Кто відкрив безліч Мандельброта?

Кто відкрив безліч Мандельброта?

Этот питання є тестом на кмітливість — і назавжди відповісти нею не просто. Безліч назвали (як ми писали у нашій журналі) «надзвичайно складним математичним об'єктом». Це твердження можна заперечувати, безперечно, проте, те, що безліч Мандельброта є відомим математичним об'єктом. Нескінченно складне зображення безлічі, сгенерированное комп’ютером, стало символом квітучою теорії хаосу і приковує себе величезна увага громадськості.

Множество названо на вшанування Бенуа Р. Мандельброта, математика з Дослідницького центру им. Томаса Вотсона корпорації IBM. Він був відомий у основному по тому, як і запровадив термін «фрактал» для описи об'єктів, структура яких багаторазово повторюється під час переходу до дедалі більше дрібним масштабам (прикладами можуть бути обриси берегових ліній, сніжинок, гірських хребтів та виконавчої гілок дерева).

Мандельброт стверджував, що і тільки він відкрив це безліч, що має фрактальными властивостями, близько 10 років тому вони. Про зображенні безлічі він говорив як і справу своєї «підписи».

Трое інших математиків оспорюють його затвердження. Двоє наполягають у тому, що вони відкрили і описали безліч приблизно той самий час, як і Мандельброт. А третій каже, що його робота над безліччю як передувала дослідженням Мандельброта, а й допомогла останньому у його дослідженнях. Ці затвердження довгий час циркулювали в математичних колах, але тільки недавно вперше з’явилися торік у друку.

У математиків рідко виникають суперечки про те, хто є першовідкривачем, проте Мандельброт, яка сама себе називає «чорної вівцею», часто входить у конфлікти із своїми колегами. «Якби його якості, — зауважив Р. Л. Дивейни з Бостонського університету, який, ніби між іншим, захоплюється дослідженнями Мандельброта, — те й не було б ніяких суперечностей».

В тому випадку «ставки» наукового престижу досить великі. Навіть ті, хто посміюється над широкої популярністю безлічі, усе ж таки визнають їхньої значення у математиці. Д. Р. Салливен з Нью-йоркського міського університету звертається до нього пробним «тигелем», у якому тестуються ідеї, що стосуються поведінки динамічних (нелінійних, складних чи хаотичних) систем. «Вона дійсно має фундаментальне значення», — говорить він про.

Привлекательность цього безлічі почасти залежить від простоті що породжує його рівняння: z2+c. Тут z і з — комплексні числа, які з мнимого числа (сомножителем якого є корінь квадратний з -1) в поєднані із дійсним числом. Спочатку величині з присвоюється фіксований значення, z дорівнює нулю і обчислюється результат висловлювання. Далі ця результат присвоюється перемінної z, вираз обчислюється знову і знову — воно, кажуть, итерируется, і щоразу його результат присвоюється перемінної z. Деякі значення з, подставляемые у цю итерационную формулу, дають результати, швидко наростаючі нескінченно. При інших ж значеннях з результати постійно стрибають в певних межах. Ця остання група значень з, чи комплексних чисел, і як безліч Мандельброта.

Нанесённые на площину, яку утворюють все комплексні числа, точки, належать безлічі, утворюють кластер своєрідного обриси. Здалеку об'єкт начебто не є нічого особливого, його порівнюють із зображенням серця, на якому утворилися пухлини, з жуком, засмаженим цыплёнком, незграбної восьмёркой, лежачої при боці.

При більш близькому розгляді можна знайти, що кордони безлічі не утворюють чітких ліній. Вони кілька розмиті і трохи «мерехтять». При все бóльших і бóльших увеличениях видно, як кордону занурюються у нескінченну фантасмагорію вигадливих візерунків. Деякі форми, зокрема серцевидные, все час повторюються, але щоразу з ледь помітними варіаціями.

