Аркфункції

Приклади: в нижченаведених прикладах наведено зразки дослідження елементарних функцій, заданих формулами, що містять зворотні тригонометрические функции.

Приклад № 1. Досліджувати функції arcsin (1/x) і arccos (1/y) і можуть побудувати їх графіки. Рішення: Розглянемо 1-шу функцію y = arcsin (1/x) Д (f): | 1/x |? 1 ,.

| x |? 1, (-?; -1 ] U [ 1; + ?).

Функция нечетная.

(f (x) убуває на ін. [0;1], f (y) убуває на ін. [0;?/2]).

Зауважимо, що функція y=arccosec (x) визначається з умов cosec (y)=x і y є [-?/2; ?/2], але з умови cosec (y)=x слід sin (y)=1/x, звідки y=arcsin (1/x). Отже, arccos (1/x)=arcsec (x).

Д (f): (-?; -1 ] U [ 1; + ?).

Пример № 2. Досліджувати функцію y=arccos (x2). Рішення: Д (f): [-1;1] Парна f (x) убуває на ін. [0;1] f (x) зростає на ін. [-1;0].

Пример № 3. Досліджувати функцію y=arccos2(x). Рішення: Нехай z = arccos (x), тоді y = z2 f (z) убуває на ін. [-1;1] від? до 0. f (y) убуває на ін. [-1;1] від ?2 до 0.

Пример № 4. Досліджувати функцію y=arctg (1/(x2−1)) Рішення: Д (f): (-?; -1) U (-1; 1) U (1; +?) Т.к. функція парна, досить досліджувати функцію двома проміжках: [ 0; 1) і (1; +?).

|X |0 |< x |1 |< x |+? | | | |< | |< | | |u=1/(x2−1|-1 |? |+? |? |0 | |) | | |-? | | | |y=arctg (u|- |? |?/2 |? |0 | |) |?/4 | |- ?/2| | |.

Тригонометрические операції над аркфункциями.

Тригонометрические функції від тієї самої аргументу виражаються алгебраїчно одна через іншу, у результаті виконання якийабо тригонометричної операції над кожній із аркфункций виходить алгебраїчне выражение.

З огляду на визначення аркфункций:

sin (arcsin (x)) = x, cos (arccos (x)) = x.

(справедливе тільки для x є [-1;1]) tg (arctg (x)) = x, ctg (arcctg (x)) = x.

(справедливо за будь-яких x) Графічне різницю між функціями, заданими формулами:

y=x і y=sin (arcsin (x)).

Зведення формул, які утворюються у виконання найпростіших тригонометрических операцій над аркфункциями.

|Аргумент |arcsin (x) |arccos (x) |arctg (x) |arcctg (x) | | | | | | | |функція | | | | | |sin |sin (arcsin (x))=|[pic] |[pic] |[pic] | | |x | | | | |co |[pic] |x |[pic] |[pic] | |tg |[pic] |[pic] |x |1 / x | |ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x |.

Справедливість всіх таких формул може бути встановлена з допомогою міркувань, наведених ниже:

1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 і? = arcsin (x).

[pic].

[pic].

Перед радикалом [pic]следует взяти знак «+», т.к. дуга [pic]принадлежит правої півкола (замкнутої) [pic], де косинус неотрицательный.

Отже, имеем.

[pic].

2. З тотожності [pic]следует:

[pic].

3. Имеем.

[pic].

4. [pic].

Нижче наведені зразки виконання різних перетворень у вигляді виведення формул.

Приклад № 1. Перетворити вираз [pic].

Рішення: Застосовуємо формулу [pic], маємо: [pic].

Приклад № 2. У такий спосіб встановлюється справедливість тождеств:

[pic].

[pic].

Приклад № 3. Користуючись … [pic].

Приклад № 4. Аналогічно можна довести такі тотожності: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

Пример № 5. Поклавши в формулах [pic], і [pic] [pic], одержимо: [pic], [pic].

Пример № 6. Перетворимо [pic] Поклавши у формулі [pic], [pic] Получим:

[pic] Перед радикалами взятий знак «+», т.к. дуга [pic]принадлежит I чверті, а тому ліва частина неотрицательная.

Співвідношення між аркфункциями.

Співвідношення першого роду — співвідношень між аркфункциями, випливаючими з залежності між тригонометричними функціями додаткових дуг.

Теорему. За всіх допустимих x мають місце тождества:

[pic].

[pic].

Співвідношення другого роду — співвідношень між аркфункциями, що випливають з співвідношень між значеннями тригонометрических функцій від того ж аргументу. З допомогою співвідношень 2-го роду виробляються перетворення однієї аркфункции до іншої (але від різних аргументов).

Випадок № 1. Значення двох даних аркфункций укладено лише у й тією самою полуокружности.

Нехай, наприклад, розглядається дуга ?, ув’язнена в інтервалі (- ?/2; ?/2).

Ця дуга то, можливо представлена як у вигляді арксинуса, і у вигляді арктангенса. У насправді, дуга [pic]имеет синус, рівний sin? й полягає, як і і ?, в інтервалі (-?/2; ?/2), следовательно.

[pic].

Аналогічно можна дугу? у вигляді арктангенса:

[pic].

Якщо ж б дуга? укладено в інтервалі (0; ?), вона міг би бути представлена як у вигляді арккосинуса, і у вигляді арккотангенса:

[pic].

Так, например:

[pic].

[pic].

Аналогично:

[pic].

Формули перетворення одних аркфункций до інших, значення яких утримуватися лише у й тієї півкола (правої чи верхней).

