2) матиме два розв’язки на відрізку [0; 1], якщо виконуватимуться нерівності.

, .

Ці нерівності несумісні, оскільки не мають спільного розв’язку. Тому рівняння (2) не може мати двох коренів на відріз-ку [0; 1] при будь-якому значенні параметра .

Розглянемо всі інші можливості.

Якщо, то рівняння (2) має корінь .

Якщо, то рівняння (2) має один корінь на інтервалі (0; 1). Отже, оскільки при рівняння (2) має корінь на інтервалі (0; 1), остаточно дістанемо, що при рівняння (2) має корінь на відрізку [0; 1], а вихідне рівняння має дійсні розв’язки.

У даному прикладі можна було б відразу розв’язати рівняння (2):

.

Умова приводить до нерівності .

Приклад. При яких значеннях параметра корені квадратного рівняння додатні?

Знайдемо дискримінант рівняння.

.

Отже, корені рівняння існують при довільних значеннях параметра. Вершина параболи міститься точці. Для того щоб корені рівняння були додатніми, необхідно і достат-ньо, щоб виконувались нерівності.

Звідси випливає, що корені квадратного рівняння додатні при .

У цьому прикладі можна знайти корні.

.

З нерівності випливає .

Відповіді.

1. При яких значеннях параметра корені рівняння більші від — 1? .

2. При яких значеннях параметра один із коренів рівняння більший від 3, а другий менший від 2? .

3. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рів-няння найменша? .

4. При яких значеннях параметра нерівність виконується для будь-якого х? .

5. Розв’язати рівняння.

.

при ;

при або ;

при .

• 6. При яких значеннях параметра відношення коренів рівняння дорівнює 1,5. .
• 7. Знайти всі значення параметра для кожного з яких нерівність

виконується для будь-якої пари чисел, таких, що .

.

8. При яких значеннях параметра рівняння має два відмінних дійсних розв’язки? .

9. Розв’язати рівняння.

.

при ;

при .

10. При яких значеннях параметра для довільного дійсного значення знайдеться принаймні одне дійсне значення параметра, таке що система має хоча б один розв’язок? .

11. При яких значеннях параметра рівняння має корені різних знаків? .

12. Знайти значення параметра, при яких корені рівняння невід'ємні. .

13. При яких значеннях параметра рівняння має хоча б один позитивний корінь? .

• 14. Знайти значення параметра, при яких два корені рівняння
• а) менші від 1; б) більші від — 1; в) відокремлені числом 1.
• а);
• б) ;
• в) .
• 15. При яких значеннях параметра один корінь рівняння

більший від 2, а другий корінь менший від 2. .

16. При яких значеннях параметра один корінь рівняння менший від 1, а другий корінь більший від 2? .

17. При яких значеннях будь-який розв’язок нерівності є розв’язком нерівності. .