Процес навчання математики з впровадженням елементів історизму

1. Науково-теоретичні основи дослідження

1.1 Періодизація історії математики

Слово «математика» грецького походження, означає наука, знання. Математика — одна з найдревніших наук. Вона виникла на світанку розвитку людського суспільства з практичних потреб людини і завжди була її постійним супутником, порадником, помічником в осмисленні навколишнього світу, вдосконаленні знарядь праці, у наукових відкриттях, у пізнанні самої себе. Математика історично склалася як своєрідна мова узагальнення людського досвіду, досягнень розуму, як фрагмент людської мови, що дає змогу чітко і лаконічно висловлювати думки, доводити істини.

Історичне минуле математики цікаве і повчальне для нас, оскільки дає змогу повніше оцінити досягнення, збагнути силу математичних знань, їх красу і велич, можливості сьогодення і перспективи майбутнього.

В історії розвитку математики виділяють чотири періоди:

1. період зародження математики, що охоплює час до VII ст. до н. е. Розвиток її в цей час пов’язаний з практичними задачами на лічбу і вимірювання. В процесі безпосередньої практики відбувається формування первісних понять арифметики і геометрії, поняття числа і фігури, виробляються правила лічби, прийоми виконання 4-х арифметичних дій. Створюється система числення. Підготовляється (але ще не здійснюється) перехід до арифметики, як математичної теорії (перехід від конкретних задач до абстрактних міркувань).

В геометрії - визначення найпростіших площ і об'ємів, але не є ше геометрія теоретичною наукою (з теоріями і логічними доведеннями).

З чого ж власне починається розвиток математики як науки? З того часу, коли людина навчилася абстрагувати від конкретної природи об'єктів, які лічать або вимірюють — вивчення реального матеріалу, абстрагуючись від його конкретного змісту і якісних особливостей (в цьому різниця математики від природничих наук).

Засновником математики була та людина, яка почала керувати поняттями. Вона зрозуміла, що існує не тільки дві руки, два ока, а поняття «два» взагалі.

2. Другий період: період математики сталих величин (VI ст. до н е. — XVI ст. н.е.); період становлення математики як науки.

За математичним змістом цей період можна поділити на два періоди:

— Період переважного розвитку геометрії (VI ст. до н.е. — II ст. н. е).

— Період переважного розвитку алгебри і тригонометрії (ІІ - XVI ст. н.е.).

У Стародавній Греції математика змінилася якісно; необхідною її складовою частиною стало логічне доведення, обгрунтування. Розвиток математики здійснювали вчені та їх школи. Це Мілетська школа на чолі з Фалесом (640−546 до н.е.), який дав доведення декількох тверджень геометрії, а саме: діаметр поділяє круг на дві рівні частини; кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою; вертикальні кути рівні; два трикутники рівні за рівними у них стороні і прилеглими до неї кутами.

Школа Піфагора Самоського (580−560 до н.е.) була філософською, але в ній приділяли увагу розвитку математики. Вчення Піфагора та його учнів стосувалися гармонії, геометрії, теорії чисел, астрономії. Головна філософська теза піфагорійців — «все є число», тобто кожна річ має числову характеристику і числове відношення. Теорема про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника була відома раніше вавілонянам, китайцям, єгиптянам, але вважається, що доведення її дав Піфагор. Йому приписують ряд інших відкриттів: теорему про суму внутрішніх кутів трикутника, задачу про ділення площини на правильні многокутники. Піфагорійці ввели поняття простого і складеного числа, вивчали властивості подільності та інше.

Найбільшою заслугою школи Піфагора було відкриття несумірних величин на прикладі несумірності діагоналі квадрата з його стороною. Але це відкриття порушувало головну тезу піфагорійців «все є число» (а знали вони лише натуральні та раціональні додатні числа).

Це була перша криза в історії математики на ґрунті поняття про число.

Грецькі математики вийшли з цього положення тим, що раціональні числа стали розглядати як відношення всіх величин — як сумірних, так і несумірних, хоч раніше вони розглядали відношення тільки сумірних величин. На цій основі грецький математик Евдокс Кнідський (480−355 до н.е.) побудував строгу загальну теорію відношення величин, яка є геометричною теорією дійсних чисел. Евдоксу належить також відкриття методу вичерпування для обчислення площ криволінійних фігур. У цей період з’явились три знамениті задачі на побудову, які не розв’язуються циркулем та лінійкою: трисекція кута, подвоєння куба, квадратура круга.

В Афінах велике значення мала філософська школа Платона (427−347 до н.е.) «Академія». Платон вважав, що філософи повинні вивчати математику, на дверях його Академії був напис: «Нехай той, хто не знає геометрії, не входить сюди». Він запровадив традицію давати бездоганні означення і визначати, які твердження у математичних міркуваннях можна приймати без доведення. Платон велику увагу приділяв геометричним побудовам циркулем і лінійкою, ввів терміни «аналіз», «синтез», розробив схему розв’язування задачі на побудову, яка збереглася до наших днів. Платону приписують також класифікацію правильних многогранників, встановлення п’яти їх типів: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр; їх ще називають «платоновими тілами».

Засновником Олександрійської математичної школи (300 до н е. — 640 не.) був Евклід (325−300 до н.е.) — учень Платона. На цей час був накопичений значний теоретичний матеріал з математики, зокрема з геометрії, виникла потреба систематизувати наявний матеріал, привести його в систему. Завдання логічного обґрунтування геометрії ставили уже Платон і Аристотель, який у своєму творі «Логіка» сформулював основні положення логічної побудови науки.

Аристотель (384−322 до н.е.) фактично заклав основи дедуктивного викладу матеріалу певної науки, за яким спочатку треба дати означення об'єктів науки, сформулювати вихідні положення (аксіоми і постулати), а потім усі твердження доводити за законами логіки.

Завдання систематизації геометричних фактів, створення геометрії як науки розв’язав Евклід у своїх «Початках», написаних біля 300 р. до н.е. У «Початках» Евклід виклав матеріал тільки елементарної геометрії, хоч на той час уже було багато відомостей про конічні перерізи, про деякі криві третього і четвертого порядку.

Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії - одна з проблем геометрії, що виникла в Стародавній Греції у зв’язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії слідували з цих аксіом чисто логічним висновком без наочності креслень.

В «Засадах» Евкліда була дана наступна аксіоматика:

1. Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму.

2. Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій.

3. З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло.

4. Усі прямі кути рівні між собою.

5. Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.

Дослідження системи аксіом Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту.

Після Евкліда грецькі вчені продовжили розвиток геометрії і арифметики. Так, Архімед (287−212 до н.е.) вдосконалив методи знаходження площ і об'ємів, поєднав математичні досягнення з технічними методами (важелі, водяні насоси, блоки, військові машини та ін.), Аполлоній (262−190 до н.е.) дослідив конічні перерізи, Гіппарх (180−125 до н.е.) виклав основи тригонометрії, Менелай (І ст. н.е.) — основи сферичної геометрії, Діофант (ПІ ст. н.е.) запровадив літерну символіку у своєму творі «Арифметика», дав способи розв’язування неозначених рівнянь.

Арабська математика (У-ХІ ст.). Після занепаду Римської імперії (V ст. н.е.) розвитку набули Візантія, Арабський халіфат, країни Західної Європи. На початку VII ст. на світову арену виходить енергійний кочовий народ Аравії - араби, які вели загарбницькі війни, підкорили Сірію, Іран, Єгипет, Північну Африку, Піренейський півострів, Закавказзя, Індію, Середню Азію — утворився Арабський халіфат.

Потреби виробничої діяльності, сухопутної і морської торгівлі зумовили розвиток науки, зокрема математики. Спочатку араби засвоїли надбання математиків Сходу і Греції, потім включились у самостійну дослідницьку роботу. Арабська математика, як і грецька, мала переважно обчислювальний характер: практична арифметика, вимірювальна геометрія, тригонометрія, числова алгебра, але був високий рівень і теоретичних досліджень. Вони повністю володіли десятковою позиційною нумерацією. Арабська математика — це обсяг математичних знань, написаних арабською мовою представниками різних народів в період панування Арабського халіфату.

Науковий центр був у місті Багдаді. Першим знаменитим ученим був Мухаммед бен-Муса ал-Хорезмі (ЕХ ст.). У його творі «Хісаб ал-Хінд» («Про індійські числа») вперше сформульовані правила порозрядного виконання дій над багато цифровим и числами, які пізніше в Європі назвали на честь ал — Хорезмі алхоризмами (звідси нині широко вживаний термін «алгоритм»), а в книзі «Китаб аль-джебр аль-Мукабала» («Книга про відновлення і протиставлення») він використовує від'ємні числа, формулює правила розв’язування рівнянь першого і другого степеня.

Інший арабський вчений Омар Хайям (1048−1131) у творі «Про доведення задач ал-джебр ал-Мукабала» визначає алгебру як теорію рівнянь, елементами якої є многочлени, дає правила розв’язання рівнянь третього степеня. Він дає перевагу арифметиці перед геометрією.

Джемшід аль Коші (XV ст.) у творі «Ключ арифметики» виклав всі відомості з алгебри і арифметики.

Араби внесли значний вклад і в розвиток геометрії. Брати Бану Муса (IX ст.) у творах «Книга вимірювання плоских і просторових фігур», «Книга трьох братів про геометрію» досліджують питання про площу круга, встановлюють межі для числа я, дають розв’язання задачі про трисекцію кута.

Сабіт ібн Корра (836−901) обчислював площу параболічного сегмента методом вичерпування за допомогою інтегральних сум, об'єми тіл обертання.

Учений Абу Райхан Біруні (973−1048) при вивченні нерівномірного руху вводить поняття миттєвої швидкості і прискорення.

Західноєвропейський період (ХІ-ХVI ст.). Рівень математичних знань у Європі до цього періоду був досить низьким (епоха Середньовіччя).

В епоху Відродження поступово активізується розвиток науки: з 1453 р. почалось книгодрукування, італійський математик Фібоначчі (1170−1228) написав твір «Книга про абак» (абак — арифметика), по якому вивчали арифметику в Європі, Кардано (1501−1576) і Ферро (1465−1526) дали способи розв’язання рівнянь третього степеня, Ф. Вієт (1540−1603) розробив методи розв’язування алгебраїчних рівнянь, ввів літерні коефіцієнти. Взагалі алгебра виділяється в окремий самостійний математичний предмет.

У XVI ст. європейська математика перевершує досягнення грецьких і арабських математиків: удосконалюється літерна символіка, знайдені методи розв’язання рівнянь 3-го і 4-го степенів і на цій основі вводяться комплексні числа, винаходять і впроваджують у практику логарифмічні обчислення.

Отже, у Європі до кінця XVI ст. математика сталих величин була досить потужним і розгалуженим апаратом.

3. Період математики змінних величин (ХVІІ-ХІХ ст.). Характерні особливості періоду: математика вивчає рух, зміни, процеси; предметом вивчення стають змінні величини та зв’язки між ними, функції. Але математика цього періоду не виходить за межі тривимірного простору; значення аргументів і функцій набувають лише числових значень, вивчення сталих величин також продовжується.

Кеплер в 1609—1619 рр. відкрив і математично сформулював закони руху планет. Галілей до 1638 створив механіку вільного руху тіл, заснував теорію пружності, застосував математичні методи для вивчення руху, для відшукання закономірностей між шляхом руху, його швидкістю і прискоренням. Ньютон до 1686 сформулював закон всесвітнього тяжіння.

Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин була поява книги Декарта «Геометрія». Основними заслугами Декарта перед математикою є введення ним змінної величини і створення аналітичної геометрії. Перш за все, його цікавила геометрія руху, і, застосувавши до дослідження об'єктів алгебраїчні методи, він став творцем аналітичної геометрії.

Аналітична геометрія починалася з введення системи координат. На честь творця прямокутна система координат, що складається з двох пересічних під прямим кутом осей, введених на них масштабів вимірювання та початку відліку — точки перетину цих осей — називається системою координат на площині. У сукупності з третьою віссю вона є прямокутної декартовій системою координат у просторі.

