Нестандартный аналіз

Нестандартный анализ

Курсовая робота з курсу «Математика».

Кировоградский державний педагогічний університет ім. Винниченка Кировоград 2003.

Вступление

Нестандартный аналіз виник у 1960 року, коли Абрахам Робінсон, фахівець із теорії моделей, зрозумів, як методи математичної логіки дозволяють виправдати класиків математичного аналізу XVII і XVIII ст., поставивши на сувору основу їх міркування, використовують «нескінченно великі» і малі величини. Отже, не про якісь нових «нестандартних» методах, не мають нічого спільного з традиційною математикою, йдеться про розвитку нових засобів всередині стандартної (теоретико-множественной) математики.

Нестандартный аналіз був би цікавим курйозом, якби єдиним його додатком було обгрунтування міркувань класиків математичного аналізу. Ця людина виявилась корисним і за розвитку нових математичних теорій. Нестандартний аналіз можна порівняти з мостом, перекинутим через річку. Будівництво мосту не розширює доступною нам території, але скорочує шлях із одного берега в інший. Подібним чином нестандартний аналіз робить докази багатьох теорем короче.

Однако, можливо, головне, значення нестандартного аналізу в іншому. Мова нестандартного аналізу виявився зручним засобом побудови математичних моделей фізичних явищ. Ідеї та художні засоби нестандартного аналізу можуть бути важливою частиною цьогорічного майбутньої фізичної картини світу. Принаймні вже нині багато фахівців по математичної фізиці активно використовують нестандартний аналіз у своїй работе.

Нестандартный аналіз дозволяє собі з нової погляду оцінити багато міркування класиків математичного аналізу, удавані нестрогими, але що призводять до успіху, і шляхом відносно невеликих уточнень зробити їх задовольняючими сучасним критеріям строгости.

1. Ляйбніц і «давня історія» нестандартного анализа

Возраст нестандартного аналізу коливається (залежно від погляду) від двох із половиною десятків близько трьох сотень років. Дві з половиною десятка вийде, якщо вважати, що нестандартний аналіз зародився восени 1960 р., що його засновник, Абрахам Робінсон, зробив доповідь однією нз семінарів Прінстонського університету про можливість застосування методів математичної логіки до обгрунтуванню математичного аналізу. Триста років вийде, якщо вважати початком нестандартного анлиза поява символів нескінченно малих dx, dy трактаті Лейбніца «Новий метод».

Трудно сказати впевнено, наскільки насправді Ляйбніц був близьким до ідей нестандартного аналізу. Як сам Робінсон «історія предмета зазвичай пишеться у світі його пізнішого розвитку. Вже сьогодні понад ніж півстоліття все огляди історії диференціального і інтегрального числень грунтувалися на впевненості, що правове поняття нескінченно малих та нескінченно великих, хай і несуперечливо, марно у розвиток аналізу. У результаті роботах цього періоду помітно різницю між строгістю, з якою розглядаються ідеї Лейбніца та її послідовників, і поблажливістю, що проявляється до провозвестникам ідеї краю». Характерно, наприклад, таке висловлювання Анрі Лебега від 3 грудня 1926 р. «Нескінченно малі були колись туманними сутностями, що зустрічалися в незрозумілих і неточних формулюваннях. Усі роз’яснилося згодом завдяки поняттю предела».

Считая, що ідеї Лейбніца і ідеї прибічників поняття граничного переходу мірялися подвійним стандартом при несправедливому відмінюванні терезів правосуддя на користь краю, Робінсон пропонує багато в чому переглянути загальне полотно виникнення та розвитку математичного аналізу від Ньютона і Лейбніца до Коші і Вейерштрасса. Цей перегляд призводить до більш повного визнанню заслуг Лейбніца, і саме Ляйбніц переміщається, в такий спосіб, з розряду геніїв третього класу до розряду геніїв другого класу (класифікація, запропонована Станіславом Лемом: у цій класифікації генії третього класу лише отримують прижиттєве, а генії вищого класу — лише посмертне признание).

Изложим историко-математические погляди Робінсона. Робінсон резюмує стандартний погляд на історію розвитку математичного аналізу, у наступних словах: «Після тривалого, протягом якого було визначено площі, об'єми та касательные у різних приватних випадках, у другій половині сімнадцятого століття Ньютоном і (трохи згодом, але незалежно) Лейбніцем було побудовано загальна теорія диференціювання і інтегрування. Торкаючись обгрунтування запроваджених їм понять, Ньютон звертався чи до нескінченно малим, чи до меж, то безпосередньо до фізичного інтуїції; його безпосередні послідовники воліли останнє. З іншого боку, Ляйбніц та її послідовники розвивали теорію з диференціалів першого вчителя і наступних порядків. Технічні зручності позначень, використовували диференціали, сприяли швидкому розвитку Аналізу та її додатків у Європі, де було прийнято. Проте внутрішні протиріччя цю концепцію сприяли усвідомлення, що необхідні якісь інші підстави. Лагранж вважав, що йому вдалося знайти належний шлях, узявши в основі тейлоровское розкладання функції. Але за перше суворе обгрунтування математичного аналізу дали лише Коші. Основою теорії Коші було поняття краю, яке, будучи вперше висунуто Ньютоном, згодом підтримувалося Даламбером. Більше формальне виклад методів Коші дали Вейерштрассом (що його певної міри передбачив Больцано). Після створення теорія меж використання нескінченно великих грошей і нескінченно малих перетворилася на мовний зворот, застосовуваний у висловлюваннях типу „…прагне нескінченності“. Подальший розвиток теорії неархимедовых полів був на надано алгебре.».

Этот стандартний погляд, але думці Робінсона, у деяких відносинах «може бути доповнений і навіть змінено». У доказательсто цього Робінсон наводить велике кількість витягів із творів Лейбніца та інших згаданих вище авторів. Як вважає Робінсон, «…ставлення Лейбніца до нескінченно великим і малим величинам в Аналізі переважно залишалося незмінним протягом двох останніх десятиліть його життя. Він цілком схвалював їх запровадження, однак вважав їх «ідеальними елементами, подібними мнимим числа. Ці ідеальні елементи підпорядковуються тим самим законам, як і звичайні числа. Проте вони представляють собою лише зручні фікції, необхідних полегшення розмірковувань та відкриттів. Завжди, за бажання, можна виключити їх користування та повернутися до стилю античних математиків, розмірковуючи термінах величин, досить великих (чи малих) у тому, щоб помилка була за будь-який наперед заданої. Усе це чітко й неодноразово стверджується у творах Лейбница».

Приведем тепер що з висловлювань Лейбніца, цитованих Робінсоном.

«…Потрібно сприймати нескінченне аналогічно, як це робиться в оптиці, коли стане сонячне проміння вважаються що приходять з нескінченно віддаленій крапки й тому паралельними… І коли існують різні порядки нескінченного чи нескінченно малих, то розуміються вони у тому самому сенсі, що не земну кулю вважається точкою проти відстанню до нерухомих зірок, а кулька в руках — точкою проти радіусом земної кулі, отже відстань до нерухомих зірок є нескінченно нескінченним чи нескінченністю нескінченності стосовно діаметру кульки. Замість нескінченно великого чи нескінченно малої кількості можна взяти кількість настільки велике чи мале, наскільки це потрібно, щоб помилка не перевищувала заданої. Відмінність від архимедовского стилю міркувань лише у висловлюваннях, які в нас більш безпосередні і від пристосовані для мистецтва изобретать».

«…Если хтось не хоче розглядати нескінченно великі та малі у суворо метафізичному сенсі, як реально існуючі, він можег користуватися ними як «ідеальними поняттями», які скорочують міркування, подібно мнимим коріння в звичайному аналізі… Так само представляють більше трьох вимірів…— все це задля встановлення ідей, здатних скорочувати міркування і спираються на реальностях.

