Остроградський

Життя М. У. Остроградского.

Математична життя Академії Наук у середині десятих років майже завмерла і відродилася наприкінці двадцятих з приходом Академію Остроградського і Буняковского, особливо першого з них.

Михайло Остроградський народився 26 вересня 1801 г. на Україні, у селі Пашенной Кобелякского повіту Полтавської області у ній поміщика. У 1816 р. надійшов Харківський університет. Остроградський успішно здав кандидатські іспити, і для ним, здавалося, відкривалася прямий шлях до університетської професурі. Проте гостра ідейна боротьба, що у роки велася в Харківському університеті, завадила спокійного перебігу наукової кар'єри Остроградского.

Осиповский розкритикував ідеалістичну німецьку філософію, прибічники якої були й серед які у Харківському університеті іноземців. У усних виступах Осиповский викривав і висміював містиків, що стояли на чолі міністерства освіти і навчальних округів. Своє вороже ставлення до Осиповскому реакційна частина харківської професури перенесла і вкриваю його кращого учня, теж любив ні метафізики, ні містики і власності колишнього, можна вважати, що тоді «повним матеріалістом і атеистом».

Коли ректор Осиповский запропонував привласнити Остроградскому заслужену їм кандидат, у Раді університету сталися різкі зіткнення. Одне з реакційних професорів, А. І. Дудрович, письмово доніс попечителю округу З. Я. Корнееву, що у вини Осиповского студенты-математики не займаються богослов’ям, а Остроградського звинуватив у цьому, що він, попри розпорядження начальства, не слухав богопознания і християнського вчення. Дійшло до міністра «духовних справ України та народної освіти» А. М. Голіцина, за вказівкою якого Осиповский був із університету, Остроградскаму відмовили у присудження ступеня кандидата, знущально запропонувавши наново здати іспити, нібито здані їм раніше у неправильному порядке.

Остроградський мужньо переніс ці випробування і він вирішив, незважаючи потім, присвятити своє життя науці. Ще Харківському університеті, його особливо захоплювали питання прикладної математики в 1922 р. він у Париж, де працювали Лаплас і Фур'є, Лежандр і Пуассон, Біне і Коші та інші першокласні вчені, пролагавшие нових шляхів у математиці, математичної фізики й механіці. Курси, читавшиеся в Політехнічної школі, Сорбонні, Колеж де Франс були зразковими і залучали молодь із багатьох стран.

Швидкі успіхи Остроградського завоювали йому дружбу і повагу багатьох французьких математиків, як старших поколінь, і однолітків. Час паризького життя стало для Остроградського як «роками мандрівок і вчення», а й інтенсивного творчості. У 1824−1827 рр. він представив Академії наук у Парижі кілька чудових мемуарів французькою мові. У «Зауваженнях певні інтеграли» (1824) дав висновок незадовго до того опублікованій Коші формули для відрахування функції щодо полюси п-го порядку, висновок, щодо справи співпадаючий з прийнятим нині. У «Доказі однієї теореми інтегрального обчислення» (1826) він розробив дуже важливу складової частини загального методу поділу змінних для інтегрування рівнянь математичної фізики. У тому ж року Остроградський підготував «Мемуар про поширення хвиль в циліндричному басейні», де розвинув дослідження Коші і Пуассона, вивчили рух малих хвиль в басейні безкінечною глибини і обмеженому стінками, а через рік «Мемуар про поширення тепла всередині твердих тіл», що мав нове стислий виклад методу розділення бізнесу і рішення нового завдання про поширення тепла у певній трикутною призмі. З лише робота з гідродинаміці побачила світ виданні Паризької Академії, інші залишилися у її архіві. Та опубліковані тоді її відкриття по математичної фізиці надали значний вплив на розвиток математики. Основні результати увійшли до наступні друковані праці самого Остроградського; ще, б у рукопису чи усному викладі самого Остроградського із нею ознайомилися тоді самих або невдовзі Коші, Пуассон і другие.