До 60- х років XVII ст. були розроблені численні метоли для обчислення площ, обмежених різними кривими лініями. Потрібен був тільки один поштовх, щоб з розрізнених прийомів створити єдине інтегральне числення.

Диференціальні методи вирішували основне завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Багато задач практики приводили до постановки оберненої задачі. У процесі виконання завдання з’ясовувалося, що до неї застосовні інтеграційні методи. Так була встановлена глибока зв’язок між диференціальними і інтегральними методами, що створило основу для єдиного обчислення. Найбільш ранньою формою диференціального й інтегрального числення є теорія флюксий, побудована Ньютоном.

XVIII в. дав математики потужний апарат — аналіз нескінченно малих величин. У цей період Ейлер ввів в математику символ f (x) для функції і показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу. Розроблялися способи обчислення приватних похідних, кратних і криволінійних інтегралів, диференціалів від функцій багатьох змінних.

У XVIII в. з математичного аналізу виділився ряд важливих математичних дисциплін: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення. У цей час почалася розробка теорії ймовірностей.

Сучасний світ неможливо уявити без математики як основоположної науки. Вона за допомогою розрахунків і обчислень втілює в життя найнеймовірніші прагнення людства. Математична наука інтегрована в різні сфери діяльності людей. І можна сказати, що в недалекому майбутньому вона буде грати, безсумнівно, ще більш важливу роль.

Основні результати математики цього періоду — головний зміст математичної освіти інженерних факультетів (основи аналітичної геометрії, вищої алгебри, математичного аналізу тощо).

Четвертий період: період сучасної математики (з кінця XIX ст.). Характеризується зростанням абстрактного рівня математичних теорій, поширенням тенденції до їх аксіоматичної побудови.

Математика знаходить все нові й нові застосування в таких нетехнічних науках як педагогіка, психологія, мовознавство, медицина тощо. Виникають нові розділи математики: математична економіка, математична лінгвістика, математична психологія, математичне програмування, кібернетика, математична логіка.

Загальним природним фундаментом математики стає теоретиком-множинна точка зору. Поява парадоксів в інтуїтивній канторівській теорії множин стимулювала процес аксіоматизації математики, алгебраїзації, посилення інтересу до її основ. Тому зростає інтерес до таких розділів як математична логіка і формальна теорія алгоритмів, де уточнюються поняття математичного доведення.

На даному періоді розвитку математики набуває глибокого розвитку аксіоматичний метод. Математика, як і всяка інша наука, знаходиться в безперервному розвитку, що обумовлений двома основними причинами: потребами життєвої практики та внутрішніми потребами становлення самої математики. Бурхливий розвиток математики створює великий вплив на розвиток техніки, управління виробництвом та інші науки, в тому числі на педагогіку і методику математики.

Поява в 50-х роках XX ст. нової обчислювальної техніки стала визначальною подією у створенні нової математичної дисципліни — інформатики, до складу якої входить моделювання задач, алгоритмізація і програмування. На її основі перебудовуються класичні розділи математики: являються комп’ютерна алгебра, комп’ютерний аналіз, широко застосовується інформатика в різних розділах геометри. Елементи інформатики включені в програму з математики середньої школи З аналізу періодів розвитку математики особливе значення надаємо досягненням другого періоду, оскільки його результати складають основу змісту шкільної математичної освіти, яка структурується за такими змістовими лініями: числа; вирази та їх перетворення; рівняння і нерівності; функції; геометричні фігури; геометричні величини; координати і вектори; геометричні перетворення; тригонометрія.

1.2 Психолого-педагогічні особливості реалізації принципу історизму

Підлітковий вік характеризується значним розвитком психіки, пізнавальних процесів. У підлітковому віці учіння залишається провідним видом діяльності, проте воно зазнає значних змін, відбувається подальша його перебудова, що характеризується зростанням його самостійності. Воно характеризується довільністю, зростанням активності н самостійності, зміною пізнавальних і соціальних мотивів навчання. Удосконалюється сприйняття, стаючи більш плановим, різнобічним, але не досягає ще повного розвитку. На нього впливає не лише характер об'єкта, що сприймається, але й емоційний стан підлітка. Учбова діяльність підлітка характеризується вибірковою готовністю, підвищеною сприйнятливістю до навчання. Великим досягненням підлітка є його готовність до усіх видів учбової діяльності, які роблять його дорослим у власних очах. Та проблема полягає у тому, що цю свою готовність він ще не вміє реалізувати, оскільки не оволодів способами виконання нових форм учбової діяльності.

Зазнає якісних змін мотивація навчання. Поглиблюючись і диференціюючись, пізнавальні інтереси підлітків стають виразнішими, стійкішими і змістовнішими. Навчальний процес ставить підвищені вимоги до уваги підлітків, здатності зосереджуватись на змісті навчальної діяльності й відволікатись від сторонніх показників. Навчання вимагає як мимовільної, так і довільної уваги, сприяє зростанню обсягу уваги, вдосконаленню уміння розподіляти і переключати її. Для підлітків характерним є прагнення виховувати в собі здатність бути уважними, елементи самоконтролю й саморегуляції.

Підлітки прагнуть до логічного осмислення матеріалу, застосовуючи при цьому порівняння, зіставлення, узагальнення, класифікацію тощо. Підвищується рівень абстрагування, формуються системи прямих і зворотних логічних операцій, міркувань та умовиводів, що стають більш свідомими, обґрунтованими.

Пам’ять набуває більшої логічності, довільності й керованості. Підлітки використовують різноманітні засоби запам’ятовування: логічну обробку матеріалу, виділення опорних пунктів, складання плану, конспектування.

Розширюються і поглиблюються пізнавальні інтереси учнів, більш вибірковим стає інтерес до навчальних предметів.

Починаючи з 5 класу в учнів спостерігається другий спад успішності, пов’язаний з переходом на предметну систему навчання. Підлітку важко адаптуватися до вимог кожного вчителя-предметника.

А.М. Леонтьєв вказував, що нерідко у підлітків знижується і загальний інтерес до школи, відбувається «внутрішній відхід від школи». Основна причина такого відходу полягає у несформованості учбової діяльності, що не дає можливості задовольнити актуальну потребу віку — потребу у самоствердженні.

