Преобразование Фур'є

Преобразование Фурье

Анатолий Карташкин В основі перетворення Фур'є (ПФ) лежить надзвичайно проста, але дуже плідна ідея — майже всі періодичну функцію можна сумою окремих гармонійних складових (синусоид і косинусоид з різними амплітудами A, періодами Т і, отже, частотами ?). Приклад одній з таких функцій S (t), що з гармонік Сi (t), наведено на рис. 1.

.

Рис. 1. Уявлення прямокутного імпульсу сумою гармонійних составляющих Понятия «зобразити в частотною області якусь функцію від часу» і «намалювати спектр цієї функції» — рівнозначні. Якщо ковзнути по мал.1 поглядом за горизонталлю зліва-направо, то здійсниться перехід від будь-якої функції часу до її спектру — завдяки «магічного склу» ПФ. А нижня частина малюнка є ілюстрація однієї з основних принципів ПФ — спектр сумарною функції часу дорівнює сумі спектрів її гармонійних составляющих.

Неоспоримым гідністю ПФ є його гнучкість — перетворення придатна як для безперервних функцій часу, так дискретних. У разі воно називається дискретним ПФ — ДПФ.

Для отримання дискретної функції часу треба піддати процесу дискретизації безперервну функцію часу. Це зображено на мал.2. Вирізуємо окремі значення з безупинної функції, вибудовуючи дискретну функцію часу. Період одного циклу його роботи Tд називається «періодом дискретизації», чи «інтервалом дискретности».

.

Рис. 2. Дискретне уявлення безупинної функции ПФ часто застосовується під час вирішення завдань, що виникають у теорії автоматичного регулювання та управління, теоретично фільтрації тощо. Розберемо лише один приклад. Є якийсь лінійний фільтр — виготовлений як у вигляді набору спаяних між собою резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності, як у вигляді модульної конструкції інтегральних мікросхем. Відомий також вхідний сигнал (на рис. 3 як вхідного сигналу зображено дельта-функция, тобто імпульс зникаюче короткій тривалості і великий амплітуди). Необхідно визначити, який сигнал вийде в виході нашого фильтра.

.

Рис. 3. Дослідження лінійного фильтра Ход рішення це завдання залежить від цього, яку позицію ми віддамо перевагу. Виберемо тимчасової шлях розв’язання (верхня половина рис.4) — доведеться вхідний сигнал записати як функцію часу SBX (t) і використовувати импульсную характеристику фільтра h (t), тобто математичну запис його досягнення в часу. Вирушимо по частотного шляху (нижня половина рис.4) — потрібно буде оперувати не з самим вхідним сигналом, і з його спектром gbx (?). ?а і алгоритм роботи нашого фільтра знадобиться явити у частотною області - в вигляді частотною характеристики K (?). ?ля цього скористаємося допомогою знов-таки «магічного скла» ПФ.

.

Рис. 4. Бистре перетворення Фурье Итак, двома способами — який із них обрати? Очевидно, той, який простіше. Принаймні, в більшості практичних завдань перевагу надають частотного направлению.

Если виконувати ДПФ вхідний послідовності, як кажуть, прямо — виключно за вихідної формулі, знадобиться чимало часу (якщо кількість вхідних отсчетов велике). Конструктивніше дотримуватися принципу «розділяй та владарюй», лежить у основі алгоритму ШПФ. Відповідно до нього вхідні послідовність ділиться на групи (наприклад, парні і непарні отсчеты), для кожної їх виконується ДПФ, а потім одержані результати об'єднуються. У результаті виходить ДПФ вхідний послідовності - і істотна економія часу. Тому описаний алгоритм і назвали — швидке перетворення Фурье.

Список литературы

Лаврус В. С. Практика до телевізійної техніці. — До.: НиТ, 1996.

Карташкин А. Піти, аби повернутися.