Не слід все-таки уявляти, що галузеву науку про нескінченному принижується ці пояснення і зводиться до фікціям, бо постійно залишається, мовою схоластики, синкатегорематическая нескінченність. Наприклад, зберігає вірність, що 2 одно 1/1+½+1/4+1/8+1/16+1/32 тощо. буд., що є нескінченний ряд, у якому містяться відразу всі дробу з числителем 1 і з знаменателями, утворюючими удваивающуюся геометричну прогресію, хоча тут вживають постійно лише звичайні числа і було не вводять ніякої нескінченно малої дробу чи дробу з нескінченним знаменником… Правила кінцевого зберігають силу в нескінченному, як якби існували атоми…, хоча вони зовсім не від існують, бо матерія в дійсності ділена нескінченно і, навпаки, правила нескінченного зберігають силу у кінцевому, коли б були метафізичні нескінченно малі, хоча у неї не існує потреби і було розподіл матерії будь-коли дійшов нескінченно малим частинкам. Це тим, що це управляється розумом І що інакше зовсім було б ні науки, ні правила, але це не согласовалось б із природою верховного початку". (Ці слова Лейбніца можна за бажання розглядати як формулювання принципу перенесення, що ще одна підстава називати його також «принципом Лейбница».).

«…Несравнимыми величинами я називаю такі, одній із яких не зможе перевершити іншу, у яке кінцеве число її ні помножили, як і це Евклид…».

Приведем ще кілька цитат (цього разу відсутніх у монографії Робинсона).

«…новый Аналіз нескінченних розглядає не лінії не числа, але величини взагалі, як це робить звичайна Алгебра. Цей Аналіз містить новий алгоритм, т. е. новий спосіб складати, вичитати, множити, ділити, видобувати коріння, відповідний несравнимым величинам, т. е. тим, які нескінченно великі чи нескінченно малі тоді як другими…».

Методы Лейбніца панували у Європі на впродовж понад ніж 50 років. Але у другій половині XVIII століття почалися пошуки альтернативних шляхів побудови аналізу. Лагранж пропонував розглядати розкладання функцій в статечні ряди, припускаючи, будь-яка чи вводити майже будь-яка функція то, можливо розкладена у такому ряд. Даламбер пропонував поняття краю як вихідного для побудови математичного аналізу. Він писал:

«Говорят, що одне величина лявляется межею інший, якщо друга наближається до першої ближче, ніж будь-яку задану величину… Теорія меж є підставою справжньої Метафізики диференціального обчислення… У диференціальному обчисленні не про нескінченно малих величинах, як і зазвичай стверджують; йдеться лише про переділах кінцевих величин… Тоді терміном „нескінченно мала“ користуються лише як скороченням …».

Эти висловлювання даламбера виглядають як виклад сучасної погляду на межі. Можна було припустити, що відтоді поняття нескінченно малих буде цілком усунуто. Однак це, негаразд. Коші, аналізований зазвичай як засновник сучасного підходу до побудови аналізу, використовує поняття нескінченно малої величини. Намагаючись пояснити у сприйнятті сучасних термінах, що Коші називає «величиною», можна припустити, що обсяг — це функція з дійсними значеннями, певна на упорядкованому безлічі без найбільшого елемента. Коші, проте, зовсім на зводить величини функцій. Навпаки, він говорить про функції як і справу співвідношенні, єднальному дві величини. У його викладі нескінченно малі і межі фігурують як рівноправні компоненти обгрунтування анализа.

2. Робінсон і «нова історія» нестандартного анализа

В 1961 р. з’явилася стаття А. Робінсона «Нестандартний аналіз» в Працях Нідерландській Академії Наук. У статті намічені як основні тези нестандартного аналізу, і його докладання (наприклад, до аналітичної механіці). У статті Робінсон, зокрема, писав: «Наша головна мета — показати, що це моделі дають природний підхід до старої шановної проблемі побудови обчислення, що включає нескінченно великі наклади і нескінченно малі кількості. Як відомо, використання нескінченно малих, наполегливо защищаемое Лейбніцем і коливанні прийняте Эйлером, було дезавуйовано з приходом методів Кошн, поставили математичний аналіз на тверду основу».

Итак, до 1961 р. поняття нескінченно малої поятоянной величини, нескінченно малого числа, інтерпретувалося як і кращому разі нестрогое, а гіршому — безглузде. Робінсон вперше виявив, що це поняття можна надати точний математичний сенс.

В протягом наступних максимально восьми років з’явилися на світ три монографії, показували б нестандартну теорію: в 1962 р.- книга У. Л. Дж. Люксембургу «Нестандартний аналіз. Лекції про робинсоновой теорії нескінченно малих та нескінченно великих чисел», в 1966 р.— книга самого А. Робінсона «Нестандартний аналіз», в 1969 р. — книга М. Маховера і Дж. Хиршфелда «Лекції про нестандартному аналізі"] (з 77 сторінок цих «НА ЛЕКЦІЯХ Лекцій» дійсною прямий відведено небагатьом болеее двох: «нестандартний аналіз» розуміється тут у щонайширшому значенні).

Наибольший резонанс викликала книга Робінсона. У дев’яти перших розділах цієї монографії утримувалося як побудова необхідного логико-математического апарату, і численні докладання — до диференціальному і інтегральному підрахунку, до загальної топології, до теорії функцій комплексного змінного, до теорії груп Лі, до гідродинаміці і теорії упругости.

В 1966 р. з’явилася стаття Г. Р. Бернстейна й О. Робінсона, у якій вперше методами нестандартного аналізу отримали розв’язання проблеми інваріантних просторів для полиномиально компактних операторів. У нарисі П. Р. Халмоша «Погляд в гильбертово простір» як проблеми фігурує поставлена К.Т. Смітом завдання про існування інваріантного підпростору для таких операторів Т в гильбертовом просторі , котрим оператор компактний. Г. Р. Бернстейном й О. Робінсоном методами нестандартного аналізу було доведено, що кожен полиномиально компактний оператор в гильбертовом просторі має нетривиальное інваріантне замкнутий подпространство.

Приложения нестандартного аналізу, у математиці охоплюють велику область від топології до теорії диференційних рівнянь, теорії заходів і ймовірностей. Що ж до внематематических додатків, але серед них зустрічаємо навіть додатку до математичної економіці. Багатообіцяючим виглядає використання нестандартного гильбертова простору для побудови квантової механіки. На статистичної механіці стає можливим розглядати системи з безлічі частинок. Крім застосувань до різноманітних галузей математики, дослідження, у області нестандартного аналізу містять у собі як дослідження самих нестандартних структур.

В 1976 р. вийшли одразу трьох книжки з нестандартного аналізу: «Елементарний аналіз» і «Підстави обчислення нескінченно малих» Р. Дж. Кейслера і «Введення у теорію нескінченно малих» До. Д. Стройана і У. А. Дж. Люксембурга.

Быть може, найбільшу користь нестандартые методи можуть дати у сфері прикладної математики. 1981;го р. вийшла книжка Р. Лутца і М. Гозе «Нестандартний аналіз: практичне керівництво з додатками». У цій книзі після викладу основних принципів нестандартного аналізу розглядаються питання теорії возмущений.

В час нестандартний аналіз завоёвывает все більше визнання. Відбулося кілька міжнародних симпозіумів, спеціально присвячених нестандартного аналізові досягнень і його додатків. У перебігу протягом останнього десятиліття нестандартний аналіз (точніше, елементарний математичний аналіз, але заснований на нестандартному підході) викладався у низці ВНЗ США.