Сформованою називається така учбова діяльність, коли учні, спонукаючись прямими мотивами самого учіння, можуть самостійно визначати учбові задачі, вибирати раціональні прийоми та способи їх розв’язування, контролювати та оцінювати свою роботу.

Багатша і складніша змістова, предметна сторона знань вимагає від учнів і досконаліших способів їх набування. Зазнає якісних змін мотивація учіння підлітків. Структура мотивів учіння у підлітків ускладнюється, у них поєднуються широкі соціальні мотиви (усвідомлення обов’язку, прагнення зберегти почесне місце у сім'ї, класі, усвідомлення ролі знань у підготовці до майбутньої трудової діяльності) із власне пізнавальними особистими мотивами (прагнення пізнати щось невідоме, уникнути покарання за невиконання домашніх завдань).

Причини послаблення інтересу до навчання:

1. нестійкість чи недостатність сформованості позитивного ставлення до учбової діяльності;

2. при загалом свідомому і відповідальному ставленні до навчання верх беруть захоплення чимось стороннім (читанням пригодницької літератури, футболом, лижами, ковзанами, комп’ютером), що призводить до нехтування обов’язку щоденно готувати уроки;

3. послаблення інтересу як реакція на невдачі у навчанні. Реально гостро переживаючи ці невдачі, підліток маскує свої переживання, робить вигляд, ніби оцінки не мають для нього істотного значення;

4. неприученість до трудових зусиль, неготовність і неспроможність без допомоги батьків (як це було раніше у початкових класах) справлятись із навчальними завданнями;

5. несистематичність виконання навчальних завдань, праця ривками, що зумовлює бажання вдаватись до різних легких нечесних способів (шпаргалок, списування у товаришів);

6. вади деяких аналізаторів (слабкість зору, слуху). Учень соромиться признаватися у цьому своїм одноліткам, не переборює труднощів і втрачає інтерес до навчання;

7. негативні оцінні судження учителів, прояви з їх боку нетактовності, несправедливе оцінювання знань учнів, необ'єктивне применшування успіхів чи переоцінювання.

Формування мотивів учіння безпосередньо пов’язані із задоволенням домінуючих потреб віку, зокрема пізнавальної потреби. При умові її задоволення у підлітка формується стійкі пізнавальні інтереси, які визначають його позитивне ставлення до навчальних предметів. Незадоволення пізнавальної потреби породжує у підлітка не лише байдужість, апатію, але й негативне ставлення до нецікавих предметів.

Усвідомлення підлітком життєвої значущості знань є важливим мотивом їх учбової діяльності. Для підлітка дуже важливо усвідомити, осмислити значення знань для розвитку їх особистості. Позитивним є те, що знову зростає престиж знань. Пізнавальні і соціальні мотиви учіння підлітків розвиваються в єдності.

У підлітковому віці розширюється зміст поняття «учіння», що зумовлено самостійним набуттям знань, які виходять за межі навчальної програми. Учіння набуває особистісного смислу і перетворюється у самоосвіту.

Тому основна роль в забезпеченні рівня математичної підготовки учнів основної школи, що відповідає соціальному замовленню, належить вчителю математики. Глибоке знання свого предмету, уміння розв’язати завдання різного рівня складності, вільне володіння традиційними і сучасними методами, формами і засобами навчання, обізнаність в психолого — педагогічних основах математики завжди визначали і визначають в даний час професійну компетентність вчителя математики. Крім того, сьогодні вчитель повинен бути підготовлений до навчання математиці в умовах демократизації, гуманізації і диференціації навчального процесу, до використання нових інформаційних технологій.

Новій концепції навчання, а саме гуманізації та гуманітаризації буде відповідати формування та виховання інтересу учнів до вивчення математики, а саме використання історико-математичного матеріалу при вивченні сучасного шкільного курсу математики. Адже історія математики це історія розвитку людства. Сьогодні майже всі випускники шкіл недостатньо обізнані з історією розвитку математичної думки.

Майбутньому вчителю математики необхідно бути обізнаним з історією розвитку математики від стародавніх часів до Ньютона, а далі від Ньютона до Ейнштейна; з біографіями і працями великих вчених Індії і Китаю, більш відомих вчених, «великанів» науки — Евкліда, Піфагора, Архімеда, Беруні, ал-Хорезмі та інших; знати трагічні долі Галуа, Бояі, Лобачевського, познайомитись з ідеями сучасних вчених — Вінера, Глушкова, Колмогорова, Келдиша та інших. Приклади життя великих умів минулого, їх наукові та моральні вчинки впливають на процеси самовдосконалення та самовиховання учнів. Наприклад, великий вчений Бернулі, відомий геніальними відкриттями в області математики, астрономії, географії, ботаніки, геології увійшов в історію людства як видатний філософ-гуманіст і поет. Що ж дало силу відкриттям Бернулі для наступного розвитку наук і практичного використання отриманих ним наукових результатів? Головним для нього було — вивчити і зрозуміти. А тому, для сучасного вчителя, закладення цієї істини до фундаменту моральних поглядів, повинно представляти не меншу важливість, ніж ознайомлення учнів з прийомами вимірювання радіусу Землі, які і застосовував Беруні.

В поєднанні з вивченням навчального матеріалу шкільного курсу математики історичні відомості добре запам’ятовуються, а тому можуть бути засобом запам’ятовування навчальної інформації. З цієї точки зору важливо, щоб у свідомості учнів залишились не окремі, розрізнені епізоди з історії розвитку математики, а процес формування її основних ідей і методів. Не менш важливим є те що історія науки лає можливість учням спостерігати в дії взаємозв'язок і взаємообумовленість теоретичного наукового пізнання і практичної діяльності людини, А не, в свою чергу, сприяє ефективному формуванню діалектико-матеріалістичного світогляду і наукового мислення школярів.

В процесі навчання математиці розрізняють такі вили історико — математичного матеріалу:

1. Епізодичний екскурс в історію математики, походження терміну, посилання на першовідкривача формули, теореми або метолу.

2. Більш тривала бесіда або розповідь

3. Огляд життя і творчості окремих видатних математиків.

4. Аналіз математичних результатів отриманих в певну епоху або тих. що відносяться до розвитку певних математичних теорій.

