Математичні та статистичні методи оцінювання

Лекція 1. Математичні та статистичні методи оцінювання

План

1. Групування статистичних даних по якісним прикметам

2. Групування статистичних даних по кількісним прикметам

3. Оцінка характеристик варіації

1. Групування статистичних даних по якісним прикметам

Найтривіальнішим випадком є групування за альтернативними якісними ознаками якісному, тобто коли можливі лише два судження: «ознака є» (Д) або «ознаки немає» (Н). У цьому випадку вибірку розділяють на дві групи: об'єкти, що володіють ознакою, та об'єкти, що не володіють ознакою. Кожну з двох груп можна охарактеризувати частотою і позначити відповідно m_Д та m_Н. Очевидно, що

m_Д + m_Н = n.

У результаті зазначеного групування отримуємо розподілення альтернативної ознаки, яке називається групуванням першого порядку. Розділивши частоти m_Д та m_Н на n отримуємо відносні частоти

w_д = .

Результати такого групування можна представити у таблиці

Групування даних за якісними ознаками знаходять широке застосування в оціночній діяльності, зокрема при переоцінці активів підприємства. Наприклад, при аналізі зібраних даних про промислове обладнання дуже важливо згрупувати його за признаками спеціалізації, тому що це зумовлює вибір бази оцінки, як наслідок, підходів і методів оцінки.

Розглянемо тепер вибіркову сукупність, одиниці якої характеризуються двома альтернативними ознаками — А і В. При цьому для зручності розуміння позначимо через, А — наявність ознаки, а через, А — його відсутність, аналогічні позначення застосуємо і до ознаки В. Проведемо групування такої сукупності по поєднанню варіантів обох ознак. У результаті утворюються чотири групи одиниць: АB (мається ознака, А і В); АВ (мається ознака, А і відсутня ознака B); АВ (мається ознака В і відсутня ознака А); АВ (відсутні обидві ознаки). Позначимо частоти зазначених груп відповідно через M_AB; M_AB; M_AB; M_AB, вони характеризують розбиття сукупності за двома ознаками та являються групуванням другого порядку. Результати зобразимо в табл.

Рядок і стовпець, позначені символами ?_А та ?_В, містять містить числа m _A, m _A, m _B, m _B, що характеризують розбиття сукупності за кожною ознакою на дві групи, вони є групуваннями першого порядку. Очевидно, що сума значень в рядку ?_А дорівнює сумі значень стовпці ?_В і дорівнює обсягу вибірки n. Поділивши всі дані табл. на n, можна отримати аналогічну таблицю у відносних частотах.

2. Групування статистичних даних по кількісним прикметам

Групування даних вибіркового статистичного спостереження з кількісними ознаками зручно здійснювати у вигляді поетапної процедури.

Перший етап — впорядкування даних за зростанням. У результаті виконання етапу отримують варіаційний ряд:

X₁, x₂, x₃, …, x_n

Числове значення досліджуваної ознаки називають варіантами значень.

Другий етап. Визначаються частоти (m_i) та частити

(w_i =)

для кожного значення вибірки та будують статистичний ряд розподілення .

Дослідженню статистичних рядів розподілу приділяється найсерйозніша увага. Перш за все по ряду розподілу можна зробити висновок про те, які значення зустрічаються частіше інших, а які рідше, які найбільші і найменші значення приймає досліджувана ознака і який взагалі характер розподілу частот між значеннями, що є досить актуальним при подальшому поглибленому аналізі статистичних сукупностей.

При наявності великої кількості варіантів значень результати статистичного спостереження стають важко доступними для огляду і безпосередній розгляд варіаційного або статистичного ряду не дає уявлення про розподіл генеральної сукупності. У цьому випадку для полегшення огляду та розрахунків необхідно виконати третій етап — скласти інтервальний ряд розподілу, в якому варіанти об'єднані в групи. Але необхідно пам’ятати, що при роботі з малими вибірками (n < 25) не варто вдаватися до побудови інтервальних рядів, тому що при цьому зменшується точність одержуваних характеристик. При побудові інтервальних рядів необхідно перш за все встановити кількість і ширину інтервалів, на які слід розбити варіаційний ряд. При виборі ширини інтервалу (d) необхідно враховувати наступні положення:

1) величина d повинна, по можливості, вибиратися постійної для всіх інтервалів тому, що в протилежному випадку, при розрахунку чисельних параметрів, рядів розподілу (середнього значення та дисперсії) можуть виникнути труднощі;

2) краще, якщо кількість інтервалів (k) буде непарною;

3) вибір d залежить від об'єму вибірки n і від цілей статистичного спостереження. Слід задавати d таким чином, щоб вийшло не менше 5 та не більше 15 інтервалів. Ширина інтервалу впливає також на точність оцінок параметрів, при цьому необхідно дибитися компромісу, так як при малій кількості інтервалів розрахунок стане досить не точним, в той час як велике k знизить видимість результатів;

4) якщо при визначенні ширини інтервалу d отримується не ціле значення, то виникає проблема вибору точності його округлення, але в будь-якому випадку необхідно заокруглити в більшу сторону.

Алгоритм побудови інтервального ряду:

1. Розраховуємо розмах варіації (різниця між максимальним та мінімальним значенням)

;

2. Вся сукупність розбивається на k інтервалів шириною

;

3. Якщо перевищує (це буває у випадку коли ширина інтервалу була округлена в більшу сторону), необхідно в якості лівої границі першого інтервалу вибрати величину, а правої границі останнього інтервалу — величину ;

4. Підраховуються частоти інтервалів останнього — число елементів сукупності, попавши в j-й інтервал.

5. Всім елементам, які потрапили в один інтервал, присвоюється значення, яке відповідає середині j-го інтервалу.

6. Інтервальний ряд представляється у вигляді таблиці, яка вміщає всі інтервали, відповідаючи їм середнє, частоти.

З допомогою отриманого інтервального ряду можна побудувати графічне зображення емпіричної функції розпреділення, по вигляду якого, в свою чергу, висувається гіпотеза про закон розподілу досліджуваної випадкової величини.

3. Оцінка характеристик варіації

статистичний оціночний варіація групування Більшості даних, з якими доводиться мати справу в процесі проведення оцінки, властива мінливість (варіація). Саме по причині мінливості даних виникає необхідність в проведенні статистичного аналізу.

Варіацію можна визначити як ступінь відмінності між окремими значеннями в досліджуваній сукупності даних. Від величини варіації залежить надійність характеристик центра групування.

Найпростішою характеристикою варіації є розмах.

;

Він легко визначається, але враховує тільки крайні відхилення і тому дає поверхневе представлення про варіацію даних, внаслідок чого має обмежене застосування.

Для більш точної оцінки необхідно розрахувати відхилення всіх значень ряду від вибірково середнього. Для таких цілей служать оцінки дисперсії та середньоквадратичного відхилення.

Дисперсія — це середнє зважене з квадратів відхилень дійсних результатів від середніх очікуваних:

де G2 — дисперсія;X — очікуване значення для кожного випадку спостереження;X — середнє очікуване значення;n — число випадків спостереження (частота).Середнє квадратичне відхилення визначається за формулою:

де G — квадратичне відхилення.

Це показники варіації, які найчастіше використовуються.

Середнє квадратичне відхилення оцінює середню величину відхилення елементів вибірки від середнього, тобто абсолютну міру варіації.