3. Нескінченно малі величины

Один із найпринциповіших моментів нестандартного аналізу у тому, що нескінченно малі розглядаються не як перемінні величини (т. е. не як функції, котрі прагнуть нулю, як вчать сучасні підручники), бо як величини постійні. Такий їхній підхід добре узгоджується і з інтуїцією натураліста, і з реальною історією зародження математичного аналізу. Що ж до інтуїції, досить розкрити будь-який підручник фізики, щоб подибати нескінченно малі збільшення, нескінченно малі об'єми та т.п. Всі ці величини мисляться, зрозуміло, не як перемінні, а й просто як дуже маленькі, майже рівні нулю. Було неправильним вважати такого роду інтуїцію властивою лише авторам підручників фізики. Навряд якийсь математик сприймає (наочно) елемент дуги ds інакше, ніж «дуже маленьку дугу». Будь-який математик, становлячи відповідне диференціальний рівняння, скаже, що з нескінченно мале час dt точка пройшла нескінченно малий шлях dx, а кількість радіоактивного речовини змінилося на нескінченно малу величину dN.

Что саме стосується історії математичного аналізу, то найбільш явною формі излагаемый підхід проявився одного з основоположників цієї науки — Лейбніца. У травні 1984 р. виповнилося 300 років із того дня, як символи dx і dy вперше з’явилися зі сторінок математичних публікацій, приміром у знаменитому мемуаре Лейбніца «Новий метод…». Саме Ляйбніц ясніше інших відчував нескінченно малі величини постійними (хоч і уявлюваними, ідеальними) величинами особливий, і саме Ляйбніц сформулював правила оперування із неймовірно малими як исчисления.

Какие позитивні числа слід називати нескінченно малыми?

Первый відповідь такий: позитивне число e називається нескінченно малим, коли вона найменше позитивних чисел. Проте нескінченно малих у сенсі позитивних чисел немає: бо коли число найменше позитивних чисел і саме позитивно, він повинен менше себе. Спробуємо виправити стан, вимагаючи, щоб e було найменше інших позитивних чисел, а навіть більше нуля, т. е. щоб e було найменшим в безлічі позитивних чисел. На числової осі таке e має изобразиться найлівішою точкою безлічі (0, +¥). На жаль, числа e з зазначеними властивостями також немає не може бути: якщо e позитивно, то число e/2 буде позитивним числом, меншим e. (Відповідно до звичайним властивостями нерівностей будь-кого, а > 0 виконуються нерівності 0 < а/2 < а). І якщо не хочемо відмовитися від звичних нам властивостей дійсних чисел (наприклад, від можливості розділити будь-яке число на 2 чи то з можливості помножити будь-яке нерівність на позитивне число), але хочемо мати нескінченно малі числа, то наведене визначення безкінечною дрібниці не годится.

Более вишукане визначення безкінечною дрібниці числа e > 0, яку ми будемо залучити до подальшому, таке. Будемо складати число e з собою, одержуючи числа e, e + e, e + e+ e, e + e + e +e тощо. буд. Якщо всі отримані числа виявляться менше 1, то число e і називатиметься нескінченно малим. Інакше кажучи, якщо e нескінченно мало, то скільки вже разів ні відкладай відрізок довжини e вздовж відрізка довжини 1, остаточно не дійдеш. Наше вимогу до нескінченно малому e можна переписати й у такому формі (поділивши на e): 1<1/e, 1+1<1/e, 1+1+1<1/e,…

Таким чином, якщо число число e нескінченно мало, то число 1/e нескінченно велике у цьому сенсі, що його більше кожного з чисел 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 тощо. буд. Отож коли ми почнемо вимірювати відрізок довжиною 1/e з допомогою еталона довжини (тобто. відкладаючи послідовно відтинки одиничної довжини), то процесу виміру будь-коли закінчимо.

Из вищевикладеного слід, що існування нескінченно малих суперечить так званої аксіомі Архімеда, яка стверджує, що з будь-яких двох відрізків, А і У можна відкласти менший їх (А) стільки раз, щоб у сумі отримати відрізок, переважаючий за довжиною більший відрізок (У).

Приведенная формулювання стосується відрізків; якщо вважати (як це зазвичай робиться), що довжини відрізків є числами, ми дійшли такому формулюванні аксіоми Архімеда: для будь-яких двох чисел чи b, котрим 0 < а < b, одна з нерівностей, а + а > b, a + а + a > b, … обов’язково виконано. У подальшому, кажучи про аксіомі Архімеда, ми не матимемо у вигляді саме цю формулювання. З неї видно, що у безлічі дійсних чисел (де цей аксіома виконується) нескінченно малих немає: щоб у цьому, досить покласти a=e, b=1. Ми побачимо надалі, що у насправді аксіома Архімеда рівносильна утвердженню про відсутність нескінченно малих елементів, не рівних нулю.

Вывод — якщо ми хочемо розглядати нескінченно малі, потрібно розширити безліч R дійсних чисел до деякого більшого безлічі *R. Елементи цієї нової безлічі називатимемо гипердействительными числами. У ньому аксіома Архімеда не виконується і є нескінченно малі (себто останнього визначення) числа — такі, хоч скільки їх складай з собою, сума дедалі час залишатися менше 1. Приблизно так як звичайний (чи стандартний) математичний аналіз займається вивченням безлічі дійсних чисел R, нестандартний аналіз вивчає безліч гипердействи-тельных чисел *R. Отримані під час цьому результати йдуть на дослідження властивостей R. (Отже може бути отримані «нестандартні» докази властивостей звичайних дійсних чисел.).

Порядок на R архімедівський, але в *R неархимедов: це що означає, що у R аксіома Архімеда виконується, а *R не виконується. Через це стандартний (звичайний) аналіз, вивчав R, називається ще архімедовим, а нестандартний аналіз, вивчав *R, називають неархимедовым.

Для побудови нестандартного аналізу необхідно розширити безліч дійсних чисел до широкого безлічі гипердействительных чисел.

Но колись ми поговоримо про самих дійсних числах та його происхождении.

До цього часу ми припускали відомим поняття дійсного числа. Поняття дійсного числа має довгу історію, що ще Давньої Греції (про чим схожий на назва «аксіома Архімеда») і обернулася лише ХІХ столітті. Самій початкової і основний числової системою є, звісно, система натуральних чисел. Натуральних чисел, проте, виявляється мало: намагаючись уладнати рівняння 3 + x = 2 в натуральних числах, ми виявляємо, що його немає прийняття рішень та наше бажання визначити операцію вирахування виявляється незадоволеним. Тому ми розширюємо безліч натуральних чисел до безлічі цілих чисел. У цьому процедурі нам зараз важливо таке: яким чином визначимо складання і множення аж числах? Те, що 2 + 2 == 4, помітні, склавши дві купи дві яблука до однієї. Але чому ми вважаємо, що (-2)+(-2)=(-4)? Чому ми вважаємо, що (-1)(-1)=1?

Эти питання негаразд тривіальні, як здається. Знайти пошук правильної відповіді буде легше, якщо сформулювати питання трохи інакше: що станеться, якщо ми будемо вважати, наприклад, що (-1)(-1)=(-1)? Відповідь проста: у разі добре відомі властивості складання і множення натуральних чисел (коммутативность, асоціативність та інших.) ні виконуватися для цілих чисел. Можна показати, що звичайне визначення операцій над негативними числами єдино можливе, якщо ми хочемо зберегти звичні властивості операцій складання і умножения.

Тут слід зупинитися: за які ж саме властивості складання і множення хочемо зберегти? Адже якщо б ми хотіли зберегти все властивості, то запровадження негативних чисел було не лише зайве, а й шкідливе: властивість «рівняння х+3=2 немає рішень», правильне для натуральних чисел, стає неправильним для цілих! Якщо ж ми щось хочемо зберегти, то завдання стає таким самим легкої, як і порожній: можна визначити операції негативним числами як завгодно.