5. Узагальнення і систематизація знань учнів з допомогою поглибленого історичного огляду, в якому аналізується розвиток тій чи іншої змістової лінії шильного курсу (числової, функціональної, лінії рівнянь і нерівностей толю).

Теоретично можливих таких видів, звичайно, набагато більше За основу класифікації використання історичного матеріалу на уроках математики можна взяти:

Форму його подачі:

1. Повідомлення-факт (коротка історична довідка).

2. Бесіда або повідомлення-розповідь (взаємопов'язані історичні факти, які можуть супроводжуватися перед розглядом ілюстративного матеріалу, наведенням і розв’язанням історичних задач тощо).

3. Повідомлення-огляд (наводиться більш глибокий аналіз розвитку тієї чи іншої змістової лінії опального курсу математики: числової, функціональної, диференціальні тощо).

Час, який відображено в цьому викладі: «вертикальний» зріз (характеристика історичного розвитку тієї чи іншої вітки математики); «горизонтальний» зріз (характеристика певної історичної епохи); персоналії (характеристика життя і діяльності того чи іншого великого майбутнього та минулого).

Функції історико-математичного матеріалу можуть бути: пізнавальні, виховні, методологічні, розвивальні, навчальні.

На практиці використовуються різні комбінації вказаних вище видів. Вибір того чи іншого виду буде залежати від зв’язків історичного матеріалу з навчальним, оскільки, домінуючою має виступати навчаюча (освітня) функція.

Аналіз різних функцій використання історичного матеріалу має велике значення, оскільки його результати мають вплинути на методику роботи вчителя.

В даний час принцип історизму набуває цілком іншого звучання в зв’язку з його винятковою роллю. Фрідман Л.М., відомий психолог і методист відмічає: «…проблема історизму до сих пір не отримала правильного рішення. Елементи історії математики вводяться в навчання „дуже несміло“, в недостатньому об'ємі, у відриві із вивченим матеріалом».

При введенні елементів історизму в шкільний курс математики необхідно дотримуватись наступних положень:

1. Формувати в учнів діалектику матеріалістичного розуміння умов і причин зародження математики як науки.

2. Історію математики необхідно використовувати для розкриття логіки її розвитку.

3. Використання історизму у навчанні математиці дає можливість для створення проблемних ситуацій.

4. Історизм слід застосовувати для виховання учнів патріотизму, національної гідності в досягненні вітчизняної математики та інтернаціоналізму.

5. Введення історико-математичного матеріалу необхідне в органічній єдності зі змістом матеріалу, що вивчається.

Які існують шляхи органічного включення історико-математичних фактів в навчальний процес? Відповідь на поставлене запитання потребує знань методології математичної науки та методологічних основ побудови навчального процесу. Відомий автор навчального посібника «Історія математики» К.О. Рибніков вважає, що при самому широкому визначенні методології математики можна говорити про нерозривність історії і методології математики. А одним із основних принципів наукової методологи є вимога вивчення зв’язків теорії і практики. Вплив виробництва і суспільної практики людей на розвиток математичної науки можна розкрити учням тільки на історико-математичному матеріалі. Звідси випливає доцільність побудови навчального процесу на основі історико-математичних фактів, бесід.

В діючих підручниках математики містяться сучасні трактовки того чи іншого математичного поняття, теорії. Але в поясненні вчителя, у змісті проведеної ним бесіди повинне знайтися місце і історії математики.

Вивчення теми розділу можна провести економно в часі, наприклад, запропонувавши учням самостійно вивчити текст з підручника математики або відповідну статтю історико-математичного змісту. Цим самим вчитель виграє в дохідливості свого пояснення, у формуванні інтересу учнів до вивчення математики, до історії науки і країни, до видатних особистостей минулого, які живуть в народній пам’яті цілі тисячоліття.

Слід відмітити, що реалізація принципу історизму при вивченні нової теми в процесі навчання математики в школі не повинна зводитися до пригадування двох-трьох прізвищ вчених. Мова йде про постійне прагнення вчителя продумано і систематично використовувати історичний матеріал.

Історія науки мусить бути головним провідником учня в його навчанні, оскільки:

В процесі шкільного викладення математики короткі історичні екскурси в минуле, розповіді про використання математики в задачах, які виникали перед людством, про значення питань практичного життя для розвитку самої математики завжди викликають жвавий інтерес учнів. А інтерес до предмету означає одночасно і створення умов для більш успішного його вивчення.

Бесіди учителя з учнями з історії науки створюють великі можливості для збудження творчих сил молоді, для зміцнення їх віри у власні можливості.

Елементи історії математики сприяють свідомому засвоєнню фактів, понять, законів, вони гуманітаризують зміст шкільної математики, сприяють реалізації міжпредметних зв’язків курсів алгебри, геометрії, фізики, астрономії.

Історія математики зрештою необхідна вчителю математики, бо він покликаний не тільки передавати своїм учням деяку суму знань і навичок, а і формувати їх свідомість, світогляд, готувати майбутніх творців і носіїв людської культури.

1.3 Внесок українських вчених в розвиток математики

Ще в Стародавньому Римі була сформульована думка: історія — вчителька життя. Стали крилатими і такі висловлювання: «виховання історією», «виховуючий потенціал історії», «готуючись до майбутнього, не забувай про минуле». Вони означають, що вся сукупність форм, методів і засобів, які використовуються для розповсюдження історичних знань, а не псевдознань, повинна сприяти відновленню самосвідомості мас і загальнолюдських цінностей.

Англійський філософ XVIII ст. Роджер Бекон писав: «Знання треба впроваджувати тим шляхом, яким воно входило в життя», а великий німецький вчений і математик Готфрід Лейбніц (1646−1716) стверджував: «Хто хоче обмежитись сучасним, без знань минулого, той ніколи його не зрозуміє».

Взагалі без історії предмета нема теорії предмета, а без предмета немає й думки про сам предмет. Наука починається з історії. Не знаючи історії науки, не можна правильно оцінити її сучасне і передбачити майбутнє.

Історико-педагогічне мислення допомагає вчителеві правильно оцінювати виховничо-освітні явища, як минулого так і сучасного. Воно попереджує його від помилок, перекручень, які зустрічаються в минулому і існують в сучасному.

