Спеціальні функції та границі (реферат)

Реферат на тему:

Спеціальні функції та границі.

Без доведення приймемо такі результати:

$$\begin{array}{c}\text{lim}\frac{\text{sin}x}{x}=1\\ x->0\end{array}$$ — (4.1).

$$\begin{array}{c}\text{lim}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\text{lim}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e\mathrm{2,}\text{71}\\ x->0x->\mathrm{}\end{array}$$. (4.2).

Приклади. Знайти $$\begin{array}{c}\text{lim}\frac{\text{sin}5x}{3x}=\text{lim}\frac{\text{sin}5x}{5x}\frac{5}{3}=\frac{5}{3}\text{lim}\frac{\text{sin}5x}{5x}=\frac{5}{3}\\ x->05x->05x->0\end{array}$$ .

Знайти $$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{\left(1+\frac{4}{n}\right)}^{7n}=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{\left(1+\frac{4}{n}\right)}^{\frac{n}{4}\text{28}}=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ \frac{n}{4}->\mathrm{}\end{array}{\left[{\left(1+\frac{4}{n}\right)}^{\frac{n}{4}}\right]}^{\text{28}}=e^{\text{28}}$$ .

Число e має певний економічний сенс.

Нехай один раз за рік нараховуються відсотки в розмірі 12%. Тоді початковий внесок розміром в 1 грн. наприкінці року становитиме 1,12 грн.

Якщо ж щомісячно нараховують 1% (згідно правила складних відсотків), то наприкінці року матимемо.

$$(1+\mathrm{0,}\text{01}{)}^{\text{12}}={\left(1+\frac{1}{\text{100}}\right)}^{\text{12}}$$ грн.

Нехай далі (звичайно, теоретично) складні відсотки нараховують 30 разів на місяць у розмірі 1/30%. Тоді майбутня вартість однієї гривні становитиме.

$${\left(1+\frac{1}{\text{100}\text{30}}\right)}^{\text{12}\text{30}}$$ грн.

У разі щогодинного нарахування відсотків.

$${\left(1+\frac{1}{\text{100}\text{30}\text{24}}\right)}^{\text{12}\text{30}\text{24}}={\left[{\left(1+\frac{1}{\text{100}\text{30}\text{24}}\right)}^{\text{100}\text{30}\text{24}}\right]}^{\frac{\text{12}}{\text{100}}}$$ грн.

Перейшовши до границі (безперервне нарахування відсотків), отримуємо вартість у розмірі.

$$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{\left[{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right]}^{\frac{\text{12}}{\text{100}}}=e^{\mathrm{0,}\text{12}}\mathrm{1,}\text{1275}$$ грн.

Отже, чим менший проміжок нарахування відсотків, тим більшою буде майбутня вартість кожної гривні. Проте значення 1,1275 ніяк не може бути перевищене.

Функція вигляду y = ekx називається показниковою. При k>0 ця функція зростає, а при k<0 — спадає.

Приклад. Попит на деякий товар в інтервалі [60−70] описує залежність p = e0,05Q, а пропозицію — залежність p = 100e-0,02Q (рис. 4.10).

p.

Пропозиція.

Попит.

60 70 Q.

Рис. 4.10.

Порівняно з рис. 4.1 тут координатні осі переставлені місцями. Такі графіки прийняті в економічній літературі.

Показникова функція також може описувати процеси насичення (наприклад, додатковий продаж цукру внаслідок збільшення доходів населення). На рис. 4.11 зображений графік функції y = 10-e-x .

y.

10.

x.

Рис. 4.11.

Зазначимо, що в різних ситуаціях (різні країни, різні роки тощо) залежності між однаковими показниками можуть задаватися різними функціями.

Еволюцію кількості y проданого товару залежно від часу t часто описують так званою логістичною кривою $$y=\frac{1}{a{b}^t+c}$$ .

Приклад. Конкретна логістична крива задана формулою $$y=\frac{1}{\mathrm{0,1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^t+\mathrm{0,}\text{01}}$$ (рис. 4.12).

y.

100.

9.

t0 t.

Рис. 4.12.

Знайдемо для нашого прикладу принципову межу для кількості проданого товару:

$$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ t->\mathrm{}\end{array}\frac{1}{\mathrm{0,1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^t+\mathrm{0,}\text{01}}=\frac{1}{\mathrm{0,1}\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ t->\mathrm{}\end{array}{\left(\frac{1}{2}\right)}^t+\mathrm{0,}\text{01}}=\frac{1}{0+\mathrm{0,}\text{01}}=\text{100}$$ (одиниць).

Залежність попиту від доходу споживача описують за допомогою функцій Торнквіста (рис. 4.13).

$$y_1=\frac{a_{1}z}{z+c_1}$$ — для товарів першої потреби;

$$y_2=\frac{a_2(z-b_2)}{z+c_2}$$ — для товарів другої потреби;

$$y_3=\frac{a_{3}z(z-b_3)}{z+c_3}$$ — для товарів розкоші.

y (попит).

a2.

a1.

b2 b3 z (доход).

Рис. 4.13.

Побудова конкретних функцій за статистичними даними — задача економетрії.