Перелічені роботи показують, що Остроградський у перші роки паризького життя як повністю опанував новітнім апаратом аналізу та механіки, але істотно розвинув його й майстерно застосував до вирішення як дуже загальних актуальних проблем, і приватних важких завдань. Коші з високої похвалою відгукувався роботи своєї молодої учня й мобілки співробітника. Наприклад, в основоположний мовнополітичний мемуаре з теорії з дитинства інтегралів в комплексної області 1825 р., Коші, розповідаючи про своє попередніх результатах писал:"Наконец, один молодий російський, обдарований великий проникливістю і дуже майстерний в аналізі нескінченно малих, р. Остроградський, також застосувавши вживання цих з дитинства інтегралів та їх перетворенню в звичайні, дав нове доказ формул, мною вищезгаданих, і узагальнив інші формули, що їх подав 19-й зошити «Журналу Політехнічної школи». Р. Остроградський люб’язно висловив головні результати своєї роботи". Так само уважительны відгуки Коші про Остроградском в статтях з теорії відрахувань. Багато пізніше, у роботі, у якій встановлено ряд загальних властивостей з дитинства інтегралів лінійних рівнянь із приватними похідними, Коші згадував про паризьких відкриттях Остроградского:"Я хотів мати можливість порівняти отримані мною тут результати з результатами, отриманими р. Остроградським в мемуаре, коли він встановив кілька загальних пропозицій щодо інтегрування лінійних рівнянь у приватних похідних. От і лише погано пам’ятаю цей мемуар й, оскільки не знаю, був він десь опубліковано, я позбавлена можливості зробити це сравнение".

Навесні 1828 р. Остроградський приїхав до Петербург й тут на протязі кількамісячної представив Академії наук три роботи. Перша містила оригінальний, заснований новому концепції інтеграла (Коші), висновок рівняння Пуассона, якому задовольняє об'ємний потенціал поля тяжіння у точці, лежачої всередині притягиваемой маси чи її кордоні. Наступна присвячена питання перестановці порядку інтегрування в подвійному интеграле у разі нескінченного розриву подынтегральной функції і примикає до аналогічним дослідженням Коші. Третьої був згаданий мемуар «Доказ однієї теореми інтегрального обчислення», який автор невдовзі взяв назад на переробку і далі опублікував для переробки нафти і потім опублікував під назвою «Нотатки з теорії теплоти». Коллинс представив щодо праць Остроградського блискучий відгук і 29 грудня 1828 р. молодий вчений був обраний ад’юнктом по прикладної математиці. Два роки він був обраний екстраординарним академіком й у 1831 р. — ординарным.

Діяльність Остроградського в Академії була дуже різнобічної. Він більш 85 наукових повідомлень, частиною неопублікованих; читав публічні лекції; писав докладні відгуки на котрі поступали до Академії роботи, брав участь у комісіях про введення григоріанського календаря і десяткових заходів (що було зроблено лише після великої Жовтневої соціалістичної революції), по водопостачання Петербурга тощо. буд., займався за дорученням уряду пошуками по зовнішньої балістиці, тощо. буд. Разом про те Остроградський багато часу приділяв викладання. З 1828 р. він почав читати лекції на Морському корпусі (згодом Морський академії), де наступниками його послідовно були В. Я. Буняковский, О. Н. Коркин, О. Н. Крилов. З роками педагогічна діяльність Остроградського ставала дедалі більше інтенсивної. Він вів заняття з математики й механіці сьогодні в Інституті інженерів шляхів, Головному інженерному і Головному артилерійському училищах, Головному педагогічний інститут. З 1847 р. і по смерті вона працювала на посаді головної спостерігача із викладання математичних наук переважають у всіх військових закладах країни. Йому автор кількох посібників по елементарної й усієї вищої математике.

