Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування (реферат)

Реферат на тему:

Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування.

Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (x). Розіб'ємо відрізок [а, b] на n частин а<х1<х2 <… < хп-1, < b. Довжину відрізківпозначимо = хi — хi-1. Обчислимо $$f({}_i)({}_i$$ — довільна точка $$[x_i,x_{i-1}]$$) та утворимо інтегральну суму: $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}f({}_i){\mathit{}}_i$$. Границю інтегральної суми, якщо вона існує, називають визначеним інтегралом:

де а, b — нижня та верхня межі інтегрування- [а, b] - відрізок інтегрування;

х — змінна інтегрування.

Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу Ньютона-Лейбніца:

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$.

де F (x) — це первісна неперервної функції f (x).

Якщо функція $$f(x)>=0$$, то інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою у =f (х), віссю ОХ (у = 0) та прямими х=а та х=b.

Зауваження 1. Визначений інтеграл залежить від функції f (х) та меж інтегрування, але не залежить від позначення змінної інтегрування:

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}f(t)\text{dt}=\text{.}\text{.}\text{.}=\underset{a}{\overset{b}{}}f(z)\text{dz}\text{.}$$.

Зауваження 2.

Властивості визначеного інтеграла:

1.

2.

3. Якщо $$x\left[a,b\right]\begin{array}{cc},& f(x)<=\underset{a}{\overset{b}{}}(x)\text{dx}\text{.}\end{array}$$.

4. для будь-якого с.

5. Теорема про середнє.

Якщо f (х) — неперервна функція на відрізку [а, b], то існує така точка $$c\left[a,b\right]$$, що.

де f (x) — середнє значення функції на відрізку [а, b].

Методи інтегрування

1. Заміна змінної:

$$\begin{array}{c}f(x)\text{dx}=|\\ x=(t)\\ \underset{a}{\overset{b}{}}\begin{array}{c}|\text{dx}=\text{'}(t)\text{dt}\\ |()=a-()=b\\ \\ \}\end{array}=\underset{}{\overset{}{}}f((t))\text{'}(t)\text{dt}=F((t)){|}_{}^{}=F(())-F(())=F(b)-F(a)\text{.}\end{array}$$.

2. Інтегрування частинами:

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{UdV}=\text{UV}{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{}}\text{VdU}\text{.}$$.

Приклад 1. Обчислити інтеграл:

Розв’язання:

Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:

$$\text{tg}\frac{x}{2}=t\begin{array}{ccc},& \frac{x}{2}=\text{arctgt},& \text{dx}=\frac{2\text{dt}}{1+t^2}\end{array}-$$.

$$\text{cos}x=\frac{{\text{cos}}^2\frac{x}{2}-{\text{sin}}^2\frac{x}{2}}{{\text{sin}}^2\frac{x}{2}+{\text{cos}}^2\frac{x}{2}}=\frac{1-{\text{tg}}^2\frac{x}{2}}{1+{\text{tg}}^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=>$$.

Приклад 2. Обчислити інтеграл: $$\underset{0}{\overset{1}{}}\text{arcsin}\text{xdx}\text{.}$$.

Розв’язання:

Приймаємо $$U=\text{arcsin}x,\text{dV}=\text{dx},$$ тоді $$\text{dU}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{dx},V=\text{dx}=x\text{.}$$.

Записуємо ці вирази у формулу інтегрування частинами:

$$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{1}{}}\text{src}\text{sin}\text{xdx}=x\text{arcsin}x{|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{}}x\frac{\text{dx}}{\sqrt{1-x^2}}=\\ \frac{}{2}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{}}\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1-x^2}}{1/2}{|}_0^1=\frac{}{2}-1\text{.}\end{array}$$.

Деякі геометричні застосування визначеного інтеграла Література: 1, гл. 8, § 10.

Запитання для самоконтролю

1. 1.Що називається інтегральною сумою?

2. 2.Що називається визначеним інтегралом?

3. 3.Сформулювати властивості визначеного інтеграла і дати їх геометричну інтерпретацію.

4. 4.Довести формулу Ньютона-Лейбніца.

5. 5.Як застосовувати інтегрування методом заміни змінної у визначеному інтегралі?

6. 6.Як обчислити площу криволінійної трапеції?

7. 7.Як обчислити площу, якщо функція у=f (x) не є знакосталою на проміжку [а, b]?

8. 8. Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?

9. 9.Як обчислити довжину кривої у прямокутних та полярних координатах?

10. 10. Як обчислити об'єм тіла по площах паралельних перерізів?

Завдання для самостійної роботи

Обчислити:

1. $$\underset{1}{\overset{e}{}}{\text{ln}}^2\text{xdx}-$$ 6. $$\underset{0}{\overset{1}{}}\frac{\text{xdx}}{1+\sqrt{x}}-$$.

2. $$\underset{1}{\overset{2}{}}\frac{\text{ln}x}{x^5}\text{dx}-$$ 7. $$\underset{1}{\overset{2}{}}\frac{x^2\text{dx}}{1+x}-$$.

3. $$\underset{0}{\overset{/4}{}}{\text{xtg}}^2\text{xdx}-$$ 8. $$\underset{0}{\overset{1}{}}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\text{dx}-$$.

4. $$\underset{0}{\overset{1}{}}(\text{arcsin}x{)}^2\text{dx}-$$ 9. $$\underset{1}{\overset{1/4}{}}\frac{\text{dx}}{(4x+1)\sqrt{x}}-$$.

5. $$\underset{1}{\overset{2}{}}\frac{\text{dx}}{x(1+x^4)}-$$ 10. $$\underset{0}{\overset{\sqrt{3}}{}}{x}^3(1+x^2)\text{dx}\text{.}$$.

Обчислити площу, обмежену лініями:

11. $$y=4-x^2,y=0-$$.

12. $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{.}$$.