Возвращаясь до своєї історії розвитку поняття числа, бачимо, що негативних чисел не доставляє задоволення: рівняння 2x=3 як і немає рішення. Це спонукає запровадити раціональні (дробные) числа. Але це недостатньо: від раціональних чисел доводиться можливість перейти до дійсним. У результаті виходить послідовність множин NÌZÌQÌR (натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел; АÌ У означає, що кожен елемент безлічі А належить безлічі B. У цьому послідовності кожна наступна безліч включає у собі попереднє, у своїй які були у минулому операції тривають наступний, ширше, безліч, зберігаючи свої корисні свойства.

Мы хочемо продовжити цю послідовність поки що не одні член, отримавши послідовність NÌZÌQÌRÌ*R, де *R — безліч гипердействительных чисел. Новий крок розширення матиме багато з попередніми: ми продовжимо на *R що у R операції, зберігши їх корисні властивості. Але чи будуть і 2 важливих відмінності.

Во-первых, якщо розширення (перехід від R до *R) можна виконати багатьма різними способами: можна побудувати суттєво відмінні безлічі *R, жоден з яких нічим не вирізняється з-поміж інших. У той жо час, попередніх кроки нашого розширення числової системи від N до R був у певному сенсі однозначні.

Во-вторых, є розбіжність у наших цілях. Якщо раніше (рухаючись від N до R) ми будували нову числову систему передусім на здобуття права досліджувати її властивості і його застосування, то побудована система *R призначається й не так у тому, щоб досліджувати її властивості, скільки у тому, щоб її допомогою досліджувати властивості R. Втім відмінність і ні велике: і зараз розширення числової системи було з способів отримання нових знання старих об'єктах. З іншого боку, безліч *R так можна трактувати, можливо, як відповідне фізичної реальності не меншою (і навіть у більшої) ступеня, ніж R.

Итак, необхідно розширити безліч R дійсних чисел до більшого безлічі *R, що містить нескінченно малі, зберігши у своїй все корисні властивості R. Центральне питання у тому, які саме властивості дійсних чисел ми хотілося б зберегти. Відповімо це питання не відразу, почавши з найпростіших властивостей дійсних чисел.

Прежде всього, хочемо, щоб гипердействительные числа можна було складати, множити, вичитати і ділити, щоб ці операції мали звичайними властивостями, званими «аксіомами поля». Сформулюємо их.

Среди гипердействительных чисел планується виділити числа 0 і одну; визначено операції складання, множення взяття протилежного, і навіть операція взяття зворотного. У цьому їх необхідно виконувати такі свойства:

(1) a+b=b+a (2) a+(b+c)=(a+b)+c (3) a+0=a (4) a+(-a)=0 (5) ab=ba.

(6) a (bc)=(ab)c (7) a*1=a (8) a (b+c)=ab+ac (9) a*(1/a)=1 при a<>0.

Множество з операціями, з цією властивістю, називається полем. Вимоги (1)-(9) можна сформулювати так: *R має бути полем.

Кромеарифметических операцій, поставимо на гипердействительных числах порядок. Для будь-яких двох різних гипердействительных чисел має бути визначено яке з нього більше. При этои їх необхідно виконувати такі свойства:

(10) якщо a>b, b>c, то a>c.

(11) якщо a>b, то a+c>b+c нічого для будь-якого с.

(12) якщо a>b, c>0, то ac>bc.

если a>b, c<0, то ac<bc.

Поле, у якому запроваджено лад із такими властивостями, називається упорядкованим полем. Вимоги (10)-(12) можна сформулювати так: *R має бути упорядкованим полем.

Мы хочемо, щоб із гипердействиетльных чисел були всі справжні. У цьому операції, і порядок на R і *R би мало бути соглсованы. Це вимога можна сформулювати так: упорядкований полі *R має бути розширенням упорядкованого поля R.

Что ж нового ми очікуємо від *R? Нескінченно малых.

Определение. Елемент e>=0 упорядкованого поля називається нескінченно малим, якщо e<1, e+e<1. e+e+e<1 тощо. Негативне e називається нескінченно малим, якщо -e нескінченно мало.

Существование ненульових нескінченно малх рівносильне порушення аксіоми Архімеда для гипердействительных чисел. Впорядковані поля, у яких справедлива аксіома Архімеда немає і нескінченно малих, називають архимедово упорядкованими. Ті поля, в яких аксіома Архімеда невернаи є нескінченно малі, називають неархимедово упорядкованими (неархимедовым).

В цих термінах треюования можна сформулювати так: система гипердействительных чисел мусить бути неархимедово упорядкованим полем, що є розширенням упорядкованого поля дійсних чисел.

4. Гипердействительная прямая

Предположим, що неархимедово розширення упорядкованого поля дійсних чисел існує. Досліджуємо його свойства.

Пусть *R — неархимедово розширення R. Його елементи називаються гипердействительными числами. У тому числі містяться і всі справжні числа. Щоб розрізнити тих гипердействительных чисел, які справжні (елементи R) назвемо їх стандартними, а остальнгые гипердействительные (елементи *RR) — нестандартними. Тоді нескінченно малі є нестандартними, оскільки серед дійсних чисел нескінченно малих нет.

Бесконечно малі позитивні числа найменше стандартних позитивних чисел. Так негативні нескінченно малі числа найбільше стандартних негативних чисел. Отже, якщо спробувати зобразити нескінченно малі числа на числової прямий, то довелося б втиснути їх настільки близько нанівець, щоб усе позитивні стандартні числа виявилися справа, а негативні - слева.

Указанное властивість може бути визначенням безкінечною дрібниці: якщо число e>0 найменше стандартних позитивних чисел, воно нескінченно мало.

Определение. Гипердействительное число А>0 називається нескінченно великим, якщо А>1, А>1+1, А > 1+1+1, …(Негативне число У називається нескінченно великим, якщо такий його модуль) Положительное нескінченно велика кількість, А більше будь-якого стандартного.

Аналогичным чином всяке негативне нескінченно велике гипердействительное число менше будь-якого стандартного.

Определение. Гипердействительные числа, які є нескінченно великими, називатимуться конечными.

Утверждение. Якщо p. s — кінцеве гипердействительное число, то знайдуться стандратное v і нескінченно мале e, котрим s=v+e. Це уявлення единственно.

Определение. Стандартної частиною st (x) кінцевого гипердействительного числа x називається таке стандартне v, що x=v+e для нескінченно малого e.

Гипердействительная пряма розбивається на 3 частини (зліва-направо): негативні нескінченно великі, кінцеві, позитивні нескінченно великі. Розглянемо «кінцеву частина» гипердейсьвительной прямий. Поруч із кожним стандартним дійсним числом, а розміщено безліч нескінченно близьких щодо нього гипердействительных чисел, котрим, а є стандратной частиною. Це безліч називають монадой стандартного числа а. Безліч кінцевих гипердействительных чисел розбите на непересічні класи — монади, відповідні стандартним дійсним.

Сумма і нескінченно малих нескінченно малі, твір нескінченно малого кінцевого гипердействительных чисел нескінченно мало.

Определение. Два гипердействительных числа називаються нескінченно близькими, якщо їх різницю нескінченно мала.

Из наведених вище властивостей нескінченно малих слід, що безпосереднє відношення безкінечною близькості є ставлення еквівалентності. Це означає, що безпосереднє відношення нескінченно близькості рефлексивно (кожне x нескінченно близько себе), симетрично (якщо x бесконено близько до y, то y нескінченно близько до x) і транзитивно (якщо x бесконено близько до y, а y нескінченно близько до z, то x нескінченно близько до z). Будь-яке ставлення еквівалентності розбиває безліч, якою воно визначено на непересічні класи, причому будь-які два елемента одного класу еквівалентні, а будь-які два елемента різних класів не еквівалентні. Зокрема, наше ставлення розбиває *R на непересічні класи, причому елементи одного класу нескінченно близькі друг до друга, а елементи різних класів — немає. Класи, містять стандартні справжні числа, є згадувані вище «монады».

