Функція, границя функції (реферат)

Реферат на тему:

Функція, границя функції.

Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E, то говорять, що задано функцію y=f (x) .

Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).

Приклад. Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:

Витрати на рекламу. x.	Прибуток. f (x).

Областю визначення цієї функції є множина D={50−100−140−160−200}, областю значень — множина E={80−220−240−210−160} .

Приклад. Залежність (функція) Q (p) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).

Q.

Q1.

Q2.

p1 p2 p.

Рис. 4.1.

Областю визначення цієї функції є відрізок D=[p1-p2], а областю значень — відрізок E=[Q1-Q2] .

Приклад. Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:

TC (Q) = 20 + 5Q ,.

де 20 — це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 — це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).

Означення. Число b називається границею функції y=f (x) в точці a, якщо для довільної послідовності {xn}, що збігається до точки (числа) a, відповідна послідовність значень функції {f (xn)} буде збігатися до числа b .

Використовують позначення $$b=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)$$.

За допомогою кванторів, а е означення можна записати так:

$$b=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)$$ (>0)(>0)(|x-a|<(x)-b | </div>

Приклад. Розглянемо функцію $$y=1+\frac{1}{x}$$ .

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->1\end{array}y(x)=2$$ і співпадає із значенням y (1) = 2 ;

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->\mathrm{}\end{array}y(x)=1$$ ;

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->0\end{array}y(x)$$ не існує.

Приклад. Розглянемо функцію $$y=\{\begin{array}{c}x,x/=\text{10}\\ 5x=\text{10}\end{array}$$ .

Тут $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->\text{10}\end{array}y(x)=\text{10}$$, хоча y (10)=5.

Границі функцій мають такі властивості:

1. 1.якщо існують границі $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)$$ та $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}g(x)$$, то.

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}[f(x)\pm g(x)]=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)\pm \begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}g(x)$$ ;

1. 2.якщо існують границі $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)$$ та $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}g(x)$$, то.

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}[f(x)g(x)]=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}g(x)$$ ;

1. 3.якщо існують границі $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)$$ та $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}g(x)$$, причому $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}g(x)/=0$$, то $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ x->a\end{array}f(x)}{\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ x->a\end{array}g(x)}$$ .

Означення. Функція y=f (x) називається неперервною в точці x = a, якщо існує границя цієї функції в точці a і $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->a\end{array}f(x)=f(a)$$.

Приклад. Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду.

W.

$$W=\{\begin{array}{c}\text{100}+2x\text{при}x<=\text{50}\\ \text{120}+2x\text{при}x>\text{50}\end{array}$$.

50 x.

Рис. 4.2.

Функція W (x) у точці x=50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W (50)=200, проте границі $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->\text{50}\end{array}W(x)$$ не існує.

Приклади обчислення границь:

$$1)\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}\frac{\sqrt{x}+2}{x^2+x}=\frac{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}(\sqrt{x}+2)}{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}(x^2+x)}=\frac{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}\sqrt{x}+2}{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}{x}^2+\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}x}=\frac{\sqrt{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}x}+2}{{\left(\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}x\right)}^2+\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}x}=\frac{\sqrt{4}+2}{4^2+2}=\frac{1}{5}$$.

(тут використано властивість неперервності функцій $$y=\sqrt{x}$$ та y=x2);

2) знайти $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}\frac{x^2-\text{16}}{x-4}$$. Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}(x-4)=0$$, тому спершу скорочуємо дріб.

Тепер $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}\frac{x^2-\text{16}}{x-4}=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->4\end{array}(x+4)=8$$ ;

3) $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->\mathrm{}\end{array}\frac{3x^2+2x-2}{x^2-1}=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ x->\mathrm{}\end{array}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{3+0-0}{1-0}=3$$ .

.