О.С. Пушкін писав: «Повага до минулого — ось риса, яка відрізняє освіченість від дикунства». Цицерон стверджував: «Не знати, що трапилось до твого народження, значить завжди бути дитиною».

Отже, принцип історизму має особливе значення в розробці системи психолого-педагогічних і методичних наук, педагогічної освіти і перспектив її подальшого удосконалення.

Дійсно, сучасна педагогіка і методична наука є закономірним розвитком педагогічних цінностей, накопичених протягом всієї історії суспільного життя. Для підготовки кваліфікованого вчителя необхідно зорієнтувати його на глибоке вивчення всього людського досвіду в галузі викладання тієї дисципліни, яку він буде викладати в школі. Володіти почуттям історичної орієнтації повинен кожний вчитель в школі. Історико — педагогічне мислення дозволяє вчителеві правильно оцінювати виховничо-освітні явища як минулого так і сучасного. Огляд розвитку методики навчання будь-якого навчального предмету є доброю базою для створення ефективних сучасних форм і методів навчання цих предметів.

Знання з методики викладання математики і зацікавленість нею у вчителя значно підсилюються, якщо він добре обізнаний з історією рзвитку цієї науки. Рух до майбутнього неможливий без знання всього попереднього і історичного ланцюга, без засвоєння всього багатства досягнутого розвитку в даній науці: треба пам’ятати, що готуючись до майбутнього, треба не забувати минулого.

Зараз, коли йде реформа національної школи, особливо треба брати на озброєння все краще, що залишила нам класична педагогіка і методика — теорія навчання окремої шкільної дисципліни.

Біографічні дані кожної людини повчальні для учнів, а знаменитої - неоціненні, тому що в ній простежується весь аспект творчості вченого, і розповідь про великого вченого викликає природне бажання в учня бути схожим на нього. Зупинимось на біографіях наших земляків.

Єрмаков Василь Петрович (1845-1922)

Єрмаков Василь Петрович — український математик, член-кореслондент Петербурзької АН (з 1884 р.). Народився в с. Терюхи, біля Гомеля. Середню освіту В.П.Єрмаков одержав у Гомельській, а потім в Чернігівській гімназії. Закінчив Київський університет і був залишений при цьому університеті для підготовки до викладацької діяльності. З 1877 р. — професор Київського університету. Коло наукових інтересів В.П.Єрмакова досить широке. Йому належать дослідження з теорії диференційних рівнянь, теоретичного аналізу, варіаційного числення, теорії наближених обчислень та ін. У 1870 р. відкрив нову, досить цікаву і просту ознаку збіжності рядів. В.П.Єрмаков приділяв багато уваги педагогічній діяльності, влаштовував диспути про кращі методи викладання, друкував статті на педагогічні теми; у 1884−1885 рр. видавав «Журнал элементарной математики». Цей журнал під назвою «Вестник опытной физики и элементарной математики» видавався аж до 1917 р.

Діяльність В.П.Єрмакова залишила глибокий слід в методиці математики. Він був переконаний, що математику може вивчати кожний із середніми здібностями. Все залежить від педагогічної майстерності першого вчителя математики. Він писав: «В різноманітності методів і приймів — вся сила і зваба науки».

Георгій Феодосійович Вороний (1868−1908)

Георгій Феодосійович Вороний — одна з найяскравіших особистостей в історії математики кінця XIX-початку XX ст. Його перша праця «Розклад многочленів та множників, заснованих на властивостях коренів квадратних рівнянь», яка відноситься до гімназичних років (1885 р.), була надрукована на сторінках журналу з елементарної математики. Варто відмітити, що особливе захоплення математикою проявилось у Георгія Вороного не тільки завдяки природним здібностям, а також у результаті впливу на свідомість і захоплення юнака його викладача математики, Івана Володимировича Богословського.

Навчаючись у Петербурзькому університеті (1885−1889 рр.), Вороний формувався як учений. Його основною галуззю досліджень була теорія чисел, а науковим наставником був професор Андрій Марков.

Вороний самостійно, глибоко, детально дослідив розклад раціональних чисел на ідеальні множники в кубічному полі алгебраїчних чисел, узагальнивши на цей випадок алгоритм неперервних дробів. Разом з тим він установив ряд важливих теорем геометричного характеру і в подальшому велику увагу приділив дослідженням у галузі створюваної ним геометрії чисел. Зокрема це стосується глибоких досліджень многогранників. Так, відома теорема Вороного про паралелоедри: будь-який примітивний паралелоедр афінно еквівалентний DV-області деяких ґраток. Б. Делоне дав таку оцінку цим дослідженням: «Мемуар Вороного про паралелоедри — одне із найглибших досліджень у галузі геометрії чисел в усій світовій літературі, а своєрідність методів чисто геометричної першої частини накладає на мемуар відбиток геніальності».

Характерною рисою діяльності Вороного був інтерес до конкретних наукових проблем корінного значення, зокрема, майстерне володіння математичними методами, що в свою чергу давало змогу видатні наукові результати здобувати порівняно простим математичним апаратом, а також постійне звертання до практики, як джерела й важливого корінного фактора теоретичних досліджень.

Георгій Вороний, працюючи професором Варшавського університету, написав дві дисертації: магістерську — «Про цілі числа, залежні від кореня рівняння третього ступеня» (1894 рік) та докторську — «Про одне узагальнення алгоритму неперервних дробів» (1896 рік). Ним розроблені й створені нові напрями й методи досліджень у теорії чисел, зокрема дослідження асимптоматичних властивостей арифметичних формул. На основі цих досліджень організована російська школа теорії чисел.

Світове визнання Вороному принесли діаграми, названі на його честь, що застосовуються у багатьох галузях знань: у комп’ютерній графіці, геометричному моделюванні, конструюванні роботів, розпізнанні образів, побудові географічних інформаційних систем. Діаграма Вороного — це особливий вид розбиття метричного простору, що визначається відстанями до заданої дискретної множини ізольованих точок цього простору. Цьому математичному обєкту присвячено багато статей. В 1992 році в Англії видано монографію A. Okabe, B. Boots, K. Sugiharan «Просторові мозаїки: Поняття та застосування діаграм Вороного».