5. Приклад неархимедовой числової системы

До цього часу йшлося і про гипердействительной прямий (а точніше, будь-якому неархимедовом розширенні упорядкованого поля дійсних чисел). Постає питання — може бути хоча одне таке распшрение. Побудуємо таке расширение.

Основная ідея цього побудови то, можливо описано на однієї фразі так: ми маємо об'єктів, але є імена їм; так оголосимо ж імена об'єктами! Ця (часто застосована математичної логіці) ідея конкретизується у разі наступним образом.

Мы знаємо, що в (поки що не побудованому і невідомо існуючому чи) розширенні має бути хоча одне нескінченно мале позитивне гипердействительное число. Означимо його через e. Оскільки гипердействительные числа можна множити друг на друга (і зокрема, на справжні числа), то поруч із e у нашій розширенні будуть і кількості 2e, 0,5e і взагалі усе числа виду ae, де, а — довільне стандартне дійсне число. Понад те, число e можна множити і себе, у нашому розширенні будуть матись e2, e3, 2e2, Зe2+2e+1, … і взагалі усе гипердействительные числа виду Р (e), де P — багаточлен зі стандартними дійсними коефіцієнтами.

Множество чисел такого виду замкнуто щодо складання, вирахування і множення. Це отже, що, складаючи, віднімаючи чи перемножая два числа такого виду, ми знову одержимо число такої ж виду. Для гипердействительных чисел визначено що й розподіл. Тож у розширенні будуть і кількості виду Р (e)/Q (e), де P і Q — багаточлени зі стандартними дійсними коефіцієнтами. Після цього ми маємо безліч гипердействптельных чисел, замкнутий щодо всіх арифметичних операцій: складаючи, віднімаючи, примножуючи чи ділячи дві дробу зазначеного виду зі звичайних правилам, отримуємо дріб такої ж вида.

Таким чином, які мають поки шуканого розширення, ми готуємося вже змогли назвати його елементи, обрати імена. Цими іменами є записи виду P (e)/Q (e), де e — певний символ. Понад те, ми можемо бачити про те, яка з цих двох записів позначає більше. У насправді, досить вміти визначати, позначає ця запис позитивне, негативне чи нульовий число (оскільки, а > b тоді й тільки тоді, коли a-b>0). Знак дробу можна визначити по знакам чисельника і знаменника, отже досить вміти визначати знак P (e), де Р — багаточлен. Це потрібно так. Легко бачити, що знак величини a0+a1e+… збігається з знаком a0, якщо a0<>0. У насправді, добавка a1e+… нескінченно мала, а складаючи позитивне (негативне) число із неймовірно малим, ми маємо позитивне (відповідно негативне) число. Можливий, проте, випадок a0=0. Вважатимемо для визначеності, що e — позитивне нескінченно мале. Винесемо із нашого багаточлена e в найбільшої можливої ступеня, т. е. уявімо його вигляді ek (ak+ak+1e+…), де ak вже відмінно від 0. Знак всього висловлювання визначається знаком висловлювання на дужках (при множенні на позитивне число знак не змінюється), а знак висловлювання на дужках (як ми можемо вже бачили) визначається знаком числа ak.

По суті, ми сьогодні вже побудували дані неархимедово розширення. Потрібно лише оцінити наші міркування з іншого позиції. До цього часу висловлювання P (e)/Q (e) розглядалися нами як імена «справжніх» гипердействительных чисел (узятих невідомо звідки). Нині ж вони почнуть самими гипердействительными числами. Розглянемо формальні висловлювання виду P (e)/Q (e), де e — певний символ, P, Q — багаточлени зі справжніми коефіцієнтами, причому Q<>0. Проголошуючи, що об'єктами, а тому випадку гипердействительными числами, ми оголосимо імена, а тому випадку висловлювання, чи записи виду P (e)/Q (e), ми були зовсім точні. Річ у тім, що, очевидно, дві різні записи можуть висловлювати один і той самого числа (інакше кажучи, бути двома різними іменами однієї й тієї ж числа): так, наприклад, природно вважати, що поставив запис (e2−1)/(e-1) висловлює той самий число, як і (e+1)/1.

Будем називати два висловлювання P (e)/Q (e) і R (e)/S (e) еквівалентними, якщо P (e)*S (e)=R (e)*Q (e) (рівність тлумачать як рівність багаточленів, т. е. як рівність коефіцієнтів при однакових ступенях). Легко перевірити, що визначення справді задає ставлення еквівалентності, разбивающее все висловлювання виду P (e)/Q (e) на класи. Ці класи ми й називати гипердействительными числами. Складання, віднімання, множення і розподіл гипердействительных чисел визначаються зі звичайних правилам. Приміром, якщо a — клас, у якому P/Q, а b — клас, у якому R/S, їх сумою називається клас, у якому (PS+RQ)/SQ, а твором — клас, у якому PR/QS. Легко перевірити, що визначення коректно, т. е. не залежить від вибору елементів P/Q у п’ятому класі a і R/S у п’ятому класі b (в результаті виходять різні представники однієї й тієї ж самого класу). Так можна визначити взяття зворотного і протилежного, нуль і одиницю. Неважко перевірити, що це аксіоми поля у своїй обіцяє. Викладена конструкція відома в алгебрі: побудоване полі називається полем раціональних функцій з коефіцієнтами в R і позначається R (e).

Осталось визначити лише порядок, вказавши, як вибрати з цих двох різних гипердействительных чисел (т. е. з цих двох різних класів еквівалентних дробів) більше. Треба лише відняти одне число з іншого і побачити, було б різницю (яка від нуля, оскільки числа різні) позитивної чи негативною. Щоб співаку визначити, було б не на нуля число a позитивним або негативним, візьмемо його представник P/Q. Тут P, Q відмінні від 0 (Q відмінно від нуля з визначення, Р — оскільки, на нашу припущенню, різницю не дорівнює 0). Винесемо в чисельнику й у знаменнику e в найбільшої можливої степени:

P=ek (ak+ak+1e+…), Q=el (bl+bl+1e+…), ak, bl відмінні від 0.

Число a буде позитивним, якщо ak, bl мають однакові знаки, і негативним, якщо вони теж мають різні знаки.

Построенное упорядкований полі R (e) можна як розширення поля R: досить ототожнити дійсне число x з класом еквівалентних дробів, що містить дріб x/1. Залишилося тільки показати, що аксіома Архімеда не виконується, пред’явивши нескінченно малий елемент. Цим елементом буде, звісно, e (точніше, клас, у якому e/1). У насправді, e+e+ … +e <1, оскільки різницю 1-ne позитивна (знак визначається вільним членном, а 1 > 0).

Искомое розширення побудовано.

6. Нові вимоги до гипердействительным числам і основна гипотеза

Мы побудували неархимедово розширення R (e) поля дійсних чисел. Новим вимогою до гипердействительным числам яляется таке. Потрібно вміти вираховуватимуть «значення» стандартних функцій (заданих спочатку як функції зі справжніми аргументами і значеннями) на гипердействительных аргументах. Інакше кажучи, кожної функції f: R®R необхідно мати її «гипердействптельный аналог» *f: R®R. У цьому, значення *f на стандартних числах мають співпадати з відповідними значеннями функції f. Інакше кажучи, *f має бути продовженням f. Такі аналоги були в нас для операцій складання, вирахування, множення і розподілу. Але цього замало: потрібні такі аналоги та інших функцій.

