Інтеграл Стилтьєса (реферат)

Реферат з вищої математики.

Інтеграл Стилтьєса.

А. Інтеграл Рімана-Стилтьєса. Інтеграл Рімана-Стилтьєса від функції f (x) з інтегрованою функцією g (x) по граничному інтервалу [a, b] по визначенню є.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dg}(x)=\underset{\text{max}(x_i-x_{i-1})->0}{\text{lim}}\underset{i=1}{\overset{m}{}}({}_i)\left[g(x_i)-g(x_{i-1})\right],$$.

де.

$$a=x_0<x_1<x_2<\text{.}\text{.}\text{.}<x_m=b$$.

і $$x_{i-1}<={}_i<=x_i$$. Якщо g (x) — функція граничної варіації, а f (x) — неперервна функція на [a, b], то границя існує.

Невласні інтеграли Лебега-Стилтьєса. Кожна функція g (x), не спадаюча і неперервна справа на граничному інтервалі [a, b], за допомогою нерівностей маємо:

$$M[<x<=]=g()-g()\begin{array}{cc},& (a<<<b)\end{array},$$.

де в квадратних дужках вказано множина значень х, визначає межу (межу Лебега-Стилтьєса) M[S] кожної борелевської множини на інтервалі [a, b]. Зауважимо, що.

$$\begin{array}{cc}M[<=x<=]=g()-g(-0),& M[<x<]=g(-0)-g(),\\ M[<=x<=]=g(-0)-g(-0)& M[x=]=g()-g(-0)(a<<<b)\end{array}\}$$.

Відштовхуючись від межі Лебега-Стилтьєса граничних інтервалів по способу, а вводячи межу M[S] Лебега-Стилтьєса похідної вимірної множини, як загальне значення внутрішньої і зовнішньої межі.

Якщо задана функція y=f (x), обмежена і вимірна на інтервалі [a, b], то інтеграл Лебега-Стилтьєса від функції f (x) з інтегрованою функцією g (x) по [a, b] за визначенням є.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dg}(x)=\underset{\text{max}(y_i-y_{i-1})->0}{\text{lim}}\underset{i=1}{\overset{m}{}}{}_{i}M[S_i],$$.

для похідної розбивки інтеграла, що складає множину значень функцій f (x) — Si і є множина значень х, в яких $$y_{i-1}<f(x)<=y_i$$ (про визначення межі).

Інтеграл Лебега-Стилтьєса від обмеженої або необмеженої функції f (x) по будь-якій вимірній множині можна визначити за способом b, c i d, допускаючи, що функція g (x) обмежена на кожній розглянутій обмеженій множині. В багатомірному випадку функція g (x) заміняється функцією, не спадаючою по кожному аргументу. Якщо примінивши рівність до суми двох монотонних функцій …, визначити інтеграл Лебега-Стилтьєса $$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dg}(x)$$ з будь-якою інтегрованою функцією g (x) обмеженої варіації. Якщо інтеграл Рімана-Стилтьєса існує в змісті абсолютної збіжності, то відповідний інтеграл Лебега-Стилтьєса рівний йому.

С. Якості інтеграла Стилтьєса.

Якщо (a, b) — обмежений або необмежений інтервал, для якого існують розглянуті інтеграли, то.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{fsg}=-\underset{b}{\overset{a}{}}{\text{fdg}}^1)\begin{array}{cc},& \underset{b}{\overset{a}{}}\text{fdg}=\underset{b}{\overset{c}{}}\text{fdg}+\underset{c}{\overset{a}{}}\text{fdg}\end{array}$$.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\left(f_1+f_2\right)\text{dg}=\underset{a}{\overset{b}{}}{f}_1\text{dg}+\underset{a}{\overset{b}{}}{f}_2\text{dg}\begin{array}{cc},& \underset{a}{\overset{b}{}}\text{fd}(g_1+g_2)=\underset{a}{\overset{b}{}}{\text{fdg}}_1+\underset{a}{\overset{b}{}}{\text{fdg}}_2\end{array}$$.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}(\mathit{})\text{dg}=\underset{a}{\overset{b}{}}\text{fd}(\mathit{})=\underset{a}{\overset{b}{}}\text{fdg},$$.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f\text{dg}=\text{fg}{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{}}\text{gdf}\text{.}$$.

Якщо g (x) — неспадна функція на (a, b), тоді.

$$|\underset{a}{\overset{b}{}}f\text{dg}|=\underset{a}{\overset{b}{}}|f|\text{dg}\begin{array}{cc}& (a<=b)\end{array}$$.

Якщо g (x) — неспадна функція і $$f(x)<=F(x)$$ на (a, b), тоді.