Оскільки метод побудови за його діаграмами дозволяє створювати максимально міцні структури з використанням мінімальної кількості матеріалу, то цей метод часто використовується в інженерії, медицині, архітектурі тощо (прикладом застосування діаграм Вороного може слугувати Лампа-Гриб, дизайнера Андре Коельо).

Праці Георгія Вороного набули особливо великого значення за останні двадцять років. Це пов’язано із розвитком комп’ютерної графіки, молекулярної біології, радіаційної фізики, космології, творенням штучного інтелекту. За своє коротке життя він написав усього 12 наукових робіт, причому 8 з них успішно використовуються в наш час. Його наукові праці поклали початок кільком новим напрямкам в аналітичній теорії чисел, алгебраїчній теорії чисел, теорії функцій. Результати Вороного з теорії досконалих форм стали суттєвим внеском у теорії квадратних форм і стимулювали подальший розвиток у цьому розділі чистої математики. Ці дослідження продовжують сучасні математики. У книзі «Великі математики Європи» в числі таких, ста імен знаменитих учених, як Піфагор, Лобачевський та інші вписано й ім'я Георгія Вороного — нашого славного земляка, а його дослідження успішно продовжили такі математики як І.М. Виноградов, Б.О. Вєнков, Б. М. Делоне.

Результати досліджень Георгія Вороного та методи їх одержання привертають увагу вчених усього світу. Це свідчить, що, хоч наукові роботи українського математика були визнані геніальними ще його сучасниками, справжнє значення його наукового спадку розкривається лише в наш час.

Віктор Михайлович Глушков (1932;1982)

Творчий зліт В. М. Глушкова вражає своєю нестримністю. Його життя вистачило б на кілька життів. Випереджати час Віктор Михайлович умів уже в середній школі. Діапазон його захоплень був надзвичайно широкий: філософія, математика, фізика, література, ботаніка. Він вивчав окремі дисципліни в обсязі вузівських курсів. Заради улюбленої математики в нього вистачило сили відмовитися від улюбленої гри в шахи.

Народився Віктор Глушков у 1923 році у сім'ї вчителя в м. Ростовна-Дону. Його молодість припала на роки Великої Вітчизняної війни. Разом з іншими Віктор рив окопи і зводив оборонні споруди на Сталінградському фронті. Але кожної вільної хвилини він діставав свої книжки і продовжував штурмувати науки.

Під час війни юнака спіткало велике горе — від кулі фашистських окупантів загинула його мати.

У повоєнні роки Віктор Глушков працював на шахті і навчався одночасно у двох вузах — Новочеркаському політехнічному інституті та Ростовському університеті на механіко-математичному факультеті. Працювати доводилося, не переводячи подиху. Якось за десять днів сесії він склав на «відмінно» двадцять п’ять вузівських екзаменів.

Після закінчення навчання В. Глушков працював викладачем Уральського лісотехнічного інституту в м. Свердловську і паралельно займався дослідницькою роботою — шукав нові шляхи у розвитку техніки швидких обчислень. На той час, вже кандидат фізико-математичних наук, В. М. Глушков захистив дисертацію на вчений ступінь доктора математичних наук. У ній молодий вчений розв’язав одну з найскладніших алгебраїчних задач, яку поставив відомий німецький математик Д. Гільберт.

У 1956 році при Київському Інституті математики Академії наук УРСР було організовано лабораторію обчислювальної техніки із 60 науковців на чолі з В. М. Глушковим, з колективом якої Віктор Михайлович і здійснив свій кібернетичний старт. У 1957 році на базі цієї лабораторії створюється Обчислювальний центр АН УРСР, реорганізований згодом в Інститут кібернетики АН УРСР. Його керівником було призначено В. М. Глушкова. Кібернетика розвивалася з вражаючою швидкістю. Київські вчені створювали все потужніші й досконаліші ЕОМ, яких вимагало виробництво. За допомогою ЕОМ «Киев» уперше в світі здійснювалось керування з Києва технологічними процесами на відстані 500 км — вибір часу «плавки» сталі на Дніпродзержинському металургійному заводі. Потім були «Днепр — 1», «Промінь», «Мир — 1», «Днепр — 2», «Киев — 67», «Мир — 2», «Киев — 70». І це ще далеко не повний перелік ЕОМ і обчислювальних систем, створених під науковим керівництвом Віктора Михайловича.

Міжнародна популярність Інституту кібернетики Української РСР була величезною. Наприклад, у 1969 році В. М. Глушков одержав понад сто запрошень, в яких йому пропонували прочитати лекції з різних питань кібернетики. В. М. Глушкову належить понад 400 праць, з них 10 — спеціальних монографій. Через все своє життя Віктор Михайлович проніс радість першовідкриття і виховав багато молодих учених. Із запропонованих нарисів ти довідаєшся про цікаві відкриття академіка В. М. Глушкова та його колег у галузі кібернетики.

Мирон Онуфрійович Зарицький (1889−1961)

Ім'я М. О. Зарицького — талановитого математика, обдарованого педагога і популяризатора математичних знань, майже невідоме в Україні, хоча свого часу на праці українського вченого посилалися або цитували їх окремі положення французький математик Фреше, німецький математик Гільберт, професор з Варшави Серпінський та інші.

Народився Мирон Зарицький на Тернопільщині в родині сільського священика. Початкову школу Мирон закінчив у свого діда, а ще до неї самотужки навчився читати, писати і рахувати. Середню освіту він здобув у гімназіях міст Бережани і Тернопіль, а потім два роки навчався в українській гімназії у Перемишлі, яку закінчив 1907 року. Того ж року Мирон Зарицький вступив до Віденського університету. Після першого курсу батьки перевели його до Львівського університету. Тут він студіював математичні та фізичні дисципліни, а також продовжував займатися філософією, самотужки вивчав французьку мову. У 1912 році Мирон Зарицький закінчив університет, через рік склав учительський іспит і отримав звання учителя середніх шкіл з математики та фізики. Вчителюючи у гімназіях, він також робив перші кроки в науковій роботі з математики. У 1925 році М. О. Зарицкий, вже одружений, переїхав до Львова, де продовжив займатися науковою роботою. У той час учені-українці Галичини зосереджували свою наукову діяльність здебільшого на Науковому Товаристві ім. Т. Шевченка.