Педагогічні погляди Остроградського були дуже прогресивними. Він вважав, що у гімназіях і кадетських корпусах потрібні лабораторії і майстерні, де учні набували б трудові навички, виробляли досліди і яскраві спостереження. Він виступав за наочність навчання математиці, особливо у ранньому віці, і критикував сухе та формальну виклад цього в сучасної йому школі. Він схилявся запровадження спеціальних старших класах середніх військових навчальних закладів ідеї функції і почав аналізу; курс математики, з його погляду, може бути пов’язані з іншими предметами, як фізика, у яких застосовуються математичні методи. Як видно, у низці пунктів Остроградський передбачив ідеї з так званого руху протягом реформу викладання, що у початку ХХ століття. Дечого Остроградський сягнув у цьому напрямі, у кадетських корпусах. Однак понад широка реалізація педагогічних установок Остроградського стало можливим лише через багато пізніше. Своє загальне педагогічне credo Остроградський виклав в написаної що з паризьким математиком і інженером И.-О. Блюмом (1812−1877) брошурі «Роздуми про викладанні», вийшла французькою мові. Читання цього блискучого по викладу і глибокого за змістом твори й у наші дні. Шкільне викладання арифметики, алгебри і геометрії, — писали автори, — нічим «не нагадує про насущної необхідності вивчення цих предметів для насущної життя» і справді дає «лише те результат, що й засвоює дуже невелика число учнів». Цьому брошурі яскраво протипоставлено принципи навчання, воспитывающего спостережливість і допитливість, технічну кмітливість й наукове мислення. На підвищення інтересу й привернути увагу учнів Блюм і Остроградський рекомендували використовувати історію наук і біографії видатних діячів, «принесли користь наук і искусству»:"Это за одну і те час відмінна розрядка і засіб з допомогою живого оповідання закарбувати то чи інше основне становище, або вдале додаток теоретичних принципов".

Шкільна математика повинна враховувати особливості дитячого сприйняття, однак слід уникати загальноприйнятої недооцінки можливостей дітей вже з семирічного віку. У брошурі розібрано питання про навчання хлопців до 12 років, причому тільки у гімназіях чи спеціальних навчальних закладах; більш масові школи, де навчають початкам читання, листи і рахунки залишені був у стороне.

Остроградський справив значний впливом геть розвиток математики механіки. Він, зокрема, підготовляв умови до створення математичної школи, організованою Чебышевым, і саме заснував російську школу механіки. До його дослідженням прилягають багато наступні роботи з математичної фізиці, з теорії інтегрування ірраціональних функцій, з теорії кратних з дитинства інтегралів і навіть із теорії ймовірностей, яким він сам займався трохи. Прямими учнями Остроградського були творець теорії автоматичного регулювання І. А. Вишнеградський (1831−1895), автор класичних досліджень з теорії тертя і сфери впливу нею мастила і з теорії механізмів М. П. Петров (1822−1889) та інші. Усі перелічені математики вийшли з Головного педагогічного інституту, де Остроградський викладав з 1832 по 1859 г.

Наукові заслуги Остроградського були високо оцінені за кордоном. Він був обраний членом-кореспондентом французької Академії наук в 1856 р., а ще раніше членом Американської академії і академій у Туріні й у Римі. Помер він 1 січня 1862 г.

Кратні интегралы.

Зупинимося кілька докладніше на роботах Остроградського по кратним интегралам.

Формула Остроградського для перетворення потрійного інтеграла в подвійний, що її пишемо зазвичай, у виде.

[pic] (1) или.

[pic], де divx A — дивергенція поля вектора А, Аn — скалярне твір вектора На одиничний вектор зовнішньої нормальний n граничной поверхні, в математичної літературі нерідко була пов’язана раніше із конкретними іменами Гаусса і Гріна. Насправді у роботі Гаусса про притяганні сфероидов можна побачити лише дуже окремі випадки формули (1), наприклад при P=x, Q=R=0 тощо. п. Що ж до Дж. Гріна, то його праці з теорії електрики і магнетизму формули (1) зовсім ні; у ньому виведено інше співвідношення між потрійним і подвійним інтегралами, саме, формула Гріна для оператора Лапласа, яку можна записати в виде.

[pic] (2).

Звісно, можна вивести формулу (1) і з (2), полагая.

[pic] [pic] [pic] і як і можна отримати роботу формулу (2) з формули (1), але Грін цього й гадки на мав делать.

І все-таки питання автора інтегральної формули (1) залишався недостатньо ясним. Річ у тім, що, як було зазначено недавно помічено, в мемуаре Пуассона по теорії пружності, виводиться формула.

[pic] де зліва стоїть інтеграл за обсягом, а справа інтеграл по граничной поверхні, причому [pic] суть направляючі косинуси зовнішньої нормали.