1. Вислів [pic][pic]через арктангенс.

Нехай [pic], тогда.

[pic].

Дуга [pic], з визначення арктангенса, має тангенс, рівний [pic] і лежить у інтервалі (-?/2; ?/2).

Дуга [pic]имеет хоча б тангенс і лежить у тому самому інтервалі (-?/2; ?/2).

Следовательно,.

[pic] (1).

(в інтервалі (-1: 1).

2. Вислів [pic]через арксинус.

Т.к. [pic], то [pic] (2) в інтервалі [pic].

3. Вислів арккосинуса через арккотангенс. З рівності [pic]следует тождество.

[pic] (3).

Випадок № 2. Розглянемо дві аркфункции, значення яких вибираються в різних проміжках (наприклад, арксинус і арккосинус; арккосинус і арктангенс тощо.). Якщо аргумент будь-якої аркфункции (тобто. значення тригонометричної функції) позитивний, то відповідно аркфункция (дуга), ув’язнена У першій чверті, то, можливо представлена з допомогою будь-який аркфункции; так, например,.

[pic].

Тому кожна гілка аркфункций від позитивний аргумент то, можливо виражена у вигляді будь-який інший аркфункции.

Значення будь-якої аркфункции від негативного аргументу належить або проміжку від -?/2 до 0, або проміжку від ?/2 до? не може бути представлено як аркфункции, значення належить іншому (з цих двох) промежутку.

Приміром, дуга [pic] може бути значенням арксинуса. У цьому вся случае.

[pic].

Формули перетворення одних аркфункций до інших, значення яких вибираються у різних полуокружностях.

4. Вислів арксинуса через арккосинус.

Нехай [pic], якщо [pic], то [pic]. Дуга має косинус, рівний [pic], тож [pic].

При [pic]это рівність виконуватися неспроможна. У насправді, у тому случае.

[pic], а функції [pic]имеем: [pic] оскільки аргумент арккосинуса є арифметичний корінь [pic], тобто. число неотрицательное.

Розташування аналізованих дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X 0 наявність випадку 1 означає виконання нерівності а) тобто. [pic]или.

[pic].

Откуда.

[pic] і, отже, [pic].

Наявність випадку 1 при x < 0, y < 0 означає виконання неравенств.

[pic]; але давайте тоді для позитивних аргументів -x і -y має місце випадок 1, а потому.

[pic] чи [pic].

Випадок 2. [pic].

І тут x > 0, y > 0, тобто. виконується нерівність б); з умови [pic]получим [pic].

Випадок 3. [pic].

Цей випадок має місце при x < 0, y < 0, і [pic].

Змінивши знаки на протилежні то дійдемо попередньому случаю:

[pic] звідки [pic].

Дуги? і [pic] всі мають однакову синус, але (з визначення арксинуса) [pic], отже у разі 1 [pic]; у разі 2 [pic] у разі 3 [pic].

Отже, маємо окончательно:

[pic], [pic] чи [pic].

[pic] [pic]; x > 0, y > 0, і [pic] (1).

[pic]; x < 0, y < 0, і [pic].

Пример:

[pic].

[pic]; [pic].

2. Замінивши в (1) x на -x получим:

[pic], [pic] чи [pic].

[pic] [pic]; x > 0, y > 0, і [pic] (2).

[pic]; x < 0, y < 0, і [pic].

3. Висловити суму [pic]через арккосинус.

[pic] і [pic] имеем.

[pic].

Можливі такі два случая.

Випадок 1: [pic]если [pic], то.

[pic].

Прийнявши до уваги, що обидві дуги [pic]и [pic]расположены між тим [0;?] і у цьому проміжку косинус убуває, получим.

[pic] і отже, [pic], звідки [pic].

Випадок 2: [pic]. Якщо [pic], то.

[pic], звідки з допомогою міркувань, аналогічних попереднім, одержимо [pic]. З зіставлення результатів слід, що випадок 1 має місце, якщо [pic], а випадок 2, якщо [pic].

З рівності [pic] слід, що дуги [pic] і [pic] мають однакову косинус.

Що стосується 1 [pic], у разі 2 [pic], следовательно,.

[pic] [pic], [pic].

[pic], [pic] (3).

4. Аналогічно [pic] [pic], [pic].

[pic], [pic] (4).

приклад: [pic].

5.

[pic]; xy < 1.

[pic] [pic]; x > 1, xy > 1 (5).

[pic]; x < 0, xy > 1.

При xy=1 немає смысла.

6.

[pic]; xy > -1.

[pic] [pic]; x > 0, xy < -1 (6).

[pic]; x < 0, xy < -1.

7.

[pic]; [pic].

[pic] [pic]; [pic] (7).

[pic]; [pic].

8.

[pic] [pic]; [pic] (8).

[pic]; [pic].

9.

[pic]; [pic].

[pic] [pic]; x > 1 (9).

[pic]; x < -1.

10. [pic] (10).

[pic] (11).

[pic] [pic], якщо [pic] (12).

[pic], якщо [pic].

———————————- ?/2.

-?/2.

— 1.

[pic].

[pic].

— 1.

x.

?/2.

y.

x.

y.

y.

x.

[pic].

— 1.

?/2.

[pic].

y.

x.

— 1.

y.

x.

-?/4.

— 1.

-?/2.

?/2.

x.

y.

y.

x.

— 1.

x.

y.

— 1.

arcsin (x).

arccos (x).

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

— 1.

[pic].

X.

Y.

[pic].

-?

X.

Y.

[pic].

-?

Х.

Y.

[pic].