Сейчас багато хто, хто має персональним комп’ютером, може сам «відкрити» безліч (див. статтю на рубриці «Цікавий комп’ютер» у журналі «У науки», № 10 за 1985 р.). Але 11 років тому вони комп’ютери були значно менш потужними, та деякі математики пов’язували зі спектаклем них надію, як на засіб, здатне допомогти у вирішенні складних наукових завдань.

Даже сам Мандельброт в 1979 г. охарактеризував свої перші пробні кроки щодо дослідженню безлічі як «безглузду забаву». Він став користуватися комп’ютером, щоб отримувати зображення множин Жюлиа, які обчислюються шляхом підстановки комплексного вересня итерационные функції. Незвичні властивості цих множин були описані ще 1906 г. французьким математиком П'єром Фату. Сили-силенної були пізніше названі на честь Гастона Жюлиа, який довів, через десятиліття, що дослідження множин мали важливіше наукове значення проти роботами Фату. Мандельброт, народжений 65 років тому у Польщі, читав роботи обох вчених, а пізніше учився в Жюлиа в в 40-ві роки.

Уже перші комп’ютерні зображення підтвердили підозри Мандельброта, що безлічі Жюлиа мають фрактальными властивостями. За словами, він почав отримувати зображення безлічі (пізніше названі іменем Тараса Шевченка), які у певному сенсі є узагальненням всіх множин Жюлиа, наприкінці 1979 г. Згодом Мандельброт опублікував зображення числа й підкреслював його значення в своїх публічних виступах, статтях і книгах. Це відкриття музею та інші його роботи у сфері фракталів широко висвітлювали пресі, у численних книгах (зокрема, в бестселері «Хаос», який було написано колишнім репортером «Нью-Йорк Таймс» Дж. Глейком), соціальній та рекламних виданнях корпорації IBM.

Никто не заперечує, що зображення описи Мандельброта стимулювали інтерес інших математиків до безлічі. Як двох яскравих прикладів можна навести Дж. Хаббарда з Корнеллського університету та Э. Дуади з Паризького університету. На початку 80-х стверджуючи, що малесенькі «острівці», оточуючі тіло безлічі, пов’язані з нею нескінченно тонкими відростками, вони назвали його безліччю Мандельброта. «Мандельброт був охарактеризований першим, хто здобув зображення безлічі на дисплеї комп’ютера та описав їх у літературі», — писав негаразд давно Дуади.

Однако тепер, за словами Дуади, інші математики почали вважати, що Мандельброт сам собі надав дуже великі заслуги у цьому, що зроблено іншими, приміром у дослідженнях, присвячених цьому безлічі і пов’язаних із нею областям теорії хаосу. «Він любив цитувати себе, — говорив Дуади, — і дуже неохоче цитує інших, не померлих дослідників».

Прошлой восени С. Кранц з Вашингтонського університету торкнувся цю тему статті, опублікованій у часописі «Mathematical Intelligencer ». Головний його висновок у тому, що фракталы, графіка, генерируемая комп’ютером, і інші «популярні» математичні явища, пов’язані з безліччю Мандельброта, не внесли скільки-небудь істотного внеску до математику, особливо у тлі завоёванной ними популярності.

Это думка — втім, як і навпаки, за яким «славнозвісні» дослідження Мандельброта послужили стимулом задля її подальшого прогресу в математиці, — висловлювалися і зараз. Проте Кранц привнёс у ці дебати новий аспект, стверджуючи, що багато Мандельброта був відкрито Мандельбротом і згадувалося явно у літературі ще два роки доти, як народився термін «безліч Мандельброта». І він їх назвав роботу Р. Брукса і Дж. Мателски, опублікованій у доповідях конференції, що відбулася у 1978 г. в Стоун-Бруке (прим. Нью-Йорк).

И справді, стаття містить знамениту формулу z2+c не зовсім чітку, та все ж безпомилкову комп’ютерну роздруківку основного зображення безлічі Мандельброта. Брукс і Мателски кажуть, що у дійсності де вони представили роботу на конференцію 1978 г., але поширили їх у ролі препринта на початку 1979 г. Брукс, який сьогодні в Каліфорнійському університеті у Лос-Анджелесі, представив статтю й у Гарвардському університеті навесні цього року (Мандельброт, тоді відвідавши Гарвард, каже, що ні чув доповіді Брукса і вперше побачила статтю лише кілька років.) Проте стаття не опубліковано до початку 1981 г.