Паризькі рукописи Остроградського свідчать, з повним переконливістю, що належить і «відкриття, і перше повідомлення інтегральної теореми (1). Вперше у неї висловлена і, точно так, як це роблять нині у «Доказі однієї теореми інтегрального обчислення», представленому Паризької Академії наук 13 лютого 1826 р., після що ще якщо була сформульована у тієї частини «Мемуара про поширенні тепла всередині твердих тіл «, яку Остроградський представив 6 серпня 1827 р. «Мемуар» дали відкликання Фур'є і Пуассону, причому останній його, безумовно читав, як свідчить запис на сторінках обох частин рукописи. Зрозуміло, Пуассону і спадало на думку приписувати собі теорему, з якою ознайомився творі Остроградського два роки до уявлення своєї роботи з теорії упругости.

Що ж до взаємовідносини робіт з кратним интегралам Остроградського і Гріна, нагадаємо, що у «Замітці з теорії теплоти» виведено формула, обнимающая власну формулу Гріна, як дуже приватний випадок. Незвична тепер символіка Коші, вжита Остроградським в «Замітці», донедавна приховувала від дослідників ця важлива відкриття. Зрозуміло, за Гріном залишається честь відкриття і першою публікації у 1828 р. носить його ім'я формули для операторів Лапласа.

Відкриття формули перетворення потрійного інтеграла в подвійний допомогло Остроградскому покінчити з проблемою варіювання п-кратного інтеграла, саме, вивести понадобившуюся там загальну формулу перетворення інтеграла від висловів типу дивергенції по пмірною області й інтеграл по яка обмежує її сверхповерхности P. S з рівнянням L (x, y, z,…)=0. Якщо дотримуватися колишніх позначень, то формула має вид.

[pic].

[pic] (3).

Втім, Остроградський не застосовував геометричних образів і термінів, якими користуємося ми: геометрія багатомірних просторів тоді ще существовала.

У «Мемуаре про обчисленні варіацій кратних з дитинства інтегралів» розглянуті ще важливі питання теорії таких з дитинства інтегралів. По-перше, Остроградський виводить формулу заміни змінних в багатомірному интеграле; по-друге, уперше дає повний і точний опис прийому обчислення пкратного інтеграла з допомогою п послідовних інтеграцій перспективами кожного із змінних в відповідних межах. Нарешті, з формул, які у цьому мемуаре, легко виводиться загальне правило диференціювання за найважливішим параметром багатовимірного інтеграла, коли від цієї параметра залежить як подынтегральная функція, а й кордон області інтегрування. Названу правило випливає з готівки у мемуаре формул настільки природним чином, що пізніші математики навіть ототожнювали його з одною з формул цього мемуара.

Заміні змінних в кратних інтеграли Остроградський присвятив спеціальну роботу. Для подвійного інтеграла відповідне правило вивів з допомогою формальних перетворень Эйлер, для потрійного — Лагранж. Проте, хоча результат Лагранжа вірний, міркування його були точними: він би виходив речей, що елементи обсяги продажів у старих та нових змінних — координатах — собою рівні. Аналогічну помилку допустив спочатку у хіба що згаданому виведення правила заміни змінних Остроградський. У статті «Про перетворення змінних в кратних інтеграли» Остроградський розкрив помилку Лагранжа, і навіть вперше виклав той наочний геометричний метод перетворення змінних у подвійному интеграле, який, на кілька більш суворому оформленні, викладається й у наших довідниках. Саме, при заміні змінних в интеграле [pic] по формулам [pic], [pic], область інтегрування розбивається координатными лініями двох систем u=const, v=const на нескінченно малі криволінійні чотирикутники. Тоді інтеграл можна отримати роботу, складаючи спочатку його елементи, що відповідають нескінченно вузької криволінійної смузі, та був, продовжуючи підсумовувати елементи смугами, коли вони не все вичерпаються. Нескладний підрахунок дає для площі, що з точністю до малих вищого порядку може розглядатися як паралелограм, вираз [pic], де [pic], вибирається те щоб площа була позитивної. У результаті виходить відома формула.

[pic].