Итак, кожної стандартної функції f (функції зі справжніми аргументами і значеннями) ми мусимо мати її гипердействительное продовження *f. Якщо від *f щось вимагати, це тривіально: вважатимуться, що у всіх дійсних точках *f приймає самі значення, як і f, а нестандартних точках *f має які завгодно значення (наприклад, нулі). Зрозуміло, проте, що з такого продовження пуття нет:

Нужно виділити певний клас властивостей — клас тих властивостей, які хочемо зберегти. Правильний вибір цього має вирішальне значення для успіху нашого побудови системи гипердействительных чисел. Якщо це клас буде надто вузьке, або від наявності продовжень *f нічого очікувати користі. Якщо ж, навпаки, він занадто широкий, то сама можливість побудови системи гипердействительпых чисел та засобами визначення продовжень виявиться під угрозой.

Наша головним завданням — описати, які властивості стандартних функцій хочемо зберегти під час переходу від дійсних чисел до гипердействительным. Є дві можливість цю зробити. Перша можливість полягає у застосуванні методів математичної логіки. Можна сміливо сказати, що з переході від дійсних чисел до гипердействительным збережено всі властивості, які можна сформулювати на «мові першого порядку». Друга можливість дозволяє обійтися більш «кустарними» коштами підприємців і не вдаватися до даних з логіки. Звісно, у своїй ми відчувати деякі незручності, використовувати обхідні маневри тощо. п., зате не знадобиться ознайомлення з математичної логикой.

Мы припускаємо, крім поля R дійсних чисел зазвичай більше широке упорядкований полі *R гипердействительных чисел, у тому числі R як підмножина (вкотре підкреслимо, що існування *R із «потрібними властивостями є ще лише гіпотезою, а чи не доведеним фактом). Нехай кожної функції f з дійсними аргументами є її природне поширення, її «гипердействительный аналог» — функція з гипердействительными аргументами і значеннями. У цьому функція f то, можливо функцією як одного дійсного аргументу, а й двох, трьох і на т. буд.; функція *f, зрозуміло, повинен мати той самий число аргументів. Для простоти ми що думати розглядати часткових функцій й вважатимемо, що f (відповідно *f) визначено попри всі дійсних (відповідно гипердействительных) аргументах. Сформулюємо тепер наше вимога («аналоги мають тими самими властивостями, як і вихідні функції») більш точно.

Будем розглядати системи рівнянь виду t=s і нерівностей виду t¹s, ліві та праві частини, яких містять якісь справжні функції дійсних аргументів, справжні константи і які змінюються — щось вроде.

sin (cos (x))=y+exp (z), z¹y-2x, [z]=y.

Эта система містить перемінні x, y, z, одномісні функції sin, cos, exp [ ] (ціла частина), двуместные функції (складання, віднімання, множення) і константу 2 (константи для однаковості вважатимемо функціями нуля аргументів). Усі що входять до систему функції мають на нашу припущенню гипердействительные аналоги. Окреслимо їх *sin, *co, *exp, *[ ], *+, *-, і напишемо систему.

*sin (*cos (x))=y*+*exp (z), z¹y*-2*x, *[z]=y.

которую природно назвати «гипердействительным аналогом исходной».

В ролі можливих значенні змінних цією системою можуть фігурувати будь-які гипердействительные числа. І цього знаходить сенс запитання про наявність чи відсутності гипердействительных рішень цією системою. Оскільки нам здається, що що входять до неї функції є продовженнями відповідних функцій дійсного аргументу, то всяке (дійсне) рішення вихідної системи буде одночасно рішенням нової виборчої системи. Отже, якщо вихідна система має розв’язання, те й її гипердействительный аналог має розв’язання. Ми зажадаємо і обратного:

всякая система рівнянь і нерівностей, гипердействительный аналог якої має (гипердействительные) рішення, повинен мати справжні рішення.

Введем поняття терма. Виберемо лічильний набір символів, елементи якого називатимемо перемінними. Будемо називати термом будь-яку зміну, будь-яке дійсне число, і навіть будь-яке вираз виду f (t1, …, tn), де f — функція п дійсних аргументів, а t1, …, tn — побудовані раніше терми.

Системой (точніше, системою рівнянь і нерівностей) назвемо кінцевий набір записів виду t=s чи t¹s, де t, p. s — терми. Визначимо тепер поняття рішення системи. Еслп в терм підставити справжні числа замість змінних, він придбає деяке дійсне значення. Рішення системи — це таке набір значень змінних, у якому ліва і права частини любою рівності I t=s, входить у систему, набувають один і той ж значення, а ліва і права частини будь-якого нерівності t¹s, входить у систему, — разные.

По нашому припущенню всяка функція зі справжніми аргументами зв значеннями має гппердействительный аналог («природне продовження»). Поняття гипердействительного аналога сприятливо розвивається на терми — щоб отримати аналог терма t, треба просто замінити все що входять до нього функції з їхньої гипердействительпые аналоги. Проробивши цю операцію з усіма термами, які входять у якусь систему P. S, ми одержимо систему *P.S, яку природно також назвати гипердействительным аналогом системи P. S. Бо у неї входять функції з гипердействительными аргументами і значеннями, замість змінних можна підставляти довільні гипердействительные числа. Гппердейст-вительным рішенням системи *P.S назвемо такий набір гипердействительпых значень змінних, у яких виконано практично всі що входять до неї рівняння і нерівності. Нині можна сформулювати наше вимогу до системі гипердействительных чисел і до гипердействительным аналогам наступним образом.

Пусть P. S — довільна система рівнянь і нерівностей, *P.S — її гипердействительный аналог. Якщо *P.S має (гипердействительные} рішення, то P. S повинен мати справжні рішення.

Возможность побудови неархимедова упорядкованого розширення *R поля R і такі гипердействительных аналогів *f всім дійсних функцій f, які задовольняли сформульованому вимозі, поки що залишається всього, лише гіпотезою. (Ми називатимемо цю гіпотезу Основний гіпотезою.).

7. Наслідки основний гипотезы

Приведем кілька прикладів, що б, які слідства можна вивести ринок із сформульованої Основний гіпотези. Виявляється, що попри те, що сформульоване нами вимога одночасної разрешимости систем рівнянь і нерівностей видається дуже приватним, він має найрізноманітніші слідства й достатньо обгрунтувань значній своїй частині міркувань з ги-пердействительными числами.

Пример 1. Нехай f — функція одного дійсного аргументу, приймаюча лише значення 0 і одну. Доведемо, що функція *f бере лише значення 0 і одну. Для цього розглянемо систему.

f (x)¹0, f (x)¹1,.

которая за припущенням немає дійсних рішень. Отже, немає (гипердействительных) прийняття рішень та її аналог — система.

*f (x)¹0, *f (x)¹1,.

Пример 2. Нехай f і g — функції одного дійсного аргументу, причому безлічі їх нулів збігаються. (Безліч нулів функції - безліч тих зна-чений аргументу, у яких значення функції одно 0) І тут і багатьох гипердействительных чисел, є множинами нулів функцій *f і *g, збігаються. Доведемо це. У насправді, кожна гілка систем.

(1) f (x)=0, g (x)¹0,.

(2) g (x)=0, f (x)¹0,.

не має дійсних рішень. Отже, немає гииердействительных прийняття рішень та відповідники. Тому будь-який гипердействительный нуль функції *f обя-зан (аби бути рішенням аналога системи (1)) бути нулем й у *g і наоборот.

Этот приклад дозволяє визначити гипердействительные аналоги як для функцій, але й множин.

Пусть, А — довільне безліч дійсних чисел. Розглянемо довільну функцію f, на яку, А — безліч нулів. (Така є: досить покласти, наприклад, f (x)=0 при хÎА і f (x)=1 при xÏA). Розглянемо тепер гипердействительный аналог *f функції f і безліч *А його (гипердействительных) нулів. Як бачимо, безліч *А залежить від вибору функції f. Його і назвемо гипердействительным аналогом безлічі А.