.

Множество Мандельброта може породжуватися в різний спосіб і вчасно приймати різні форми. Зображення, опубліковане Р. Бруксом і Дж. Мателски в 1981 р. (зліва) отримали по стандартної формулі z2+c. Стаття, написана Мандельбротом в 1980 г., містить зображення, отримане з допомогою кілька котра функції (у центрі). Дж. Хаббард кількома роками пізніше встановив, що з допомогою итерационного процесу, званого методом Ньютона, можна також ознайомитися отримати виразне зображення безлічі Мандельброта (справа).

Опровергая статтю Кранца, озаглавлену «Деякі „факти “, испаряющиеся при уважному розгляді», Мандельброт зазначив, що він «досить повно опублікував» інформацію про безліч Мандельброта доти, як це зробив Брукс і Мателски. (У статті Мандельброта, опублікованій 26декабря 1980 г. у збірнику «Annals of the New York Academy of Sciences », представлені функція і зображення, є одній з різновидів того безлічі Мандельброта, що він вперше описав у друку, у 1982 г.).

Мандельброт говорив також, що навіть якщо публікація Брукса і Мателски передувала його публікаціям, їх усе ж таки не вважається першовідкривачами безлічі, оскільки де вони сприйняли це істинного значення. «Вони дуже близькі до того що, що пізніше виявиться важливим, але з замислилися над отриманим зображенням».

В наступному числі журналу «Intelligencer «Брукс відповів: «Не розумію, як і може впевнено судити, що ж ми замислювалися і про що не замислювалися». Брукс заявив, що належить з повагу до діяльності Мандельброта як популяризатора і заперечує, щоб безліч мало його ім'я. «Напевно, це краще, ніж називати його «великий кардиоидой», — сказав, згадуючи, як і Мателски спочатку назвали безліч. — Просто хотілося б, щоб Мандельброт поводився ввічливіші».

Мателски з Хартфордского центри з підготовки аспірантів в Коннектикуті зазначає, що він, ні Брукс не просили Кранца захищати їхніх прав для відкриття безлічі Мандельброта. (Кранц підтвердив, що його до статті прихилив інший математик.) Але тепер, коли це стало надбанням громадськості, Мателски наполягає, щоб і Брукса визнали співавторами відкриття поруч із Мандельбротом.

«Совсем не обов’язково цілком засвоїти все мінеральні ресурси континенту, щоб бути його першовідкривачем». Ці слова Мателски було у газеті «Hartford Courant », яка у грудні минулого року її статтю, посвящённую цьому спірного питання. «Досить опуститися навколішки і поцілувати берег».

Несколько інше твердження про авторському пріоритеті було зроблено Хаббардом, що у час вважається однією з які ведуть у світі фахівців із безлічі Мандельброта. За словами, в 1976 р. він почав користуватися комп’ютером для отримання карти множин комплексних чисел, генерируемых під час итерационных процесів, відомі як метод Ньютона. Хаббард каже, хоча тоді і не усвідомлював цього, йому вдалося віднайти інший шлях породження безлічі Мандельброта.

В кінці 1978 г. одне із студентів-дипломників Хаббарда, Ф. Кочмен, підійшов на конференції до Мандельброту і показав йому зображення Хаббарда. Мандельброт, «начебто, не виявив до них великого інтересу», згадує Кочмен. Проте невдовзі після цього Мандельброт написав лист Хаббарду, запросивши його у IBM, щоб обговорити дослідження. У листі, яке Хаббард зберіг, Мандельброт писав: «Читаючи роботи Фату і Жюлиа, я подумував у тому, щоб зайнятися цим самому, але не зібрався духу. Проте можу сказати, що дуже довго чекав цих зображень…».