1927 року М. О. Зарицького обирають дійсним членом цього Товариства, де працювали відомі на той час українські математики: В. Й. Левицький та М. А. Чайковський. Багато спільного було в житті та долі цих трьох вчених. Їхні наукові розробки були актуальними і стояли на рівні світової математичної науки того часу.

У 1930 році Львівський університет присудив Мирону Онуфрійовичу вчений ступінь доктора філософії. До 1939 року він надрукував близько 20 наукових праць у львівських та іноземних виданнях і в цей період сформувався як серйозний математик з філософським ухилом. Потім була напружена і цікава робота в Львівському університеті, Львівському політехнічному інституті, Ужгородському університеті. 1945 р. йому було присвоєно звання професора, а 1946 р. — вчений ступінь кандидата фізико-математичних наук.

Коло інтересів професора М. О. Зарицького не обмежувалось однією математикою. Він був обізнаний з природничими науками, з світовою літературою, філософією. На науку він дивився, в першу чергу, як на правду і красу, що підносить людину на вищий щабель її духовного розвитку. Недаремно професора М. О. Зарицького називали «поетом формул».

Прочитавши нариси та статтю, ти довідаєшся, як багато встиг зробити вчений для свого народу, а ознайомившись зі спогадами (додаються до нарисів Б. Пташника), ти зрозумієш, чому такою великою повагою користувався М. О. Зарицький і як учений, і як громадянин, і як людина.

Михайло Пилипович Кравчук (1892−1942)

«Михайло Кравчук — математик широкого масштабу. Його ім'я добре відоме у світовій математичній науці. Світ не знав лише, що він — українець.» Довго не знали про цю надзвичайно талановиту людину і його земляки. Про це з болем пише у своїй статті його син О. М. Кравчук, доцент Волинського державного університету. Адже ім'я М. Кравчука було занесено до списку «ворогів народу», а сам він, повний енергії і творчих задумів, був засланий на Колиму і пішов з життя у неповних п’ятдесят років.

Лише 1992 року, після довгих літ забуття, наукова громадськість України та світу широко відзначила 100-річчя від дня народження видатного вченого. Його ім'я було занесено по лінії ЮНЕСКО до Міжнародного календаря визначних наукових діячів. Для цього були поважні підстави, адже праці М. П. Кравчука становлять фундаментальне надбання кількох галузей математичної науки.

З наведених нарисів та статей ти довідаєшся, що народився М. Кравчук 1892 року у селі Човниці на Волині в сім'ї інженера-землеміра. Початкову освіту він здобув удома. Його мати була освіченою жінкою, знала кілька іноземних мов і добре виховувала чотирьох дітей. 1901 року сім'я переїхала до Луцька, де в 1910 році Михайло Кравчук закінчив гімназію із золотою медаллю. Цього ж року він вступив на математичне відділення фізико-математичного факультету університету Св. Володимира в Києві, закінчив його у 1914 р. з дипломом 1-го ступеня і залишився в ньому працювати.

Відтоді й почалася його титанічна творча наукова і педагогічна праця. Він викладав різні математичні курси у багатьох вищих та середніх закладах м. Києва.

У роки громадянської війни М. Кравчук виїжджає на село. У 1919;21 рр. він був викладачем і директором школи в селі Саварці на Богуславщині. Його колишні учні, які вступали до технікумів та вузів, вражали викладачів своїми знаннями з математики. У цій школі під опікою М. П. Кравчука розпочав свій шлях у велику науку сільський хлопець Архип Люлька, пізніше — відомий український вчений, творець реактивних авіадвигунів. До речі, у Київському політехнічному інституті лекції М. Кравчука слухав і майбутній славетний конструктор космічних кораблів Сергій Корольов.

Михайло Пилипович був людиною неабиякої ерудиції та культури. У 25 років він став приватдоцентом кафедри математики, у 33 — доктором наук, у 37 — дійсним членом Всеукраїнської академії наук. Вільно володіючи кількома мовами, він підтримував наукові й особисті дружні стосунки з відомими математиками світу — Адамаром, Гільбертом, Курантом та ін. Свої наукові праці писав різними мовами, але найбільше — рідною. Академік М. П. Кравчук брав найактивнішу участь у творенні української наукової термінології та у запровадженні наукової мови в математичну галузь.

М.П. Кравчук належав до тих учених, чиї праці відкривають нові шляхи у розвитку науки і передбачають напрямки її розвитку в майбутньому.

«Моя любов — Україна і математика», — ці слова Михайла Пилиповича Кравчука викарбовано на гранітному постаменті пам’ятника, який встановлено йому в 2003 році перед корпусом музею Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут». У селі, де він народився, в 1979 році відкрито музей та встановлено погруддя великого патріота і математика.

Володимир Йосипович Левицький (1872−1956)

«Основоположник математичної культури нашого народу», — так сказав про Володимира Левицького академік Михайло Кравчук.

І мав на це всі підстави. Саме професор В. Й. Левицький першим написав справжню фахову статтю з математики українською мовою, був незмінним редактором першого українського наукового часопису з природничих наук, першим згуртував навколо себе математиків-українців для наукової роботи…

Народився Володимир Левицький у Тернополі у старовинній родині священика. Прадід і дід майбутнього математика були священиками, а вже батько — Йосип Левицький — закінчив правничий факультет Львівського університету. Коли Володимирові минуло п’ять років, померла мати. Родина переїхала до Золочева. Там у п’ятирічному віці хлопець пішов до першого класу школи. Потім було навчання в Тернопільській гімназії та польській гімназії Франца Йосифа, яку він закінчив з відзнакою. 1890 року В. Левицький вступив до Львівського університету на філософський факультет, де слухав лекції з математики і фізики, самостійно читав наукові роботи видатних математиків. А 1893 р. він увійшов до складу математично-природописно-лікарської секції Наукового товариства ім. Т. Шевченка. Вже на п’ятому засіданні секції молодому випускникові університету було доручено укласти українську фізичну і математичну термінологію.