Пример 3. Ми можемо тепер дозволити включати системи поруч із равенствами t=s і неравенствами t¹s і запис виду sÎA, де p. s є терм, а, А — безліч дійсних чисел. У цьому рішеннями будуть такі набори (дійсних чи гипердействительных) значень змінних, у яких виконуватимуться усі рівності і нерівності, а значення p. s належить безлічі А. Гипердействительным аналогом sÎA буде *sÎ*A, де *p.s — гипердей-ствительный аналог терма p. s, а *A — аналог безлічі А (в зазначеному сенсі). Отже, у будь-якої системи рівностей, нерівностей і включень (т. е. записів виду sÎA) з’являється гипердействительный аналог. Для таких систем залишається у силі властивість одночасної разрешимости: якщо гипердействительный аналог системи має (гипердействительные) рішення, то вихідна система має (справжні) рішення. Щоб побачити це, досить замінити sÎA на a (s)=0, де a — функція зі справжніми аргументами і значеннями, безліччю нулів якої є A. Так можна додавати в систему і затвердження виду sÏA (що замінюється на a (s)¹0).

Пример 4. Нехай, А — порожній безліч. Доведемо, що *A — порожній множество.

В насправді, система.

хÎА.

не має дійсних рішень, тому й система хÎ*А немає (гипердействительных) рішень. Розглянувши систему хÏА, отримуємо аналогічно, що й, А містить все справжні числа, то *А містить все гипердействительные числа. Отже, гипердействительным аналогом безлічі R буде безліч *R, отже наші позначення согласованы.

Вдальнейшем, замість говорити про систему P. S і його дійсних рішеннях, і навіть про системі *P.S і його гипердействительных рішеннях, говоритимемо про дійсних і гипердействительных рішеннях системи P. S (говорячи про гипердойствительных рішеннях системи P. S, ми насправді матимемо у вигляді гипердействительные рішення системи *P.S).

Пример 5. Якщо A=BÇC, то *A=*BÇ*C. У насправді, кожна гілка систем хÎB, хÎС, хÏА;

хÎA, хÏB;

хÎA, хÏС.

не має дійсних, і, отже, гипердействительных рішень. (Точніше, було б говорити аналоги цих систем) Звідси отримуємо, що *У Ç*С Ì *A (перша система), *АÌ*С (друга) і *AÌ*C (третя), звідки випливає, що *AÌ*BÇ*C.

Наши вимоги до системи гипердействительных чисел складалася з двох частин. По-перше, *R має бути упорядкованим неархимедовым полем, які розширюють R. По-друге, має існувати аналоги всім дійсних функцій, задовольняють вимозі одночасної разрешимости систем рівнянь. Ці вимоги виявляються избыточными:

тот факт, що гипердействительные аналоги складання, множення тощо. п. перетворюють *R на полі, можна вивести ринок із вимоги одночасної разрешимости систем рівнянь.

8. Побудова системи гипердействительных чисел

Рассмотрим питання існуванні гипердействительных чисел. Точніше це запитання слід сформулювати так: чи можна побудувати розширення безлічі дійсних чисел, котрій виконувалася б Основна гіпотеза. Основна гіпотеза вимагає, чтобы:

(1) було деяке безліч R, котрій RÌ*R;

(2) кожної функції f: Rn®R була деяка функція *f: *Rn®*R що є продовженням исходной;

(3) будь-яку систему рівнянь і нерівностей, гипердействительный аналог який має (гипердействительные) рішення, мала справжні решения;

(4) *R містив нескінченно малі елементи, які від нуля.

Покажем, як наведеним вимогам можна задовольнити. Розглянемо одне із можливих варіантів переходу від Q (безлічі раціональних чисел) до R (безлічі дійсних чисел). Розглядаються різноманітні фундаментальні послідовності раціональних чисел, т. е. такі послідовності, що з будь-якого e > 0 існує відрізок довжини e, у якому усіх членів послідовності, крім кінцевого числа. Дві такі послідовності xn і yn називають еквівалентними, якщо xn-yn прагне 0 при п®¥. Це ставлення еквівалентності розбиває фундаментальні послідовності на класи, що й називаються дійсними числами.

Мы досягнемо мети, якщо від послідовностей час торкнутися класам послідовностей, вважаючи, дві послідовності x0, x1,x2,… і y0, y1,y2,… задають один і той ж гипердействительное число, якщо xn=yn «для більшості натуральних чисел n».

Для наочності представлятимемо собі, який проводять голосування з питання «вважати чи послідовності xn і yn збігаються». У ньому які голосують є натуральні числа, причому число п голосує «за», якщо.

xn =yn, і «проти», якщо xn¹yn. Вважатимемо послідовності xnи yn збігаються, коли більшість натуральних чисел голосують при цьому. Потрібно пояснити лише, як і система підрахунку голосів, т. е. які безлічі натуральних чисел ми вважаємо «великими» (що містять «більшість» натуральних чисел), а які «малими» (що містять «меншість» натуральних чисел). Перерахуємо ті властивості, яким має відповідати система підрахунку голосів, т. з. розподіл множин натуральних чисел великі і малые.

1. Будь-яке безліч натуральних чисел є або великим, або малим. Жодна безліч перестав бути великим малий одночасно. (Голосування має завжди давати ответ.).

2. Безліч всіх натуральних чисел велике, порожній безліч мале. (Пропозиція, протягом якого голосують все, принимается.).

3. Доповнення (до N) будь-якого малого безлічі є великим, доповнення будь-якого великого безлічі - малим. (Із двох протилежних законопроектів отримує більшість голосів рівно одни.).

4. Будь-яке підмножина малого безлічі є малим, будь-яке надмножество великого безлічі - великим. (Втративши частина голосів, відкинутий законопроект кардинально не може стати принятым.).

5. Об'єднання двох малих множин є малим, те що двох великих множин є великим. (Якщо кожна гілка дві групи голосуючих не утворює більшості, те вони й разом не утворюють більшості («неможливість коаліції»); якщо кожна гілка груп населення в більшості, то голосувальники, вхідні одночасно у обидві групи, вже становлять большинство.).

Эти вимоги дуже сильні. Щоб осягнути це, розглянемо випадок кінцевого безлічі голосуючих (получающийся заміною N на деяке кінцеве безліч М). Чи можна тоді задовольнити наведеним вимогам? Один спосіб майже очевидний. Виберемо однієї з «голосуючих» тÎ М і назвемо великими все безлічі, містять m, а малими — все безлічі, які містять т («диктатура» m). За такої визначенні легко перевірити все властивості 1−5. Виявляється, що цим вичерпуються всі можливості задовольнити вимогам 1−5 для випадку кінцевого безлічі M. У насправді,, нехай є розбивка всіх множин на великі та малі, що задовольнить вимогам 1−5. Розглянемо всі великі числа й виберемо їх безліч M0, що містить найменше можливу кількість елементів (серед великих множин). Безліч M0 непусто. Якщо він містить рівно один елемент m, то силу властивості 4 все безлічі, містять т, будуть великими, а силу властивості 3 все безлічі, які містять m, будуть малими. Залишилося показати, що M0 неспроможна утримувати більше елемента. У самому справі, у разі його було б розбити на дві непустые непересічні частини M1 і M2. Ці частини мали бути зацікавленими малими (оскільки містять менше елементів, ніж M0), які об'єднання M0 є великим, що суперечить вимозі 5.