Так диференціальний вираз [pic], яке Эйлер формально підставляв замість dydx, а слідуючи міркуванням Лагранжа для тривимірного випадку, потрібно було б вважати рівним dydx, набуло у Остроградського простий і ясний геометричний смысл.

Диференціальні уравнения.

Теоретично звичайних диференційних рівнянь цікавими є два результату Остроградського. У «Замітці про методі послідовних наближень», запропонований метод рішення нелінійних рівнянь з допомогою розкладання до кількох по малому параметру, що дозволяє уникати про вікових членів, містять аргумент поза тригонометрических функцій. Такі члени нерідко з’являються за умови вживання звичайних прийомів інтегрування з допомогою статечних рядів; необмежено збільшуючись разом із аргументом, вони породжують помилкові наближення, а що містить їхнє рішення виявляється непідходящою. З цією явищем зустрічалися ще астрономи XVIII в. і завданням знищення вікових членів займалися Лаплас, Лагранж і інші. Свій метод, заснований на одночасному розкладанні за найважливішим параметром як рішення, і періоду назв періодичних функцій, Остроградський коротко пояснив на примере:

[pic], [pic] [pic], який записав у іншій форме:

[pic], яка відповідає даним рівнянням при [pic]. Рішення з точністю до величин першого порядку щодо [pic], знайдене звичайним способом, містить вікової член:

[pic]; рішення щодо способу Остроградського від цього свободно:

[pic], [pic].

Знайдене наближення Остроградський зіставив із точним рішенням рівняння в еліптичні функції Якобі. Остроградський обмежився отриманням першого наближення; наприкінці статті він заявив про намір докласти його до руху планет навколо Сонця. Намір це, певне, не здійснилося, але держава саме на роботах з визначення орбіт небесних тіл ідея Остроградського отримала розвиток. Однією з перших таких праць стало дослідження з теорії обурень шведського вченого А. Линдстедта, що у 1879 — 1886 рр. в Дерптському університеті. Потім були найглибші дослідження А. Пуанкаре й О. М. Ляпунова і у радянський період, М. М. Крилова, який застосував до ньому і іншим, більш загальним класам лінійних неоднорідних рівнянь другого порядку, містять малий параметр, кілька модифікований їм метод Ляпунова. Нині метод малого параметра широко застосовується до дослідженню нелінійних завдань механіки, фізики та техники.

Невелика «Замітка про лінійних диференційних рівняннях» Остроградського (1839) містить класичну теорему, яка викладається нині у будь-якому курсі диференційних рівнянь. Дано уравнение.

[pic]. і п їхніх рішень [pic], які передбачаються лінійно незалежними. Відповідно до теоремі Остроградського определитель.

[pic] виражається через коефіцієнт при (п-1)-й производной:

[pic], де, а — стала. Ми називаємо визначник [pic] під назвою вперше що розглянув його (на другий зв’язку й більш загальній формі) польського математика Р. Вронського (1812). Така сама теорема була одночасно отримана з дещо інших міркувань Ж. Лиувиллем (1838).

Деякі роботи Остроградського пов’язані з конкретними завданнями сучасної йому військову техніку. Приміром, в 1839—1842 рр. він у дорученням артилерійського відомства займався вивченням стрільби ексцентричними сферичними снарядами, які мають центр постаті різниться від центру інерції. Цьому питання Остроградський присвятив три невеликі статті, у тому числі одне містило таблиці з дитинства інтегралів, потрібних на вирішення завдання про русі снаряда повітря при квадратичном законі опору. До робіт з балістики своєю чергою примикали дослідження Остроградського по наближеним обчисленням, зокрема і згадувана робота 1839 р., яка містить висновок залишкового члена формули підсумовування Эйлера-Маклорена.

План:

1. Життєвий шлях М. У. Остроградского.

2. Кратні интегралы.

3. Диференціальні уравнения.

4.

Заключение

.

МОГИЛЬОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

ЇМ. А. А. КУЛЕШОВА.

Реферат.

на тему:

М. У. Остроградский.

Выполнила.

студентка фізико-математичного факультета.

V курсу, групи «B».

Семерикова Юлия.

МОГИЛЕВ.

2002.