Хаббард стверджував, що він на початку 1979 г. поїхав до IBM де він розповів Мандельброту, як і скласти комп’ютерну програму для відображення результатів итерационного процесу. Хаббард визнає, що ні усвідомлював повною мірою значення свого зображення що його показувало лише окремі ділянки безлічі Мандельброта. Він теж заперечує, що Мандельброт знайшов більш ефективний засіб породження зображень. Проте Хаббард заявив, що його «не перестає обурювати» те що, що Мандельброт не згадав про нього ні з своєї статті у 1980 г., ні в пізніх публікаціях. «Це було порушення математичної етики», — говорить він про.

Мандельброт згадує, що якось бачив «досить раннє зображення безлічі Жюлиа», належало Хаббарду, але заперечує, що це сприяло власному відкриттю. У у відповідь обвинувачення Хаббарда і Дуади, що він неохоче визнає заслуги інших, Мандельброт відповідає, що на той водночас його звинувачували й у занадто частому цитуванні. Понад те, він говорив, що надання більшої популярності роботі Брукса і Мателски міг би тільки виконати до «глузуванням» по іронічних нарікань, що «вони так нічого й ми змогли зробити з своїми результатами».

Ну бо як слід поставитися до пропозиції Хаббарда, Мателски і Брукса вважати дійсним першовідкривачем безлічі Фату, що визначив безліч Мандельброта й зацікавився їхніми властивостями? Брукс каже навіть, що «якби Фату мав доступом до сучасної обчислювальної техніки, він безсумнівно одержав сутнісно самі зображення, отриманих Мателски, Мандельбротом і мною». Мандельброт називає це безплідними вигадництвами й наполягає у тому, що означає визначення безлічі Мандельброта, зроблене Фату, перестав бути його відкриттям. «Саме собою визначення ще нічого значить, — говорить він про. — Ви повинні сказати, чому це».

Другие математики, знають про ці суперечках, злегка надоумевают: «Особисто мені так все це шум здається дивним», — каже Дж. Милнор з Прінстонського університету. Він стверджує, що Брукс, ні Мателски, ні Мандельброт не зробили нічого, що було б важливого значення у математиці. «Хаббард і Дуади були першими, хто справді отримав деякі цікаві результати, — заявив, — і вони першими розповіли нам щось істотне звідси безлічі».

Споры про пріоритеті, на думку Милнора, можливо пояснюються зіткненням різних математичних традицій. «У чистої математиці, — пояснює він, — існує традиція надавати іншим хвалити ваші роботи». Мандельброт ж, зазначає він, працює у сфері прикладної математики.

«Прогресс в математиці не буває у одиночній тюремній камері, — зазначає У. Тёрстон з Прінстонського університету, — частенько теорії не називаються на вшанування першої людини, відкрив їх. І так було і з безліччю Мандельброта». Проте, з його точки зору, ніхто стане виступати проти визнання досягнень Мандельброта, якщо він, своєю чергою, трохи більше поважав заслуги інших. «Йому було б проявити трішки більше щедрості», — вважає Тёрстон.

Салливен, також відомий своїми дослідженнями безлічі Мандельброта, називає себе «захисником Мандельброта». Мандельброт заслуговує на те, щоб безліч було названо іменем Тараса Шевченка, стверджує Саллівен, оскільки завдяки зусиллям воно привернула увагу як любителів, і професійних математиків.

Тот факт, що «по чистому збігу» безліч пізніше виявилося математично важливим об'єктом, каже Саллівен, ні з жодному разі не применшує заслуги Мандельброта. «Це з чудових особливостей математики, — що. — Навіть любителі іноді вносять важливий внесок у її розвиток».

Так хто ж саме усе ж відкрив безліч Мандельброта? Саллівен каже, що то безглуздий питання. Можливо, він мав рацію. Ш. Акслер, редактор журналу «Intelligencer », планує опублікувати лист, з утримання яких слід, що угорський математик Ф. Рисс опублікував роботу, має ставлення до безлічі Мандельброта, в 1952 г.

Окончательный відповідь, схоже, подібно фракталу, втрачається на нескінченних хитромудрих узорах.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.