Оказывается, проте, що з рахунковому числі голосуючих можливі системи голосування, задовольняють вимогам 1−5 і які зводяться до тривіального випадку. Інакше кажучи, ж личить отак розбити все підмножини натурального низки великі і маленькі, щоб виконувалися властивості 1−5 і будь-яка одноэлементное безліч було малим. Тоді (з властивості 5) і будь-яка кінцеве безліч буде малим, а (з властивості 3) всяке безліч з кінцевим доповненням (до N) — великим. Отже, до вимог 1−5 можна без протиріччя додати і такое:

6. Будь-яке кінцеве безліч є малим, всяке безліч з кінцевим доповненням — великим. (Під час голосування думка кінцевого числа голосуючих несущественно.).

Разбиение всіх підмножин натурального низки великі і маленькі, що задовольнить вимогам 1−6, називається нетривіальним ультрафильтром на безлічі натуральних чисел.

Покажем тепер, що таке розбивка дозволяє побудова системи гипердействительных чисел, що б вимогам Основний гіпотези. Отже, нехай фіксоване розбивка, що задовольнить вимогам 1−6. Назвемо дві послідовності xn і yn еквівалентними, якщо безліч тих n, у яких xn =yn є великим. У силу вимоги 2 всяка послідовність еквівалентна сама собі.

Мы бачимо, що запроваджений ставлення рефлексивно, симетрично (очевидно з визначення) і транзитивно і, отже, розбиває все послідовності дійсних чисел на класи еквівалентності, т. е. такі класи, будь-які дві послідовності одного класу еквівалентні, а будь-які дві послідовності із різних класів — немає. Ці класи ми бачимо назвемо гипердействительными числами. Що ще ми мусимо? Потрібно, щоб безліч дійсних чисел було підмножиною безлічі гипердействительных. Потрібно вміти кожної функції зі справжніми аргументами і значеннями будувати її гипердействительный аналог. Потрібно перевірити, будь-яка система рівнянь і нерівностей, гипердействительный аналог якої має гипердействительные рішення, має справжні рішення. І, нарешті, треба переконатися, що з гипердействительных чисел (аналізованих як упорядкований полі) існують нескінченно малі, які від нуля.

Чтобы зробити R підмножиною *R, ототожнимо кожне дійсне число x з послідовністю x, x, x, …, точніше, з що містить її класом. У цьому різним дійсним числам відповідають різні класи: х, x, х … не еквівалентно у, у, y … (безліч тих n, у яких n-е члени збігаються, порожньо і, отже, є малым).

Пусть f: R®R — функція зі справжніми аргументами і значеннями. Визначимо її гипердействительный аналог *f: *R® *R. Нехай x — довільне гипердействительное число, тобто. клас еквівалентних послідовностей дійсних чисел. Розглянемо довільну послідовність x0, x1, x2,… з класу і застосуємо f до всім її членам. Клас, у якому отриману последоваетльность f (x0), f (x1), f (x2), … й вважатимемо значенням f на x. Отриманий клас залежить від вибору послідовності x0, x1, x2,… у п’ятому класі x (визначення коректно).

Аналогично визначаються і гипердействительные аналоги для функцій кількох аргументів. Нехай, наприклад, f — функція двох дійсних аргументів зі справжніми значеннями. Визначимо її гипердействительный аналог *f. Щоб застосувати *f до двох гипердействительным числам x і y, візьмемо послідовності x0, x1, x2,… і y0, y1, y2,…, їм належать, і як *f (х, у) розглянемо клас послідовності f (x0,y0), f (x1,y1), f (x2,y2),… Визначення корректно.

Нужно перевірити, що побудоване гипердействительные аналоги будуть продовженнями вихідних функцій зі справжніми аргументами і значеннями. Це, вочевидь випливає з визначень. Перевіримо тепер, що кожна система рівнянь і нерівностей, має гипердействительные рішення, має і справжні рішення. Нехай, наприклад, система.

f (g (x, y), z)=z, h (x)¹h (y).

имеет гипердействительные рішення x, y, z. Розглянемо послідовності x0, x1,x2,…; y0, y1,y2,…; z0, z1,z2,…, належать відповідним класам еквівалентності. Тоді g (x0,y0), g (x1,y1),… належить класу g (x, y), а f (g (x0,y0), z0), f (g (x1,y1), z1),… — класу f (g (x, y), z). Оскільки x, y, z за припущенням є рішеннями системи, то f (g (xn, yn), zn)=zn більшість п. Оскільки h (x)¹h (y), послідовності h (x0), h (x1),… і h (y0), h (y1),… не еквівалентні і безліч тих п, у якому h (xn)=h (yn) мале. Тоді безліч тих п, у якому h (xn)¹h (yn) є великим. Оскільки те що двох великих множин є великим, то безліч тих n, у якому.

f (g (xn, yn), zn)=zn, h (xn)¹h (yn).

является великим. Отже, воно непусто. Отже, система має і справжні решения.

Осталось перевірити, що з гипердействительных чисел існують нескінченно малі, які від нуля. Позитивним нескінченно малим гипердействительным числом буде, наприклад, клас послідовності 1, ½, 1/3, .,. (будь-якої іншої послідовності позитивних дійсних чисел, сходящейся до 0). Нам потрібно перевірити, що це гипердействительное число (позначимо його через e) позитивно, але вже менше будь-якого стандартного позитивного числа. Щоб довести це, ми повинні згадати, як визначається порядок на безлічі гипердействительных чисел. Він визначається відповідність до загальної схемою побудови гипердействительного аналога нічого для будь-якого стосунки безлічі дійсних чисел. Потрібно взяти функцію f двох дійсних аргументів, для якої властивості f (x, y)=0 і х<у рівнозначні, і подивитися на неї гипердействительный аналог *f. Гипердействительное число x називається меншим гипердействительного числа у, якщо *f (x, y)=0. Подивимося, що дозволяє нам ця конструкція для побудованої описаним способом системи гипердействительных чисел. Якщо x — клас послідовності x0, x1,x2,…, а y — клас послідовності y0, y1,y2,…, то *f (x, y) є клас послідовності f (x0,y0), f (x1,y1), f (x2,y2), … Рівність цього нулю (т. е. класу послідовності 0, 0, 0, …) означає, що f (xn, yn)=0 більшість n, т. е. що xn<yn більшість п. Отже, аби з’ясувати, чи правильно х<у для гипердействительных чисел x і y, треба взяти послідовності x0, x1,x2,…, і y0, y1,y2,… в класах x і в і з’ясувати, чи є безліч тих п, у яких xn<yn большим.

Нам потрібно було перевірити, що 0<e І що e<р нічого для будь-якого стандартного позитивного р (e —клас послідовності 1, ½, 1/3, …). Це просто:

0<e, так як 0<1/п попри всі п (а безліч N велике), e<р, оскільки 1/n<р всім натуральних n, крім кінцевого числа, а всяке безліч з кінцевим доповненням мале (властивість 6 «системи підрахунку голосів»). Зазначимо, що саме ми вперше скористалися властивістю 6, досі всі наші міркування були справедливі у разі «диктатури» (коли великими вважаються ті й ті безлічі, які містять деяке натуральне число N). І тут дві послідовності еквівалентні, якщо збігаються їх N-е члени, і всі гипердействительные числа стандартні (клас послідовності x0, x1,x2,… збігається з стандартним числом xN).

Список литературы

1. Успенський В. А. Що таке нестандартний аналіз? — М., Наука, 1987. — 128с.

2. Девіс М. Прикладний нестандартний аналіз. — М., Світ, 1980.

3. Успенський В. А. Нестандартний, чи неархимедов, аналіз. — М., Знання, 1983. 61 з. (Нове у житті, науці, техніці. Сер. «Математика, кібернетика» № 8).

4. Успенський В. А. Нестандартний аналіз // Наука життя й, 1984. — № 1. — з. 45−50.

5. Робінсон А. Введення ЄІАС у теорію моделей і математику алгебри. перекл. з анг. — М., Наука, 1967.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.