Інтеграли Стилтьєса як правило мають «наглядний» зміст (криволінійні інтеграли, інтеграли по поверхні, по об'єму, інтеграли по розподілу маси, заряду і ймовірності). Зауважимо, що інтеграл Стилтьєса в якості особливих випадків включає в себе інтеграли і суми:

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dg}(x)=\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)g\text{'}(x)\text{dx},$$.

якщо функція g (x) неперевно диференційована на проміжку (a, b), та.

$$\begin{array}{c}\underset{k}{}f(k)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{+\mathrm{}}{}}f(x)d\underset{k}{}{u}_{-}(x-k)\\ \begin{array}{ccc}\mathrm{0,}& \text{якщо}& x<\mathrm{0,}\end{array}\\ \begin{array}{ccc}\mathrm{1,}& \text{якщо}& x>=0\end{array}\\ u_{-}(x)=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \\ \\ \begin{array}{cc}\text{.}& \end{array}\\ \end{array}$$.

Cвертки. Свертка Стилтьєса двох функцій f (х) та g (х) по проміжку (a, b) є по визначенню функцією.

$$(t)=\underset{a}{\overset{b}{}}f(t-x)\text{dg}(x)=\underset{a}{\overset{b}{}}g(t-x)\text{df}(x)$$.

для всіх значень t, для яких ці два інтеграла існують і рівні. Класична свертка функцій f (х) та g (х) по проміжку (a, b) таким чином визначається як.

$$(t)=\underset{a}{\overset{b}{}}f(t-x)g(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}g(t-x)f(x)\text{dx}\text{.}$$.

В літературі часто просто називають сверткою функцій f (х) та g (х) по проміжку (a, b) або будь-яку з цих функцій позначають символом $$f_a^{b}g$$ або f*g, справжній зміст як правило видно з контексту.

Якщо мають місце рівності, то.

$$gffg\begin{array}{ccc},& f(gh)(fg)hfgh,& f(g+h)\end{array}fg+fh\text{.}$$.

Якщо $$a=-\mathrm{}$$ або якщо $$b\text{=+}\mathrm{}$$, якщо інтеграли існують, то рівності справедливі.

Свертка двох скінчених або нескінчених послідовностей $$a(0),a(1),\text{.}\text{.}\text{.}$$ та $$b(0),b(1),b(2),\text{.}\text{.}\text{.}$$ є послідовність.

$$\begin{array}{cc}ab=\underset{k}{}a(t-k)b(k),& (t=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.})\end{array}$$.

Нерівності Мінковського і Гельдера.

А. Якщо (a, b) — обмежений або необмежений інтервал, для якого інтеграли в правій частині існують, тоді.

$${\left[\underset{a}{\overset{b}{}}{|f_1+f_2|}^p\text{dg}\right]}^{\frac{1}{p}}<={\left[\underset{a}{\overset{b}{}}{|f_1|}^p\text{dg}\right]}^{\frac{1}{p}}+{\left[\underset{a}{\overset{b}{}}{|f_2|}^p\text{dg}\right]}^{\frac{1}{p}}$$.

$$(1<=p\text{<+}\mathrm{})$$ (нерівність Мінковського).

$$\left[\underset{a}{\overset{b}{}}{f}_1{f}_2\text{dg}\right]<={\left[\underset{a}{\overset{b}{}}{|f_1|}^p\text{dg}\right]}^{\frac{1}{p}}+{\left[\underset{a}{\overset{b}{}}{|f_2|}^{p/(p-1)}\text{dg}\right]}^{\frac{(p-1)}{p}}$$.

$$(1<p\text{<+}\mathrm{})$$ (нерівність Гельдера).

Ці нерівності вірні, для простих інтегралів Рімана і Леберга, для багатомірних інтегралів. Якщо $$p=\frac{p}{p-1}$$ =2 нерівність переходить в нерівність Коші-Шварца.

Б. З нерівності випливають відповідні нерівності для суми та для безмежних рядів, що сходяться. Якщо суми справа існують, тоді.

$${\left[\underset{k}{}{|a_k+b_k|}^p\right]}^{\frac{1}{p}}<={\left[\underset{k}{}{|a_k|}^p\right]}^{\frac{1}{p}}+{\left[\underset{k}{}{|b_k|}^p\right]}^{\frac{1}{p}}$$.

$$(1<=p\text{<+}\mathrm{})$$ (нерівність Мінковського).

$$|\underset{k}{}{a}_k{b}_k|<={\left[\underset{k}{}{|a_k|}^p\right]}^{\frac{1}{p}}+{\left[\underset{k}{}{|b_k|}^{p/(p-1)}\right]}^{\frac{(p-1)}{p}}$$.

$$(1<p\text{<+}\mathrm{})$$ (нерівність Гельдера).

Якщо $$p=\frac{p}{p-1}$$ =2 нерівність переходить в нерівність Коші-Буняковського.